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多変数の微分積分学２演習

●授業の概要・目的

　多変数の微分積分学２に並行して，多変数関数の積分法とベクトル解析の基礎をマスターするための問題演習を行う。積分法については，リーマン積分の定義を理解し，重積分の計算法をマスターすることを主な目標とする。ベクトル解析については，線積分，面積分の定義と，各種積分定理の理解することを目標とする。以上の内容は解析学と幾何学の基礎をなすものである。

●授業内容

[第1回] Euclid 空間内の閉方体上の Riemann 積分
閉方体 (閉区間), 閉方体の分割, 上限和, 下限和, 下積分, 上積分, 積分可能性, 積分, Riemann 和等の基本的用語の定義と，基本的な定理 (積分の線形性，閉方体上の連続関数の可積分性，Darboux の定理) を学ぶ。
[第2回] 体積確定集合とその上の積分，零集合と可積分条件
体積確定集合 (Jordan 可測集合) とその体積 (測度), 体積確定集合上の積分の定義と，基本的な性質を学ぶ。また零集合の定義と基本的な性質，零集合を用いた可積分条件 (不連続点の集合が零集合であること) を学ぶ。
[第3回] 重複積分と Fubini の定理
重積分を重複積分に帰着する Fubini の定理と，その系となる積分の順序交換の定理を学び，簡単な積分計算を練習する。
[第4回] 変数変換の公式 (1)
積分の変数変換の公式と，その図形的意味と適用例 (特に極座標変換を行う場合) を学ぶ。
[第5回] 変数変換の公式 (2)
積分の変数変換の公式の証明を学ぶ。行列式が平行体の体積や体積の拡大率という意味を持つことを理解する。
[第6回] 広義積分
　広義積分 (被積分関数が非有界または積分範囲が非有界である積分) の定義，絶対収束の定義と，基本的な性質 (「絶対収束⇒収束」など) を学ぶ。Gauss 積分 (確率積分), Γ関数, Ｂ関数などの応用上重要な例を学び，簡単な計算練習を行う。
[第7回] 一様収束と項別微分積分，積分記号下の微分 (微分と積分の順序交換)
関数列の一様収束の定義と簡単な判定法 (Weierstrass の M 判定法)，項別微分や項別積分，積分記号下の微分 (微分と積分の順序交換) の十分条件を述べた定理とその応用例を学ぶ。
[第8回] ベクトル場の微分演算
　3次元ベクトルのベクトル積，ナブラ，勾配 (grad)，発散 (div)，回転 (rot)，ラプラシアンの定義と，微分演算子の間に成り立つ関係式を学ぶ。
[第9,10回] 線積分とベクトル場のポテンシャル，Green の定理
　弧長要素に関する線積分とベクトル場の接線線積分の定義と基本的な性質，1変数の場合の原始関数の多変数版と考えられるベクトル場のポテンシャルの定義とその存在のための条件を学ぶ。
[第11回] 曲面とその面積
面積の各種定義 (関数のグラフ, 方程式の零点集合, パラメーター曲面)とそれらの関係，正則パラメーター曲面の概念，曲面の面積と面積要素の定義を学ぶ。
[第12,13回] ベクトル場の法線面積分とGaussの定理
　正則パラメーター曲面上のベクトル場の法線面積分と縦線集合上のGaussの発散定理を学ぶ。
[第14回] 補足とまとめ

●履修の注意点

(1) 2年次前半までの数学の必修科目の内容すべてを利用する。必要に応じて復習すること。
(2) 多変数の微分積分学２と多変数の微分積分学２演習の両方を同時に履修すること。片方だけの履修は認められない。

●教科書

使用しない。講義ノートを WWW で公開する。

●参考書

(1) 小林昭七, 続 微分積分読本 ---多変数---, 裳華房
(2) 杉浦光夫, 解析入門I, II, 東京大学出版会
(3) 桂田祐史・佐藤篤之, 力のつく微分積分学 ---1変数の微積分---, 共立出版

●成績評価の方法

授業中に行う小テスト (20%) と期末試験 (80%) による。 合格の条件は，2/3以上の出席と総合得点の60%以上を取ること。