Meiji Mizutani Masahiro（水谷 正大） http://www.isc.meiji.ac.jp/~mizutani/

Rで表計算

Rで微分方程式

Rössler系をRで数値計算

$(x,y,z)\in \mathbb{R}^3$内ベクトル場が次の非線形微分方程式系 \begin{align} \frac{dx}{dt} &= -y-z\\ \frac{dy}{dt} &= x + a y\\ \frac{dz}{dt} &= a -b z + xz \end{align} で記述される系をRössler方程式（Rosslerと表記）という。 O. E. Rössler, Different types of chaos in two simple differential equations, Zeitschrift für Naturforschung A, 31, 1664-1670, 1976.

課題1

  1. Rossler系のパラメータを$a = 0.2, b = 0.2, c = 4.5$とし、原点付近$(0,0,0,)$、たとえば$x=0.2, y=0.3, z=0.4$付近を初期条件として、Rossler系の微分方程式を数値計算しなさい。 差分時間刻みを 0.01として数値時間を200以上計算し、その解軌道のx,y,およびz成分の時間変化をプロットする。

  2. 軌道をx-y平面に射影してプロットする。
  3. 軌道を3次元xyz相空間内にプロットする。
  4. Poincare切断面を$x = 5$ のy-z平面としてとき、この面を軌道が増加または減少して横切る点 $(y,z)$ をプロットし、そのRossler系の軌道はどのようxyz相空間を流れているかを考察しなさい。
  5. 計算時間5経過（500時間刻み）した以降の、軌道のz成分の相対的極大値の点列 $z^{max}_1,z^{max}_2,z^{max}_3, \dots$を求め、そのLorenzプロットを描く。
  6. 軌道のx成分およびy成分についても、そのLorenzプロットを描く。
  7. 以上の数値計算結果などから、Rossler系はどのような特徴をもった力学系であるのか、およびLorenz系との共通点や差異について考察しなさい。