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曲線曲面論

授業の概要・目的

この講義では平面や空間に描かれた曲線，および空間内の曲面とそれらに付随する（曲率などの）幾何学的な量との関係について説明する。 ここで学んだ内容は３年次において多様体を理解するための基礎となる。 また，扱われる対象それ自身の美しさにも注意を払ってほしい。

授業内容

[第１，２，３回]　平面曲線
平面内のなめらかな曲線の曲率や回転数などの量を定義して，それらの量と曲線の形状との関係を考える。また，正則ホモトピーと呼ばれる（曲線の）変形 により回転数が不変であることを考察する。
[第４，５，６回]　空間曲線
空間に描かれた曲線では，曲率のほかに捻れ率という量が現れる。この２つの量を知ることにより，曲線の形状を復元できることが分かる。 空間内の（自己交差を持たない）閉曲線（結び目）についても述べる。
[第７，８，９回]　空間内の曲面
空間曲面の与え方（パラメータ表示によるもの，陰関数によるもの），曲面の形状を表現するデータ（第一・第二基本形式）について説明する。
[第１０，１１，１２，１３回]　曲率，測地線
曲面の曲がり具合を表す量（曲率），曲面上で（局所的に）最短距離をあたえる曲線（測地線）を説明する。 また，幾何学においてもっとも美しい定理のひとつである「ガウス・ボンネの定理」の意味についても説明する。
[第14回]まとめ