曲線曲面論 (2015年度)

明治大学理工学部2年16組向けに開講されている講義で，曲線と曲面の微分幾何を扱います。

開講曜日・教室

連絡事項

• 11/9 宿題を出しました．
• 10/19は休講です．

講義の記録

1. 9/21　平面曲線とは
   平面曲線の数学的扱いについて説明した．
   配布物：演習プリントNo.1
2. 9/28　平面曲線の長さ
   平面曲線の長さを求める公式を導き，演習を行った．
   配布物：演習プリントNo.2
3. 10/5　パラメータの取り替え，弧長パラメータ表示
   前半で曲線の長さがパラメータの取り替えで不変であることを示した．後半で曲線の自然なパラメータ表示として弧長パラメータ表示を説明した．
   宿題について：演習プリントNo.3を解き，次回（10/12）に提出すること．
4. 10/12　曲率
   曲線の曲率について説明した．
   宿題について：演習プリントNo.4を解き，次回（10/26）に提出すること．
5. 10/26　曲率
   一般のパラメータによる曲率の表示について説明し演習を行った．
   配布物：演習プリントNo.5
6. 11/2　フルネの公式，曲線論の基本定理
   前半でフルネの公式を説明した．後半で曲線論の基本定理を証明し，演習を行った．
   配布物：演習プリントNo.6
7. 11/9　閉曲線の回転数
   閉曲線の回転数とホイットニーの定理について説明した．
   宿題について：演習プリントNo.7を解き，次回（11/16）に提出すること．
8. 11/16　空間曲線
   空間曲線を定式化した．また，空間曲線について曲率と捩率を定義した．
   配布物：演習プリントNo.8
9. 11/30　空間曲線論の基本定理
   フルネ・セレの定理を説明した．その応用として，捩率が平面曲線とのずれを量る量であることと，空間曲線論の基本定理を証明した．
   宿題について：演習プリントNo.9を解き，次回（12/7）に提出すること．
10. 12/7　曲面と表面積
    曲面を定式化し，表面積を求める公式を説明した．
    宿題について：演習プリントNo.10を解き，次回（12/14）に提出すること．
11. 12/14　曲面の曲がり具合 -2変数関数のグラフの場合
    2変数関数のグラフが原点でxy-平面と接する場合に，グラフの原点の近傍の形状がHesse行列の行列式の符号で判別できることを証明した．
    宿題について：演習プリントNo.11を解き，次回（12/21）に提出すること．
12. 12/21　Gauss曲率
    曲面のGauss曲率を定義し，曲面の各点の近傍の形状がその点におけるGauss曲率の符号で判別できることを証明した．
    宿題について：演習プリントNo.12を解き，次回（1/18）に提出すること．
13. 1/18　Gauss曲率の性質，Gaussの驚きの定理
    前半で曲面のGauss曲率がパラメータ表示の取り方に依らないことを示した．後半でGaussの驚きの定理を紹介した．