2024-07-17 2024-07-15
不確定性関係, 局在, 波束

振動波動論第14回

振動波動論第14回コメント局在と不確定性関係波束波数空間の局在と波束波束の運動パルス授業改善アンケートのお願い復習問題課題の受付締切

フーリエ変換がとても有用みたいなのは聞いたことがあったが、実際に声を高くしたり、低くしたりしていて、とても興味深かった。変数の区間の変更の部分のx→2πt/Tという変数変換のところが分かりづらかった。

$[-\pi , \pi]$ $2 \pi$ $T$ $\left[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2} \right]$ に置き換える, という箇所ですね.

\begin{aligned} x & = \pm π \\ \to \frac{T}{2 π} x & = \pm π \frac{T}{2 π} = \pm \frac{T}{2} \\ ↓ ∵ \frac{T}{2 π} x \equiv t \to x = \frac{2 π}{T} t \\ \to t & = \pm \frac{T}{2} \end{aligned}

複雑な波形を三角関数や複素指数関数の重ね合わせとして表現するという概念を直感的に理解するのが難しかったです。

弦の振動が複数のモード (三角関数) の重ね合わせで表現できたことを思い出すと, 少し想像しやすいかもしれません.

今までの課題の復習をしていてとても難しいと感じるので、来週の授業で何回の課題の内容に似た問題がテストに出るか教えて欲しい。もしくは何回の課題の内容の問題は出ないかだけでも教えてほしい。

第13回 (フーリエ級数等) 以降は出しません.

今回の授業は計算が多く難解に感じた。フーリエ級数の導入は解説がわかりやすかったので、フーリエ級数は理解できたが、複素指数型のフーリエ級数になると、計算量が多くなり読んでいる間に解説についていけなくなりよくわからなかった。

ここ最近の授業は復讐みたいな感じでの授業だったが、今回からまた難しくなり、フーリエ級数の式変形などは特に難しく感じた。

今回の授業はフーリエ級数などについてやりましたが、これは高校の時にも聞いたことがあり、大学の授業で新しい知識を身につけ物理の深い世界を垣間見た感覚がありました。そういったこともありとても数式が難しくテストで解けるかどうか不安になります。それ以外でも本授業は自分にとって難しい数式や定理を用いて、今まで考えもしなかった変形などをして解を導き出すのは知的好奇心を満たすものがあると私は感じていますが、テストで解けるかというと本当に不安にしかなりません。

良かった点は、フーリエ級数の理論的な基礎をしっかりと理解できるように、具体的な例を使って説明してくれたことです。悪かった点は、時間が足りずにもう少し演習問題を解く時間が欲しかったことです。要望としては、次回はもう少しペースを落として、各ステップをじっくりと確認しながら進めてほしいです。

局在と不確定性関係

$x=0$ $u(x)$ を考える.

x-rect

$U(k) = \int_{-\infty}^{\infty} u(x) e^{-i k x} ~ dx$ すると,

\begin{aligned} U (k) & = \int_{- \infty}^{\infty} u (x) e^{- i k x} d x \\ = \int_{- \frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} b \cdot e^{- i k x} d x \\ = \frac{b}{- i k} [e^{- i k x}]_{- \frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \\ = \frac{b}{- i k} (e^{- i k \frac{a}{2}} - e^{- i k (- \frac{a}{2})}) \\ = \frac{2}{2} \frac{b}{i k} (e^{i \frac{k a}{2}} - e^{- i \frac{k a}{2}}) \\ (1) & = \frac{2 b}{k} \sin \frac{k a}{2} \end{aligned}

となる. これを実際にグラフにしたものが下図である.

Uk_a1_b1

$U(k)$ $k=0$ 付近に集中した関数である.

