第8回補間法

何組かのx,yデータが与えられているとき、これらの点を通る補間多項式を求め、データ点以外の点の値を求める手法を補間法という。

8.1 ラグランジュ補間

(x₀,y₀), (x₁,y₁), ・・・, (x_n-1, y_n-1) というn個の点が与えられたとき、これらの点をすべて通る関数 f(x) は次のように求められる。( i = j の項は含まれないことに注意)

これをラグランジュの補間多項式といい、n-1次の多項式となる。従って、与えられたデータ以外の点はこの多項式を用いて計算することができる。 f(x_i)がy_iとなることは容易に確認することが出来る(iは任意)。

例題

以下の3点を通る2次式を f(x) とする。Lagrange補間を用いて、x = 0, 0.1, 0.2, ... , 7.9, 8.0 のときの f(x) の値を画面に表示するプログラムを作成せよ。
```
double x[3] = {0, 4, 8};
double y[3] = {1.2, -2.3, 6.4};
```

8.2 ニュートン補間

(x₀,y₀), (x₁,y₁), ・・・, (x_n-1, y_n-1) というn個の点が与えられたとき、次のような表を作る。

この表から得られる a₀ ～ a_n-1 を係数とする n-1 次の多項式は、

と求められる。これがニュートンの補間多項式である。

上式より、f(x₀)がy₀となり、f(x₁)がy₁になることは容易に導ける。f(x₂)を計算すると、

となる。一般的には、数学的帰納法によって証明することが出来る。
係数 a₀～a_n-1を求めるには、作業用配列 w[]を用い、次のような手順で行う。

なお、w₀, w₁, ・・・は w[0], w[1], ・・・に対応し、w₀, w₀', w₀'', ・・・は同じ配列 w[0] を1回目、2回目、3回目、・・・に使用していることを示す。

例題

Lagrange補間の例題と同じ問題を、Newton補間を用いて実現せよ。

8.3 課題 (提出〆切: 金曜日22時)

ファイル data1.txt および data2.txt に保存されているデータを対象に、ラグランジュ補間とニュートン補間を比較するプログラムを作成せよ。
課題の進め方
- これらのファイルには、1 列目に x のデータ、2 列目に y のデータが記録されている。また、2 つの txt ファイルに記録されているデータは、データ点の個数が異なっている。データ点の個数が事前にはわかっていないという前提で、データ点の個数が異なる場合でも意図したとおりに動作するプログラムを作成すること。
  - ヒント：データ点の個数を数えるには、EOF が出てくるまで fscanf() を繰り返し、その回数をカウントすればよい。
- コマンドライン引数を用いて指定した txt ファイルを 1 つ読み込めるようにすること。
- データ点が最大で 20 個の場合まで取り扱えるよう、データ点を格納する配列のサイズは余裕をもって宣言しておくこと。
- 補間結果を求める区間と刻み幅については、入力データファイルに含まれる x の値の最小値および最大値を探索し、その区間を 100 分割した刻み幅で求めること。
- 以下に示す順番で画面に結果を表示すること。 y の値は小数点以下 6 桁まで表示し、ラグランジュ補間とニュートン補間の結果を比較すること。
  - 1列目: x の値
  - 2列目: ラグランジュ補間により求めた y の値
  - 3列目: ニュートン補間により求めた y の値
- 提出ファイルは8_1.cppとする。
- 以下は実行時のイメージである。 (値は適当であるので注意すること)
```
Z:\compmech\ex8> 8_1.exe data2.txt
Num of data: 9
x = -19.6085, y = -24.061475 (Lagrange), y = -24.061475 (Newton)
…
x =   4.3000, y =   1.500000 (Lagrange), y =   1.500000 (Newton)
```
ラグランジュ補間やニュートン補間ではデータ点数が多いと補間多項式の次数が大きくなり、データ区間の両端で値が大きく変動する。これをルンゲ現象という。ルンゲ現象を抑えるデータ点の取り方にチェビシェフ点というものがある。以下の関数に対して、データ点の配置方法の違いによるラグランジュ補間の精度を比較せよ。
対象とする関数

課題の進め方
- -1≦x≦1 の範囲のxに対し、25個のデータ点を得る。以下の2種類の方法を用いてデータ点を取得すること。
  - x座標が等間隔となるデータ点
  - チェビシェフ点（次式）
- ラグランジュ補間を用いて、-1≦x≦1 の区間を100分割した101点の x に対する補間結果を求めよ。
- 円周率は3.1415とする。
- 以下のフォーマットのcsvファイルを出力するプログラムを作成すること。csvファイルの名前はコマンドライン引数として与えること。
  - 1列目：等間隔なデータ点のx（25個）
  - 2列目：等間隔なデータ点を用いて計算したf(x)（25個）
  - 3列目：チェビシェフ点のx（25個）
  - 4列目：チェビシェフ点を用いて計算したf(x)（25個）
  - 5列目：ラグランジュ補間に用いるx（101個）
  - 6列目：等間隔なデータ点をもとに補間した結果（101個）
  - 7列目：チェビシェフ点をもとに補間した結果（101個）
- csvファイルのデータからグラフを作成する。グラフの作成にはこちらのExcelファイルを使用すること。なお、このExcelファイルにはあらかじめデータが入力されているが、これは異なる関数について同様の計算を実行した結果である。作成したプログラムから出力されたcsvファイルよりデータをコピーすること。
- 提出ファイルは8_2.cpp, 8_2_ans.xlsxとする。csvファイルではなく、Excelファイルを提出することに注意すること。
- 以下は実行時のイメージである。

第8回 補間法

8.1 ラグランジュ補間

例題

8.2 ニュートン補間

例題

8.3 課題 (提出〆切: 金曜日22時)

課題の進め方

対象とする関数

課題の進め方

8.4 課題サンプルプログラム

第8回補間法