2024-07-10 2024-07-08
復習問題

振動波動論第13回復習問題

振動波動論第13回復習問題実施・提出期間問題フーリエ級数 (三角関数)まとめ解答フーリエ級数 (三角関数)三角関数の規格性, 直交性を確かめるために以下の組み合わせで計算せよsin同士の組み合わせcos同士の組み合わせsinとcosとの組み合わせ上記の計算結果をまとめて記述し, 規格性, 直交性を確認フーリエ係数 $a_m$ を導出せよフーリエ係数 $b_m$ を導出せよフーリエ級数の変数の区間を $[-\pi , \pi]$ (1周期 $2 \pi$ ) から, 1周期 $T$ の区間 $\left[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2} \right]$ に置き換えよ

実施・提出期間

締切: 2024/07/17 (水) 13:30 までに, 下記の問題を実施し, 提出してください.

注意事項

手書きで計算したものを1つのpdfにまとめて提出してください
- 紙に直筆したものを写真 or スキャンする場合は, 中身がハッキリ読めることを確認してください
- タブレット等を用いて電子的に手書きするのもOKです
- 画像ファイルをそのまま何枚も提出したり, zipにまとめて提出したものは受取不可とします
授業資料の解答を丸写しするのではなく, 授業内容を思い出しながら自分の手で計算するようにしてください
授業直後に復習することはもちろん素晴らしいです!! その後, なるべく数日空けてから再学習として本課題を実施し, 提出することを是非試してみてください.

問題

フーリエ級数 (三角関数)

三角関数の規格性, 直交性を確かめるために以下の組み合わせで計算せよ
1. sin同士の組み合わせ
2. cos同士の組み合わせ
3. sinとcosとの組み合わせ
4. 上記の計算結果をまとめて記述し, 規格性, 直交性を確認
$a_m$ を導出せよ
$b_m$ を導出せよ
$[-\pi , \pi]$ $2 \pi$ $T$ $\left[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2} \right]$ に置き換えよ

まとめ

今回の授業内容を100文字以上で自分なりにまとめてください. ただし, 写経のように丸写しすることだけはやめてください.

解答

フーリエ級数 (三角関数)

三角関数を基底関数としたフーリエ級数は

\begin{aligned} u (x) & = \sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \sin m x + b_{m} \cos m x) + \frac{b_{0}}{2} (m は 自 然 数) \end{aligned}

と書かれる.

三角関数の規格性, 直交性を確かめるために以下の組み合わせで計算せよ

sin同士の組み合わせ

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{- π}^{π} \sin m x \sin n x d x & = \int_{- π}^{π} - \frac{1}{2} {\cos (m + n) x - \cos (m - n) x} d x (∵ \cos (m \pm n) x = \cos m x \cos n x \mp \sin m x \sin n x) \end{aligned} \end{matrix}

なので,

$m \ne n$

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{- π}^{π} \sin m x \sin n x d x & = \int_{- π}^{π} - \frac{1}{2} {\cos (m + n) x - \cos (m - n) x} d x \\ = - \frac{1}{2} {[\frac{1}{m + n} \sin (m + n) x - \frac{1}{m - n} \sin (m - n) x]}_{- π}^{π} \\ = 0 \end{aligned} \end{matrix}

$m=n$

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{- π}^{π} \sin n x \sin n x d x & = \int_{- π}^{π} - \frac{1}{2} {\cos (n + n) x - \cos (n - n) x} d x \\ = \int_{- π}^{π} - \frac{1}{2} {\cos 2 n x - 1} d x \\ = - \frac{1}{2} {[\frac{1}{2 n} \sin 2 n x - x]}_{- π}^{π} \\ = π \end{aligned} \end{matrix}

まとめ

\begin{matrix} \begin{matrix} \int_{- π}^{π} \sin m x \sin n x d x = {\begin{cases} 0 (m \neq n) \\ π (m = n) \end{cases} \end{matrix} \end{matrix}

cos同士の組み合わせ

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{- π}^{π} \cos m x \cos n x d x & = \int_{- π}^{π} \frac{1}{2} {\cos (m + n) x + \cos (m - n) x} d x (∵ \cos (m \pm n) x = \cos m x \cos n x \mp \sin m x \sin n x) \end{aligned} \end{matrix}

なので,

$m \ne n$

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{- π}^{π} \cos m x \cos n x d x & = \int_{- π}^{π} \frac{1}{2} {\cos (m + n) x + \cos (m - n) x} d x \\ = \frac{1}{2} {[\frac{1}{m + n} \sin (m + n) x + \frac{1}{m - n} \sin (m - n) x]}_{- π}^{π} \\ = 0 \end{aligned} \end{matrix}

$m=n$

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{- π}^{π} \cos n x \cos n x d x & = \int_{- π}^{π} \frac{1}{2} {\cos (n + n) x + \cos (n - n) x} d x \\ = \int_{- π}^{π} \frac{1}{2} {\cos 2 n x + 1} d x \\ = \frac{1}{2} {[\frac{1}{2 n} \sin 2 n x + x]}_{- π}^{π} \\ = π \end{aligned} \end{matrix}

