2024-07-10 2024-07-08
フーリエ変換, フーリエ級数

振動波動論第13回

振動波動論第13回コメント基底関数 (フーリエ級数の準備) 導入関数の重ね合わせと展開の例不適な例基底ベクトルでの例完全規格直交条件フーリエ級数 (三角関数)三角関数の規格性, 直交性sin同士の組み合わせ $m \ne n$ $m=n$ まとめcos同士の組み合わせ $m \ne n$ $m=n$ まとめsinとcosとの組み合わせ $m \ne n$ $m=n$ まとめ三角関数同士のまとめフーリエ係数 $a_m$ $b_m$ $n=1,2,\cdots$ $n=0$ まとめフーリエ級数のまとめ (三角関数)変数の区間の変更フーリエ級数 (複素指数関数)導入複素指数関数の完全規格直交性 $m \ne n$ $m = n$ まとめフーリエ係数フーリエ級数のまとめ (複素指数関数)フーリエ変換フーリエ級数展開部分の見直しフーリエ係数部分の見直しフーリエ変換フーリエ変換の例複数の正弦波の合成波声

期末テストで答えるとき説明の日本語は資料と同じぐらい書く必要はあるのでしょうか？

必要ありません. ちゃんと論理が通っており, 定義の漏れ等がなければ問題ありません. 授業資料はあくまで細かく記載しています.

基底関数 (フーリエ級数の準備)

導入

多自由度の連成振動や連続体の振動等でやったように, 様々な振動現象は基準振動 (モード) の重ね合わせとして表現できた. すなわち, ギターの出す音の波形や, 人間が出す声の波形などの様々な波も何かしらのモードの重ね合わせで表現できるはずである.

そこで, そのような複雑な波形をどのように表現すればよいかを, 系統的, 一般的に取り扱う手法として生み出されたものがフーリエ級数である.

フーリエ級数の場合は三角関数もしくは複素指数関数をモードの元 (基底関数) として重ね合わせることで, 複雑な波形を再現する.

関数の重ね合わせと展開の例

不適な例

$u(x) = ax + b$ という関数の展開を考える. 仮に, この関数を

\begin{matrix} \begin{aligned} f (x) & = x \\ g (x) & = x + 1 \\ h (x) & = x - 1 \end{aligned} \end{matrix}

という3つの関数の重ね合わせで表現する場合, 例えば

\begin{aligned} u (x) & = a x + b \\ = a x + b \frac{1}{2} ((x + 1) - (x - 1)) \\ = a f (x) + b \frac{1}{2} (g (x) - h (x)) \\ = a f (x) + \frac{b}{2} g (x) - \frac{b}{2} h (x) \end{aligned}

などとなる.

しかし, この手法では

$f(x), g(x), h(x)$ の重ね合わせによる展開の方法が一通りではない
$v(x)=cx^2 +dx+e$ など) は, この3つの関数では展開できない

という問題がある.

$f(x), g(x), h(x)$ のような「基となる関数」として, 特別なものを用意すると,

(ほぼ) 任意の関数を展開でき
その展開方法は1通り

とすることができる. この特別な関数のセットを基底関数系と呼ぶ.

基底ベクトルでの例

$x,y,z$ 軸方向の単位ベクトルに似ている :

\begin{matrix} \vec{r} = x {\vec{e}}_{x} + y {\vec{e}}_{y} + z {\vec{e}}_{z} \end{matrix}

$\vec{e}_{x}, \vec{e}_{y}, \vec{e}_{z}$ が基底ベクトルとなるわけだが, この基底ベクトルは

$\vec{r}$ を表現するために揃っている
$\vec{e_i}^2 = 1$
$\vec{e_i} \cdot \vec{e_j} = 0 ~~~~ (i \ne j)$

という3つの性質を持っている. この3つの性質を持った座標系は完全規格直交座標系などと呼ばれる.

完全規格直交条件

$x \in [a, b]$ $x$ $u(x)$ $\{\phi_n(x)\}$ を基底関数とした重ね合わせ :

\begin{matrix} \begin{aligned} u (x) & = C_{1} ϕ_{1} (x) + C_{2} ϕ_{2} (x) + \dots \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} C_{n} ϕ_{n} (x) \end{aligned} \end{matrix}

で記述できる.

