第6回　非定常熱伝導

前回までは，現象が安定し時間と共に変化しないケースを考えてきました。 今回は，温度が時間と共に変化する非定常（unsteady-state）現象を考えます。

ビオ数

熱伝導率k が一定とみなせる場合の熱伝導方程式は，

熱伝導方程式を解くことができるのは，形状が単純で境界条件が簡単な場合に限定され， 複雑な形状や時間変化するような場合などでは， 熱伝導方程式を差分法 (Finite difference method) により数値的に解く手法が広く用いられている。
差分法による数値解析については，機械工学実験２にて実習します。

ここでは，問題を単純化し一次元での非定常熱伝導現象を考えよう。
図1に示したように，厚さ2l の平板が初期温度 T_i に保たれている。 この板の表面を時刻t = 0で T_∞ の温度の風にさらされる。
この熱伝導を表す式は，次式で与えられる。

この様な場合，板内の非定常温度分布は，物体回りの熱伝達率 h と物体内の熱伝導率 k の比である， 無次元数ビオ数 (Biot number) Bi によって異なります。

ここで，L は，物体の体積を表面積で割った特性長さである。

集中熱容量モデル（Bi << 1）

Bi << 1 の場合，つまり，物体の大きさが小さく，熱伝導率が大きい場合，物体内が一様な温度として考えられる 集中熱容量（lumped capacitance）モデルとして扱うことができます。 初期条件 t = 0 で，T = T_i を用いて解くと，次の様になります。

ここで，

は，時間の無次元数であるフーリエ数（Fourier nubber）で， θ は，温度差の無次元数を表します。

壁温一定の場合（Bi >> 1）

Bi >> 1 の場合，壁面の温度が瞬時に外部の温度となり，壁面の温度一定として扱えます。 初期条件および境界条件は，

　　　　　t = 0 で，T = T_i
　　　　　t > 0, x = -L, L で，T = T_∞

この条件で解くと，誤差関数（error function）erf(ξ) を用いて解析的に求まります。

ビオ数の影響を受ける場合（Bi ≈ 1）

この場合の解は，無限級数の和として解析的に求まります。 計算の手間を省くため，解析結果を線図としてまとめたハイスラー線図（Heisler chart）が用意されています。 ハイスラー線図は，縦軸に平板の無次元中心温度，横軸にフーリエ数をとった図で， 物体の熱伝導率，対流熱伝達率および代表長さが与えられると，平板の中心温度が求まります。

次の表は，式(7) の各パラメータをビオ数について示したもので，ビオ数からパラメータを決定し，フーリエ数から平板の中心温度を求める事ができる。

今週の課題

1. （集中熱容量モデル）厚さ 20mm （L = 0.01 m）の十分大きい炭素鋼板が均一温度 800K に十分加熱された後，300K の空気中で冷却される。 空気との熱伝達率を 80W/(m²K) とすると，冷却開始から300秒後の鋼板の温度を求めなさい。 炭素鋼板の熱伝導率は，43W/(mK) ，熱拡散率は，1.18×10^-5 m²/s とする。
2. （ビオ数の影響を受ける）10℃ の冷蔵庫から取り出した厚さ 1cm （L = 0.005 m）の肉を 200℃ 一定のオーブンで焼く。 熱伝達率を 43 W/(m²K) ，肉の物性値をそれぞれ，密度：1100 kg/m³，比熱：3.3 kJ/(kg K)，熱伝導率：0.43 W/(mK)で一定とする。 加熱開始から300秒後の肉の中心温度を求めなさい。