まとめ

\begin{matrix} \begin{matrix} \int_{- π}^{π} \cos m x \cos n x d x = {\begin{cases} 0 (m \neq n) \\ π (m = n) \end{cases} \end{matrix} \end{matrix}

sinとcosとの組み合わせ

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{- π}^{π} \cos m x \sin n x d x & = \int_{- π}^{π} \frac{1}{2} {\sin (m + n) x - \sin (m - n) x} d x (∵ \sin (m \pm n) x = \sin m x \cos n x \pm \cos m x \sin n x) \end{aligned} \end{matrix}

なので,

$m \ne n$

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{- π}^{π} \cos m x \sin n x d x & = \int_{- π}^{π} \frac{1}{2} {\sin (m + n) x - \sin (m - n) x} d x \\ = - \frac{1}{2} {[\frac{- 1}{m + n} \cos (m + n) x - \frac{- 1}{m - n} \cos (m - n) x]}_{- π}^{π} \\ = - \frac{1}{2} [\frac{- 1}{m + n} (\cos (m + n) π - \cos (m + n) (- π)) - \frac{- 1}{m - n} (\cos (m - n) π - \cos (m - n) (- π))] \\ = 0 (∵ \cos は 偶 関 数) \end{aligned} \end{matrix}

$m=n$

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{- π}^{π} \cos n x \sin n x d x & = \int_{- π}^{π} \frac{1}{2} {\sin (n + n) x - \sin (n - n) x} d x \\ = \int_{- π}^{π} \frac{1}{2} {\sin 2 n x - 0} d x \\ = - \frac{1}{2} {[\frac{1}{2 n} \cos 2 n x]}_{- π}^{π} \\ = 0 \end{aligned} \end{matrix}

まとめ

\begin{matrix} \int_{- π}^{π} \cos m x \sin n x d x = 0 \end{matrix}

上記の計算結果をまとめて記述し, 規格性, 直交性を確認

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} \int_{- π}^{π} \sin m x \sin n x d x & = {\begin{cases} 0 (m \neq n) \\ π (m = n) \end{cases} \\ \int_{- π}^{π} \cos m x \cos n x d x & = {\begin{cases} 0 (m \neq n) \\ π (m = n) \end{cases} \\ \int_{- π}^{π} \cos m x \sin n x d x & = 0 \end{aligned} \end{matrix}

$\sin , \cos$ $0$ $\sin , \cos$ $\pi$ となるので, 三角関数が規格性, 直交性を持つことが確認できた.

$a_m$ を導出せよ

\begin{matrix} \int_{- π}^{π} u (x) \sin n x d x \end{matrix}

を考える.

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{- π}^{π} u (x) \sin n x d x & = \int_{- π}^{π} (\sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \sin m x + b_{m} \cos m x) + \frac{b_{0}}{2}) \sin n x d x \\ = \int_{- π}^{π} (\sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \sin m x \sin n x + b_{m} \cos m x \sin n x) + \frac{b_{0}}{2} \sin n x) d x \\ = \sum_{m = 1}^{\infty} a_{m} \int_{- π}^{π} \sin m x \sin n x d x + \sum_{m = 1}^{\infty} b_{m} \int_{- π}^{π} \cos m x \sin n x d x + \frac{b_{0}}{2} \int_{- π}^{π} \sin n x d x \\ = (a_{n} π + \sum_{m = 1 (m \neq n)}^{\infty} a_{m} \cdot 0) + (\sum_{m = 1}^{\infty} b_{m} \cdot 0) + \frac{b_{0}}{2 (- n)} (\cos n π - \cos (- n π)) (∵ 三 角 関 数 の 規 格 直 交 性 (1)) \\ = a_{n} π \end{aligned} \end{matrix}

となるので,

\begin{matrix} (2) & a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} u (x) \sin n x d x (n = 1, 2, \dots) \end{matrix}

$a_n$ が求まった.

$b_m$ を導出せよ

\begin{matrix} \int_{- π}^{π} u (x) \cos n x d x \end{matrix}

を考える.

$n=1,2,\cdots$

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{- π}^{π} u (x) \cos n x d x & = \int_{- π}^{π} (\sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \sin m x + b_{m} \cos m x) + \frac{b_{0}}{2}) \cos n x d x \\ = \int_{- π}^{π} (\sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \sin m x \cos n x + b_{m} \cos m x \cos n x) + \frac{b_{0}}{2} \cos n x) d x \\ = \sum_{m = 1}^{\infty} a_{m} \int_{- π}^{π} \sin m x \cos n x d x + \sum_{m = 1}^{\infty} b_{m} \int_{- π}^{π} \cos m x \cos n x d x + \frac{b_{0}}{2} \int_{- π}^{π} \cos n x d x \\ = (\sum_{m = 1}^{\infty} a_{m} \cdot 0) + (b_{n} π + \sum_{m = 1 (m \neq n)}^{\infty} b_{m} \cdot 0) + \frac{b_{0}}{2 n} (\sin n π - \sin (- n π)) (∵ 三 角 関 数 の 規 格 直 交 性 (1)) \\ = b_{n} π \end{aligned} \end{matrix}

となるので,

\begin{matrix} (3) & b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} u (x) \cos n x d x (n = 1, 2, \dots) \end{matrix}

$b_n$ が求まった.

