幾何学特論C (2016年度)

明治大学大学院理工学研究科基礎理工学専攻数学系M1向けに開講されている講義で，多様体の復習からガウスボンネの定理までを扱います。

開講曜日・教室

連絡事項

• 初回は4月11日です．

講義の記録

1. 4/11　曲面の曲がり具合 -2変数関数のグラフの場合
   2変数関数のグラフが原点でxy平面と接する場合に，グラフの原点の周りの形状がGauss曲率の符号で判別できることを説明した．
   資料：講義で使用したMathematicaのファイル
2. 4/18　曲面のGauss曲率
   曲面のGauss曲率を定義し，曲面の各点の近傍の形状はその点におけるGauss曲率の符号で判別できることを示した．
3. 4/25　Gaussの驚きの定理
   曲面のGauss曲率をパラメータ表示から計算するための公式を与えた．また，Gauss曲率がパラメータ表示に依らないことを見た後，Gaussの驚きの定理を紹介した．
4. 5/2　多様体，滑らかな写像
   多様体，滑らかな写像を定義し，例を説明した．
5. 5/9　接空間
   多様体の接空間を定式化するために，まず，3次元空間内の曲面の各点の接平面について内在的な（曲面が3次元空間に入っていることを用いない）特徴付けを行った．その結果を踏まえて，多様体の接空間を定式化し，局所座標系に付随して基底がとれることを説明した．
6. 5/16　ベクトル場
   なめらかなベクトル場とその交換子積について説明した．
7. 5/23　リーマン計量，単位の分割
   前半でリーマン計量について説明した．後半で単位の分割について説明し，応用としてコンパクト多様体上のリーマン計量の存在を証明した．
8. 5/30　曲面の測地線
   曲面の測地線について説明した．
9. 6/6　曲線に沿って平行なベクトル場，共変微分（曲面の場合）
   曲面の場合に，曲線に沿って平行なベクトル場の概念，共変微分とその性質について説明した．
   レポート課題：レポート課題2016
10. 6/13　共変微分，曲線に沿って平行なベクトル場，測地線（リーマン多様体の場合）
    リーマン多様体上の共変微分，曲線に沿って平行なベクトル場，測地線のが概念を説明した．
11. 6/20　リーマンの曲率テンソル
    リーマンの曲率テンソルを説明し，曲面の場合には断面曲率がGauss曲率と一致することを条件付きで示した．
12. 6/27　極座標
    2次元リーマン多様体上の極座標表示を説明し，極座標表示が前回の条件を満たすことを証明した．
13. 7/4　多様体の向き，リーマン多様体上の積分
    多様体の向きとリーマン多様体上の積分を説明した．
14. 7/11　測地的三角形に対するGauss-Bonnetの定理
    測地的三角形に対するGauss-Bonnetの定理の証明の準備をした．
15. 7/18　Gauss-Bonnetの定理
    前半で測地的三角形に対するGauss-Bonnetの定理を証明した．後半ではそれを用いて，大域的なGauss-Bonnetの定理を証明した．