幾何学特論C (2015年度)

明治大学大学院理工学研究科基礎理工学専攻数学系M1向けに開講されている講義で，多様体の復習からガウスボンネの定理までを扱います。

開講曜日・教室

連絡事項

• 初回は4月13日です．

講義の記録

1. 4/13　曲面の曲がり具合 -2変数関数のグラフの場合
   2変数関数のグラフが原点を通り，原点でxy平面と接する場合に，グラフの原点の周りの形状がGauss曲率の符号で判別できることを説明した．
   資料：20150413
2. 4/20　曲面の曲がり具合 -一般の曲面の場合
   一般の曲面を定式化し，曲面は局所的には2変数関数のグラフとして表せることを主張した．
3. 4/27　一般の曲面のGauss曲率
   一般の曲面についてGauss曲率を定義し，各点の曲がり具合がGauss曲率の符号で判別できることを示した．また，Gauss曲率をパラメータ表示から計算するための公式を与えた．
   レポート課題：レポート課題20150427
4. 5/11　Gauss曲率の性質
   Gauss曲率がパラメータ表示に依らないことを見た後，Gaussの驚きの定理を紹介した．
5. 5/18　多様体
   曲面を一般化した多様体の概念について説明した．
6. 5/25　可微分写像，接空間
   前半で可微分写像を定義した．後半で，多様体の接空間を定式化するために，まず，3次元空間内の曲面の各点の接平面について内在的な（曲面が3次元空間に入っていることを用いない）特徴付けを行った．
7. 6/1　接空間
   前週の結果を踏まえて，多様体の接空間を定式化し，局所座標系に付随して基底がとれることを説明した．
8. 6/8　ベクトル場
   なめらかなベクトル場とその交換子積について説明した．
9. 6/15　リーマン計量，単位の分割
   前半でリーマン計量について説明した．後半で単位の分割について説明し，応用としてパラコンパクト多様体上のリーマン計量の存在を証明した．
10. 6/22　測地線，曲線に沿って平行なベクトル場（曲面の場合）
    前半で曲面の測地線について説明した．後半で曲面上の曲線に沿って平行なベクトル場について説明した．
11. 6/29　休講
12. 7/6　共変微分
    リーマン多様体上の共変微分について説明した．
    レポート課題：レポート課題20150706
13. 7/13　リーマンの曲率テンソル，Gauss-Bonnetの定理
    前半でリーマンの曲率テンソルを説明した．後半でGauss-Bonnetの定理を紹介した．