$U(k)= \frac{2b}{k} \sin \frac{ka}{2}$ $k>0$ $k$ は,

\begin{matrix} \frac{k a}{2} = π \to k = \frac{2 π}{a} \end{matrix}

$U(k)$ $k=0$ 付近の幅は, およそ

\begin{matrix} (2) & Δ k = \frac{2 π}{a} \end{matrix}

となる.

したがって,

$a$ $\Delta k$ $U(k)$ $k=0$ 付近で鋭くなり
$a$ $\Delta k$ $U(k)$ $k=0$ を中心に平たくなる

$a \to \infty$ $u(x)$ $u(x)=b$ $U(k)$ $k=0$ 付近でのみ値を持つ関数となる.

$x$ $k$ $a$ $x$ $\Delta x$ $\eqref{uncertain-ak}$ $\Delta k=\frac{2\pi}{a}=\frac{2\pi}{\Delta x}$ より,

\begin{matrix} (3) & Δ x Δ k = 2 π \end{matrix}

となる.

$u(x)$ $\Delta x$ $U(k)$ $\Delta k$ とは互いに反比例の関係にあることがわかる.

この関係式は, 量子力学においても重要な役割を果たし, 不確定性関係と呼ばれる.

波束

波数空間の局在と波束

$U(k)$ を考える.

k-rect

$u(x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} U(k) e^{i k x} d k$ すると,

\begin{aligned} u (x) & = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} U (k) e^{i k x} d k \\ = \frac{1}{2 π} \int_{k_{1}}^{k_{2}} 1 \cdot e^{i k x} d k \\ = \frac{1}{2 π} \frac{1}{i x} [e^{i k x}]_{k_{1}}^{k_{2}} \\ = \frac{1}{π x} \frac{1}{2 i} (e^{i k_{2} x} - e^{i k_{1} x}) \\ ↓ k_{a v} \equiv \frac{k_{1} + k_{2}}{2}, Δ k \equiv k_{2} - k_{1} \\ ↓ \to 2 k_{a v} = k_{1} + k_{2} = k_{1} + k_{1} + k_{2} - k_{1} = 2 k_{1} + Δ k \\ ↓ ∴ 2 k_{1} = 2 k_{a v} - Δ k \overset{+ 2 Δ k}{\to} 2 k_{2} = 2 k_{a v} + Δ k \\ = \frac{1}{π x} \frac{1}{2 i} (e^{i \frac{2 k_{a v} + Δ k}{2} x} - e^{i \frac{2 k_{a v} - Δ k}{2} x}) \\ = \frac{1}{π x} \frac{1}{2 i} (e^{i \frac{Δ k}{2} x} - e^{- i \frac{Δ k}{2} x}) e^{i k_{a v} x} \\ = \frac{1}{π x} \sin (\frac{Δ k}{2} x) e^{i k_{a v} x} \\ ↓ 実 部 を 取 る \\ (4) & = \frac{1}{π} \frac{\sin (\frac{Δ k}{2} x)}{x} \cos (k_{a v} x) \end{aligned}

となる.

これをグラフにしたものが下図である.

packet_ux_k1-10_k2-14

うなりの構造に似ているが, 今回は, 波が1箇所に集中している. このような波を波束と呼ぶ.

$\eqref{packet-ux}$ において,

$\frac{\sin \left(\frac{\Delta k}{2} x \right)}{x}$ 部分が波束の概形を表し,
$\cos(k_{av} x)$ 部分が波束内部の細かい振動

を表している.

$\Delta x$ $\sin \left(\frac{\Delta k}{2} x \right)$ $x>0$ $\frac{\Delta k}{2} x = \pi$ の場合なので,

\begin{matrix} Δ x = \frac{2 π}{Δ k} \end{matrix}

程度であることがわかる. この場合もやはり不確定性関係が成り立つ.

波束の運動

上記で導出した波束:

$t=0$ $t$ $u(x,t)$ で表される.

