第4回　補間とスプライン(2)

課題1

先週の課題1と同じ5点の点群データを用いて，ラグランジュ補間を行ってみよう．
（n+1 点の点群から n次関数が決定できる．ここでは5点があるので，4次関数を決定する．）

上記の関数および下記を参考に，x の値を -4.0 から 3.0 まで，0.1 ずつ増加させてそれぞれ y を計算し，グラフを書け．
下記を参考に，ソースコードおよびExcelファイルを提出せよ． 


struct Point2D
{
    double x;
    double y;
};
	
int main()
{
    const int N = 5;
	Point2D points[N] = {
        {-3.5, -2.2},
        {-2.2, -0.3},
        {-1.0,  1.5},
        { 0.2,  1.9},
        { 2.3,  2.2}
    };
	
    /* xの値を変化させながら LagrangeInterp 関数により y の値を順次計算，出力 */
}

以下に計算結果の一例を示す．

interp1.png
図1．補間結果．赤点が既知の制御点，黒丸が補間により求めた点群である．
Excelの機能で，補間により求めた点を線で接続している．

Excelでのグラフ作成法

参考までに，以下の手順でグラフを作成すると良い．
詳しくは各自でExcelのオンラインヘルプを参照のこと．

  1. (x,y) の数値データをプログラムからcsv形式でファイルに書き出す．
  2. A列にxの値，B列にyの値が格納されているとする．A,B列を選択状態にして，グラフで，散布図を作成する．
  3. 制御点を表示したければ，制御点に相当する行のC列にB列の値を5箇所，コピーした上で，A,B,C列を選択して同様に散布図を書く．マーカーの色や大きさを適宜調整して，計算結果と，与えた制御点を区別し，見やすいグラフにする．
  4. もちろん工学グラフにふさわしい体裁に変更すること．（Excelの標準の書式のままでは ×）

課題2

スプライン補間の詳細なアルゴリズムは以下のソースコードおよび各種文献を参照すること．
153R000000?04?2.cpp

このソースコードを使用して，課題1と同様に5点の補間を行い，x の値を -4.0 から 3.0 まで，0.1 ずつ増加させてそれぞれ y を計算し，グラフを書け．
下記を参考に，ソースコードおよびExcelファイルを提出せよ．

また，ラグランジュ補間の結果と比較せよ．

以下に計算結果の一例を示す．

spline.png
図2．補間結果，図1のラグランジ補間とスプライン補間の比較．赤点が既知の制御点である．
補間法により，通過する位置が大きく異なる区間がある．

発展的内容

以下は提出課題としては必須ではないが，補間法についてより深く勉強したい諸君のために，関連する課題を示しておく．

  1. 補間法において，制御点を追加すると曲線がどのように変化するだろうか．例えば(3,1)などを追加した場合，既存の関数形状がどう変化する．ラグランジュ補間とスプライン補間では，どのような差が生ずるか．
  2. 3次の補間が広く使われている理由はなんだろうか．
  3. B-スプライン，ベジェ，エルミート補間など，他の補間法についても調べてみよう．

解説

１．

補間法の基本は点群（制御点）の各点を必ず通過し，かつ制御点間はカーブを描くように

２．

点群をカーブで結ぶためには最低3点が必要であるが，3点だけであれば2次でよい．4点以上の点群において任意の３点を選択しつつ滑らかに保管するためには

３．

前後の点群

点群同士が影響しあい