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多変数の微分積分学１

●授業の概要・目的

　この講義では，多変数の微分積分学のうち，主に微分法に属する内容を扱う。 偏微分という概念を導入し，多変数関数について，基礎数学３などで扱った1変数関数の場合を拡張した微分法を展開する。

●授業内容

［第１回］　　1年次の復習
実数に関する基礎知識を復習する。
［第２回］　　ｎ次元ユークリッド空間の位相的性質
距離空間について解説し，ユークリッド空間の位相的性質を紹介する。
［第３回］　　ユークリッド空間の点列とその収束
ユークリッド空間内の点列を考え，その収束について定義する。その上で，完備性などユークリッド空間の性質を解説する。
［第４回］　　多変数の連続関数
多変数関数とは何か解説した上で，多変数関数の極限および連続性について定義を与える。
［第５回］　　多変数連続関数の性質
1変数の連続関数について成立していた性質を，多変数連続関数のそれに拡張することを目指す。
［第６回］　　偏微分の定義
多変数関数における偏微分法を解説する。与えられた多変数関数の偏微分を計算する方法を習得することも重要な目標である。
［第７回］　　多変数関数の微分法
前回の議論を踏まえ，全微分という概念を導入する。
［第８回］　　合成関数の微分法
1変数関数の合成関数の微分を拡張する。特に「連鎖律」について理解することが重要である。
［第９回］　　テイラーの定理
多変数実数値関数をテイラー展開する方法を学ぶ。
［第10回］　　テイラー展開の応用（極値問題）
前回の内容を利用して，与えられた多変数関数が極値をとるための十分条件は何か検証する。
［第11回］　陰関数定理
陰関数定理について解説する。
［第12回］　逆関数定理
逆関数定理について解説する。
［第13回］　条件付き極値問題（Lagrangeの未定乗数法）
条件の与えられた多変数関数について，極大値および極小値を求める方法を論ずる。
［第14回］　まとめ

●履修の注意点

(1)　多変数の微分積分学１演習もあわせて履修すること。本講義のみ履修することは認められない。
(2)　基礎数学１〜４，基礎数学演習１〜４，数学演習１, ２の内容を仮定する。必要に応じて復習すること。

●教科書

特に指定しない。必要に応じてプリントを配布する。

●参考書

「解析入門I, ２」，杉浦光夫著，東京大学出版会
「微分と積分1（岩波講座　現代数学への入門1）」，青本和彦著，岩波書店
「微分と積分2（岩波講座　現代数学への入門1）」，高橋陽一郎著，岩波書店

●成績評価の方法

期末試験70％，レポート20％，講義内演習10％で評価する。