$n=0$

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{- π}^{π} u (x) \cos 0 x d x & = \int_{- π}^{π} u (x) d x \\ = \int_{- π}^{π} (\sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \sin m x + b_{m} \cos m x) + \frac{b_{0}}{2}) d x \\ = \sum_{m = 1}^{\infty} a_{m} \int_{- π}^{π} \sin m x d x + \sum_{m = 1}^{\infty} b_{m} \int_{- π}^{π} \cos m x d x + \frac{b_{0}}{2} \int_{- π}^{π} d x \\ = (\sum_{m = 1}^{\infty} a_{m} \cdot 0) + (\sum_{m = 1}^{\infty} b_{m} \cdot 0) + \frac{b_{0}}{2} (π - (- π)) \\ = b_{0} π \end{aligned} \end{matrix}

$b_0$ が求まった.

まとめ

\begin{matrix} (4) & b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} u (x) \cos n x d x (n = 0, 1, 2, \dots) \end{matrix}

以上より, フーリエ級数が求まった :

\begin{aligned} (5) & フ ー リ エ 級 数 展 開 & : & u (x) & = \sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \sin m x + b_{m} \cos m x) + \frac{b_{0}}{2} (m は 自 然 数) \\ フ ー リ エ 係 数 & : & {\begin{cases} a_{m} & = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} u (x) \sin m x d x (m = 1, 2, \dots) \\ b_{m} & = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} u (x) \cos m x d x (m = 0, 1, 2, \dots) \end{cases} \end{aligned}

$[-\pi , \pi]$ $2 \pi$ $T$ $\left[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2} \right]$ に置き換えよ

$[-\pi , \pi]$ $2 \pi$ $T$ $\left[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2} \right]$ $\pm \pi \to \pm \frac{T}{2}$ $x \to \frac{2 \pi}{T} t ,~dx \to \frac{2 \pi}{T} dt$ という変数変換に相当する.

$\eqref{fs2}$ に適用すると

\begin{matrix} \begin{aligned} フ ー リ エ 級 数 展 開 & : & u (\frac{2 π}{T} t) & = \sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \sin m \frac{2 π}{T} t + b_{m} \cos m \frac{2 π}{T} t) + \frac{b_{0}}{2} (m は 自 然 数) \\ \to u (t) & = \sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \sin m \frac{2 π}{T} t + b_{m} \cos m \frac{2 π}{T} t) + \frac{b_{0}}{2} (m は 自 然 数) \\ フ ー リ エ 係 数 & : & {\begin{cases} a_{m} & = \frac{1}{π} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (\frac{2 π}{T} t) \sin m \frac{2 π}{T} t \cdot \frac{2 π}{T} d t \\ = \frac{2}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) \sin m \frac{2 π}{T} t d t (m = 1, 2, \dots) \\ b_{m} & = \frac{1}{π} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (\frac{2 π}{T} t) \cos m \frac{2 π}{T} t \cdot \frac{2 π}{T} d t \\ = \frac{2}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) \cos m \frac{2 π}{T} t d t (m = 0, 1, 2, \dots) \end{cases} \end{aligned} \end{matrix}

$t$ $\frac{2 \pi}{T}$ $\frac{2 \pi}{T} = \omega_0$ と置き換えれば, 上式を

\begin{aligned} (6) & フ ー リ エ 級 数 展 開 & : & u (t) & = \sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \sin m ω_{0} t + b_{m} \cos m ω_{0} t) + \frac{b_{0}}{2} (m は 自 然 数) \\ フ ー リ エ 係 数 & : & {\begin{cases} a_{m} & = \frac{2}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) \sin m ω_{0} t d t (m = 1, 2, \dots) \\ b_{m} & = \frac{2}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) \cos m ω_{0} t d t (m = 0, 1, 2, \dots) \end{cases} \end{aligned}

と書くこともできる.

振動波動論 第13回 復習問題

実施・提出期間

問題

フーリエ級数 (三角関数)

まとめ

解答

フーリエ級数 (三角関数)

三角関数の規格性, 直交性を確かめるために以下の組み合わせで計算せよ

sin同士の組み合わせ

cos同士の組み合わせ

sinとcosとの組み合わせ

上記の計算結果をまとめて記述し, 規格性, 直交性を確認

フーリエ係数 ama_m を導出せよ

フーリエ係数 bmb_m を導出せよ

フーリエ級数の変数の区間を [−π,π][-\pi , \pi] (1周期 2π2 \pi) から, 1周期 TT の区間 [−T2,T2]{\displaystyle \left[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2} \right]} に置き換えよ

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復習問題

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$a_m$ を導出せよ

$b_m$ を導出せよ

$[-\pi , \pi]$ $2 \pi$ $T$ $\left[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2} \right]$ に置き換えよ