幾何学特論C (2017年度)

明治大学大学院理工学研究科基礎理工学専攻数学系M1向けに開講されている講義で，微分形式からde Rham理論までを扱います。

開講曜日・教室

連絡事項

• 休講のお知らせ：7/17（月）は休講します．補講を5/25（木）3限に6706で行います．

講義の記録

1. 4/10　交代形式
   前半でベクトル空間の双対空間について説明した．後半で交代形式について説明した．
2. 4/17　交代形式（続き），微分形式
   前半で，前回に引き続き，交代形式について説明した．後半で多様体上の微分形式について説明した．
3. 4/24　外微分
   微分形式の外微分を局所座標を用いて定義し，その性質を調べた．
4. 5/8　外微分，微分形式とベクトル場上の交代形式
   前回に引き続き，外微分を多様体上で定義しその性質を調べた．その後，微分形式のなす多元環とベクトル場のなす加群上の交代形式全体のなす多元環が同一視できることを証明する準備をした．
5. 5/15　微分形式とベクトル場上の交代形式
   前回に引き続き，微分形式のなす多元環とベクトル場のなす加群上の交代形式全体のなす多元環が同一視できることを証明した．
6. 5/22　Lie微分，内部積
   微分形式のLie微分と内部積を定義し，性質を調べた．
7. 5/25　de Rham コホモロジー
   de Rham コホモロジーを定義し，具体例を計算した．後半で，微分形式の外微分がde Rham コホモロジーに積構造を誘導することを説明した．
8. 5/29　de Rham コホモロジーと可微分写像，Poincareの補題・ホモトピー不変性
   はじめに，多様体間の可微分写像がde Rhamコホモロジーの間の線型写像を誘導することを説明した．次に，Poincareの補題を証明し，その応用として，ホモトピックな可微分写像が誘導するde Rham コホモロジーの間の線型写像は等しいことを証明した．
9. 6/5　Meyer-Vietoris 完全系列，多様体の向き
   前半でMeyer-Vietoris完全系列について説明した．後半で，多様体の向きを復習した．
10. 6/12　微分形式の積分，Stokesの定理
    向きづけられたn次元多様体上のn次微分形式の積分を定義し，Stokesの定理の境界のない場合を証明した．
    レポート課題：レポート課題
11. 6/19　good cover，コンパクトなサポートを持つ de Rham コホモロジー
    前半でgood cover の存在について説明し，その応用として，de Rhamコホモロジーの有限次元性を証明した．後半で，コンパクトなサポートをもつde Rham コホモロジーについて説明した．
12. 6/26　Poincare双対性
    de Rham コホモロジーのPoincare双対性を証明した．
13. 7/3　Cech コホモロジー，Cech-de Rham複体
    前半でCechコホモロジーを説明した．後半でde Rhamの定理を証明する準備として，Cech-de Rham複体を説明した．
14. 7/10　Cech-de Rham の定理
    Cech-de Rham complex を用いて，de Rham の定理を証明した．