機械工学実験２　実験Ｇ（2020年度　春学期）

目的

熱流体の数値シミュレーション（ＣＦＤ）は，電子機器の設計をはじめ各種機器の設計から，台風の進路予想などの天気予報にも重要な役割を果たしている。本実験では，伝熱の三形態のうち熱伝導を取り上げ，熱伝導に関する理解を深めるとともに，コンピュータを用いて偏微分方程式を解析する方法を学ぶことを目的とする。

熱伝導

物体内に温度勾配が存在すると，高温部から低温部へ熱伝導（Conduction）により熱エネルギーが伝わる。単位面積あたりの熱エネルギーの移動量である熱流束 q W/m² は，フーリエの法則により次のように表現される。

(1)

k W/(m･K) は熱伝導率 (Thermal conductivity) であり，物質によって定まる物性値である。熱エネルギーは温度の高いところから低いところへ向かって伝わるが，このとき温度勾配は負となる。そこで，フーリエの法則では，右辺にマイナスがつく。温度勾配が等しい場合，熱伝導率k が大きいほど熱流束q も大きくなり，熱伝導率が大きいと熱エネルギーがよく伝わり，熱伝導率が小さいと熱エネルギーを伝えにくいことがわかる。ここでは，熱伝導率には記号k を用いるが，λ も一般には広く用いられている。

熱伝導方程式

熱伝導の基礎微分方程式は，フーリエの法則から物体内の微小体積に関する熱エネルギーの収支を考える事により導くことができる。直交座標における熱伝導方程式は，

(2)

となる。また，熱伝導率k が一定とみなせる場合，熱伝導方程式は，

(3)

となる。ここで，α = k / (ρc ) m²/s は，熱拡散率 (Thermal diffusivity) と呼ぶ。

数値解析法

導かれた熱伝導方程式は，初期温度および境界条件が与えられると解くことができる。しかし，解析解を求めることができるのは，形状が単純で境界条件が簡単な場合に限定される。実用になる複雑な形状や時間変化するような場合などでは，解析解をえることは難しく，多くは数値計算により検討されている。
熱流体現象のシミュレーションを行う場合，現象を表した偏微分方程式を差分法 (Finite difference method) により数値的に解く手法が広く用いられている。例として，一次元非定常熱伝導問題で考えよう。

図1に示したように，厚さ2Lの無限に広い板が一様な温度20℃に保たれている。この板の表面を時刻t = 0で急に温度0℃まで冷却する。このとき，板内の非定常温度分布を求める。
この熱伝導を表す式は，次式で与えられる。

(4)

また，初期条件および境界条件は，

　　　　　t = 0 で，T = 20
　　　　　t > 0, x = -L, L で，T = 0

コンピュータは，実際の温度や座標といった連続した値を扱うことができない。そこで，数値計算を行うためには，とびとびの値（離散値）で考える。座標x 方向に等間隔（Δx）にいくつかの場所を選ぶ。ここで選ばれた場所のことを，格子点（Grid point）と呼ぶ。基準となる格子点を i，その両隣をそれぞれ i-1，i+1 とすると，各点における温度を，T_i-1，T_i，T_i+1　と表記する。また，時間間隔を（Δt ）とし，時刻 t = n における温度を，Tⁿと表記する。