このとき, 完全性, 規格性, 直交性の意味は下記の通り:

完全性
- $u(x)$ を表現するために必要な基底関数が揃った「完全」なものであること
規格性
- 大きさが1などの一定の値に規格化されていること
  - $\vec{e_i}^2 = 1$
  - $\int_{a}^{b} \phi_{i}^2(x) d x=1$
直交性
- 2つの異なる基底関数同士の「積」が0となること
  - $\vec{e_i} \cdot \vec{e_j} = 0 ~~~~ (i \ne j)$
  - $\int_{a}^{b} \phi_{i}(x) \phi_{j}(x) d x=0 \quad(i \neq j)$

フーリエ級数 (三角関数)

このような完全規格直交条件を満たす基底関数として, 三角関数 (or 複素指数関数)を用いたもの :

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} u (x) & = a_{1} \sin x + a_{2} \sin 2 x + \dots \\ + b_{1} \cos x + b_{2} \cos 2 x + \dots \\ + \frac{b_{0}}{2} \\ = \sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \sin m x + b_{m} \cos m x) + \frac{b_{0}}{2} (m は 自 然 数) \end{aligned} \end{matrix}

フーリエ級数 $a_m, b_m$ をフーリエ係数と呼ぶ.

三角関数の規格性, 直交性

任意の関数を表現するための基底関数として三角関数 (or 複素指数関数) が完全であるかはここでは割愛し, 規格性, 直交性を確認してみよう.

sin同士の組み合わせ

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{- π}^{π} \sin m x \sin n x d x & = \int_{- π}^{π} - \frac{1}{2} {\cos (m + n) x - \cos (m - n) x} d x (∵ \cos (m \pm n) x = \cos m x \cos n x \mp \sin m x \sin n x) \end{aligned} \end{matrix}

なので,

$m \ne n$

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{- π}^{π} \sin m x \sin n x d x & = \int_{- π}^{π} - \frac{1}{2} {\cos (m + n) x - \cos (m - n) x} d x \\ = - \frac{1}{2} {[\frac{1}{m + n} \sin (m + n) x - \frac{1}{m - n} \sin (m - n) x]}_{- π}^{π} \\ = 0 \end{aligned} \end{matrix}

$m=n$

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{- π}^{π} \sin n x \sin n x d x & = \int_{- π}^{π} - \frac{1}{2} {\cos (n + n) x - \cos (n - n) x} d x \\ = \int_{- π}^{π} - \frac{1}{2} {\cos 2 n x - 1} d x \\ = - \frac{1}{2} {[\frac{1}{2 n} \sin 2 n x - x]}_{- π}^{π} \\ = π \end{aligned} \end{matrix}

まとめ

\begin{matrix} \begin{matrix} \int_{- π}^{π} \sin m x \sin n x d x = {\begin{cases} 0 (m \neq n) \\ π (m = n) \end{cases} \end{matrix} \end{matrix}

cos同士の組み合わせ

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{- π}^{π} \cos m x \cos n x d x & = \int_{- π}^{π} \frac{1}{2} {\cos (m + n) x + \cos (m - n) x} d x (∵ \cos (m \pm n) x = \cos m x \cos n x \mp \sin m x \sin n x) \end{aligned} \end{matrix}

なので,

$m \ne n$

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{- π}^{π} \cos m x \cos n x d x & = \int_{- π}^{π} \frac{1}{2} {\cos (m + n) x + \cos (m - n) x} d x \\ = \frac{1}{2} {[\frac{1}{m + n} \sin (m + n) x + \frac{1}{m - n} \sin (m - n) x]}_{- π}^{π} \\ = 0 \end{aligned} \end{matrix}

$m=n$

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{- π}^{π} \cos n x \cos n x d x & = \int_{- π}^{π} \frac{1}{2} {\cos (n + n) x + \cos (n - n) x} d x \\ = \int_{- π}^{π} \frac{1}{2} {\cos 2 n x + 1} d x \\ = \frac{1}{2} {[\frac{1}{2 n} \sin 2 n x + x]}_{- π}^{π} \\ = π \end{aligned} \end{matrix}

まとめ

\begin{matrix} \begin{matrix} \int_{- π}^{π} \cos m x \cos n x d x = {\begin{cases} 0 (m \neq n) \\ π (m = n) \end{cases} \end{matrix} \end{matrix}

sinとcosとの組み合わせ

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{- π}^{π} \cos m x \sin n x d x & = \int_{- π}^{π} \frac{1}{2} {\sin (m + n) x - \sin (m - n) x} d x (∵ \sin (m \pm n) x = \sin m x \cos n x \pm \cos m x \sin n x) \end{aligned} \end{matrix}

なので,

$m \ne n$

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{- π}^{π} \cos m x \sin n x d x & = \int_{- π}^{π} \frac{1}{2} {\sin (m + n) x - \sin (m - n) x} d x \\ = - \frac{1}{2} {[\frac{- 1}{m + n} \cos (m + n) x - \frac{- 1}{m - n} \cos (m - n) x]}_{- π}^{π} \\ = - \frac{1}{2} [\frac{- 1}{m + n} (\cos (m + n) π - \cos (m + n) (- π)) - \frac{- 1}{m - n} (\cos (m - n) π - \cos (m - n) (- π))] \\ = 0 (∵ \cos は 偶 関 数) \end{aligned} \end{matrix}