$u(x,t) = A \sin(k x - \omega t - \phi)$ $t$ における波束の進行波は, フーリエ逆変換の式を用いて

\begin{aligned} u (x) & = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} U (k) e^{i k x} d k \\ ↓ \\ (5) & u (x, t) & = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} U (k) e^{i (k x - ω_{k} t)} d k \end{aligned}

$\omega_k$ $\omega$ $k$ に依存することを明示的に記述したものである.

$\Delta k$ $k$ $k_{av}$ $k=k_{av}$ $\omega_k$ のテイラー展開は

\begin{aligned} ω_{k} & = ω_{k_{a v}} + {\frac{d ω_{k}}{d k} |}_{k = k_{a v}} (k - k_{a v})^{1} + \dots \\ ↓ | Δ k | ≪ 1 \\ \approx ω_{k_{a v}} + {\frac{d ω_{k}}{d k} |}_{k = k_{a v}} (k - k_{a v}) \\ ↓ 群 速 度 v_{g} \equiv \frac{d ω_{k}}{d k} \\ = ω_{k_{a v}} + v_{g} (k - k_{a v}) \end{aligned}

となる.

$\eqref{uxt-inv-fourier}$ に代入すると,

\begin{aligned} u (x, t) & = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} U (k) e^{i (k x - ω_{k} t)} d k \\ \approx \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} U (k) e^{i (k x - (ω_{k_{a v}} + v_{g} (k - k_{a v})) t)} d k \\ = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} U (k) e^{i (k (x - v_{g} t) - (ω_{k_{a v}} - v_{g} k_{a v}) t)} d k \\ = \frac{1}{2 π} e^{- i (ω_{k_{a v}} - v_{g} k_{a v}) t} \int_{- \infty}^{\infty} U (k) e^{i k (x - v_{g} t)} d k \\ = \frac{1}{2 π} e^{- i (ω_{k_{a v}} - v_{g} k_{a v}) t} \int_{k_{1}}^{k_{2}} 1 \cdot e^{i k (x - v_{g} t)} d k \\ ↓ 式 (4) よ り \frac{1}{2 π} \int_{k_{1}}^{k_{2}} e^{i k x} d k = \frac{1}{π x} \sin (\frac{Δ k}{2} x) e^{i k_{a v} x} \\ = e^{- i (ω_{k_{a v}} - v_{g} k_{a v}) t} \frac{1}{π (x - v_{g} t)} \sin (\frac{Δ k}{2} (x - v_{g} t)) e^{i k_{a v} (x - v_{g} t)} \\ = \frac{1}{π (x - v_{g} t)} \sin (\frac{Δ k}{2} (x - v_{g} t)) e^{i (k_{a v} x - ω_{k_{a v}} t)} \\ ↓ 実 部 を 取 る \\ (6) & = \frac{1}{π} \frac{\sin (\frac{Δ k}{2} (x - v_{g} t))}{x - v_{g} t} \cos (k_{a v} x - ω_{k_{a v}} t) \end{aligned}

$t=0$ $u(x)$ だった波束が時間発展したものである.

$\frac{\sin \left(\frac{\Delta k}{2} (x- v_g t) \right) }{x- v_g t}$ $\frac{\sin \left(\frac{\Delta k}{2} x \right) }{x}$ $x=v_g t$ $v_g$ で進んだことを表す.
$\cos (k_{av} x - \omega_{k_{av}}t)$ 部分は, 波束内部の細かい振動を表し,
$\begin{aligned} \cos (k_{a v} x - ω_{k_{a v}} t) & = \cos (k_{a v} (x - \frac{ω_{k_{a v}}}{k_{a v}} t)) \\ ↓ 位相速度 v_{ϕ} \equiv \frac{ω_{k_{a v}}}{k_{a v}} \\ = \cos (k_{a v} (x - v_{ϕ} t)) \end{aligned}$
$v_{\phi}$ で進むことを意味している.
位相速度が群速度より大きい場合, 波束内部の細かい振動が波束の中を通り抜けていく

$\omega_k$ $k$ の1次の項までとして計算したが, より高次の項まで取り入れると, 波数成分ごとに位相速度が異なるという効果が現れ, 時間経過に伴って波束の概形が変化していく.

