幾何学特論C (2018年度)

明治大学大学院理工学研究科基礎理工学専攻数学系M1向けに開講されている講義で，Lie群とLie環を扱います。

開講曜日・教室

連絡事項

• 6/26　レポート課題を出しました．
• 6/5は休講です．

講義の記録

1. 4/10　多様体の復習
   多様体の復習を行った．
2. 4/17　接空間
   多様体の接空間を定式化するために，まず，3次元空間内の曲面の各点の接平面について内在的な（曲面が3次元空間に入っていることを用いない）特徴付けを行った．
3. 4/24　接空間，写像の微分
   前半では，多様体の接空間を定式化し，局所座標系に付随して基底がとれることを説明した．後半では，2つの多様体の間の写像の微分について説明した．
4. 5/8　ベクトル場
   多様体上のベクトル場について説明した．
5. 5/15　ベクトル場の交換子積，積分曲線，1パラメータ変換群
   前半でベクトル場の交換子積の性質を説明した．後半でベクトル場の積分曲線と1パラメータ変換群について説明した．
6. 5/22　双対ベクトル空間，交代形式
   初めにベクトル空間の双対空間を説明し，その後でベクトル空間上の交代形式とその性質について説明した．
7. 5/29　微分形式
   前半では多様体上の微分形式とその性質を説明した．後半では微分形式の外微分を局所座標を用いて定義しその性質を調べ，最後に外微分が局所座標の取り方に依らないことを示した．
8. 6/12　外微分
   前回局所的に定義した外微分を多様体全体に拡張し，その性質を調べた．
9. 6/19　Lie微分，内部積
   微分形式のLie微分と内部積を定義し，性質を調べた．
10. 6/26　Lie群
    Lie群を定義し例を挙げた後で，実数係数の一般線形群の連結成分について調べた．
    配布物：レポート課題
11. 7/3　Lie群とLie環
    前半でLie群の例を挙げた．後半でLie群に付随するLie環について説明した．
12. 7/10　左不変ベクトル場と1パラメータ変換群
    Lie群の左不変ベクトル場の積分曲線を考察し，左不変ベクトル場は完備であることを証明した．
13. 7/17 指数写像と随伴表現
    Lie群の指数写像と随伴表現について説明した．