相互相関法

連続した２枚のフィルム（あるいは連続した２枚の画像フレーム）にそれぞれ１回ずつ光を照射して得られる粒子像が以下の例である。今日のPIVはほとんどこのタイプの画像を用いる。

２枚の画像間での粒子移動量は相互相関関数に基づいて求められる。１次元の関数fとgの相互相関関数は

であり、それを規格化した相互相関係数は

である。相互相関関数を模式的に示すと下図のようになる。f(x)は固定しておき、gをずらしながら（つまりξを変化させながら）積和を求めていくと、相互相関関数になる。

このとき、f(x)とg(x+ξ)とが最もよく一致するときに相互相関関数は最大となる。このときのξが粒子の移動量に相当する。2次元に拡張すると、

ただし、

である。相互相関関数の例は下図のようである。ピークの位置（ξ,η)が粒子の移動方向と大きさを示す。自己相関関数では３つあったピークが相互相関関数では１つしかない。よって、流れの方向がわかり、低速においても問題なく計測できる。

積和演算によって相互相関関数を求める他に、FFTを用いて求める方法もある。fとgのフーリエ変換をそれぞれ

とすると、それらの積であるクロススペクトルは

となる。クロススペクトルの逆フーリエ変換は相互相関関数と等しく、また、相互相関間のフーリエ変換はクロススペクトルとなる。

これを２次元に拡張すれば下図のような関係になる。