$\Delta x$ も徐々に大きくなっていく. そのため, 一般には, 不確定性関係は

\begin{matrix} Δ x Δ k \geq 2 π \end{matrix}

となる.

$\omega_k$ $k$ と比例関係にないため, 分散がある場合に対応する.

パルス

$x=0$ ) で観測する場合を考える.

x, u(x,t)	t, u(0,t)

$x=0$ $u(0,t)$ $x=0$ の地点で見られるということである (上右図).

$x=0$ $x=0$ $x>0$ の方へ飛んでいったとみなすこともできる (上左図). これは, 音や電波を発したことに相当する.

$\Delta t$ を計算してみよう.

$\eqref{uxt}$ $t$ $u(x,t)$ は

\begin{matrix} u (x, t) = \frac{1}{π} \frac{\sin (\frac{Δ k}{2} (x - v_{g} t))}{x - v_{g} t} \cos (k_{a v} x - ω_{k_{a v}} t) \end{matrix}

$x=0$ においては

\begin{matrix} u (0, t) = \frac{1}{π} \frac{\sin \frac{Δ k}{2} v_{g} t}{v_{g} t} \cos ω_{k_{a v}} t \end{matrix}

$\Delta t$ $\sin \frac{\Delta k}{2} v_g t$ が初めて0になる時刻を調べると,

\begin{matrix} (7) & \frac{Δ k}{2} v_{g} Δ t = π \to Δ t = \frac{2 π}{v_{g} Δ k} \end{matrix}

となる.

$\Delta x = \frac{2 \pi}{\Delta k}$ だったので, この時間幅は

\begin{matrix} Δ t = \frac{Δ x}{v_{g}} \end{matrix}

$\Delta x$ $v_g$ で通過する際にかかる時間と見直すことができる.

$U(k)$ $k_1$ $k_2$ $k$ $\omega_k$ $\omega_{k_1}$ $\omega_{k_2}$ $\Delta \omega$ を考えると,

\begin{aligned} Δ ω & \equiv ω_{k_{2}} - ω_{k_{1}} \\ = (ω_{k_{a v}} + \frac{d ω_{k}}{d k} (k_{2} - k_{a v}) + \dots) - (ω_{k_{a v}} + \frac{d ω_{k}}{d k} (k_{1} - k_{a v}) + \dots) \\ ↓ | Δ k | ≪ 1 \\ \approx (ω_{k_{a v}} + \frac{d ω_{k}}{d k} (k_{2} - k_{a v})) - (ω_{k_{a v}} + \frac{d ω_{k}}{d k} (k_{1} - k_{a v})) \\ = \frac{d ω_{k}}{d k} (k_{2} - k_{1}) \\ = v_{g} Δ k \end{aligned}

となる.

$\eqref{uncertain-tk}$ $\Delta t = \frac{2 \pi}{v_g \Delta k}$ は

\begin{aligned} Δ t & = \frac{2 π}{v_{g} Δ k} = \frac{2 π}{Δ ω} \\ ↓ \\ Δ t Δ ω & = 2 π \end{aligned}

となる. これが時間と角振動数との間の不確定性関係である.

授業改善アンケートのお願い

大学から指定されている授業改善アンケートへの回答をお願いします!!

授業改善アンケート（2024 春学期）Course Improvement Questionnaire 締切は2024/07/31 23:59ですが, できる限りこの授業時間内に回答をお願いします!!

復習問題課題の受付締切

各回の復習問題課題は, 各回の提出締切を過ぎても減点という形で受け付けていましたが, 2024/07/26 (金) 23:59 に完全に受付終了しますのでご注意ください.

	$a=0.5$	$a=1$	$a=2$
$u(x)$
$U(k)$

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