$m=n$

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{- π}^{π} \cos n x \sin n x d x & = \int_{- π}^{π} \frac{1}{2} {\sin (n + n) x - \sin (n - n) x} d x \\ = \int_{- π}^{π} \frac{1}{2} {\sin 2 n x - 0} d x \\ = - \frac{1}{2} {[\frac{1}{2 n} \cos 2 n x]}_{- π}^{π} \\ = 0 \end{aligned} \end{matrix}

まとめ

\begin{matrix} \int_{- π}^{π} \cos m x \sin n x d x = 0 \end{matrix}

三角関数同士のまとめ

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} \int_{- π}^{π} \sin m x \sin n x d x & = {\begin{cases} 0 (m \neq n) \\ π (m = n) \end{cases} \\ \int_{- π}^{π} \cos m x \cos n x d x & = {\begin{cases} 0 (m \neq n) \\ π (m = n) \end{cases} \\ \int_{- π}^{π} \cos m x \sin n x d x & = 0 \end{aligned} \end{matrix}

$\sin , \cos$ $0$ $\sin , \cos$ $\pi$ となるので, 三角関数が規格性, 直交性を持つことが確認できた.

フーリエ係数

$\eqref{fs}$ :

\begin{matrix} \begin{aligned} u (x) & = a_{1} \sin x + a_{2} \sin 2 x + \dots \\ + b_{1} \cos x + b_{2} \cos 2 x + \dots \\ + \frac{b_{0}}{2} \\ = \sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \sin m x + b_{m} \cos m x) + \frac{b_{0}}{2} (m は 自 然 数) \end{aligned} \end{matrix}

$a_m, b_m$ $a_m, b_m$ を求めていく.

$a_m$

$a_m$ $\sin m x$ $\eqref{sincos-rules}$ から

\begin{matrix} \int_{- π}^{π} u (x) \sin n x d x \end{matrix}

を考えることで, 特定の係数のみを抜き出すようにしていく.

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{- π}^{π} u (x) \sin n x d x & = \int_{- π}^{π} (\sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \sin m x + b_{m} \cos m x) + \frac{b_{0}}{2}) \sin n x d x \\ = \int_{- π}^{π} (\sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \sin m x \sin n x + b_{m} \cos m x \sin n x) + \frac{b_{0}}{2} \sin n x) d x \\ = \sum_{m = 1}^{\infty} a_{m} \int_{- π}^{π} \sin m x \sin n x d x + \sum_{m = 1}^{\infty} b_{m} \int_{- π}^{π} \cos m x \sin n x d x + \frac{b_{0}}{2} \int_{- π}^{π} \sin n x d x \\ = (a_{n} π + \sum_{m = 1 (m \neq n)}^{\infty} a_{m} \cdot 0) + (\sum_{m = 1}^{\infty} b_{m} \cdot 0) + \frac{b_{0}}{2 (- n)} (\cos n π - \cos (- n π)) (∵ 三 角 関 数 の 規 格 直 交 性 (2)) \\ = a_{n} π \end{aligned} \end{matrix}

となるので,

\begin{matrix} (3) & a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} u (x) \sin n x d x (n = 1, 2, \dots) \end{matrix}

$a_n$ が求まった.

$b_m$

$b_m$ $\cos m x$ $\eqref{sincos-rules}$ から

\begin{matrix} \int_{- π}^{π} u (x) \cos n x d x \end{matrix}

を考えることで, 特定の係数のみを抜き出すようにしていく.

$n=1,2,\cdots$

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{- π}^{π} u (x) \cos n x d x & = \int_{- π}^{π} (\sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \sin m x + b_{m} \cos m x) + \frac{b_{0}}{2}) \cos n x d x \\ = \int_{- π}^{π} (\sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \sin m x \cos n x + b_{m} \cos m x \cos n x) + \frac{b_{0}}{2} \cos n x) d x \\ = \sum_{m = 1}^{\infty} a_{m} \int_{- π}^{π} \sin m x \cos n x d x + \sum_{m = 1}^{\infty} b_{m} \int_{- π}^{π} \cos m x \cos n x d x + \frac{b_{0}}{2} \int_{- π}^{π} \cos n x d x \\ = (\sum_{m = 1}^{\infty} a_{m} \cdot 0) + (b_{n} π + \sum_{m = 1 (m \neq n)}^{\infty} b_{m} \cdot 0) + \frac{b_{0}}{2 n} (\sin n π - \sin (- n π)) (∵ 三 角 関 数 の 規 格 直 交 性 (2)) \\ = b_{n} π \end{aligned} \end{matrix}

となるので,

\begin{matrix} (4) & b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} u (x) \cos n x d x (n = 1, 2, \dots) \end{matrix}

$b_n$ が求まった.

$n=0$

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{- π}^{π} u (x) \cos 0 x d x & = \int_{- π}^{π} u (x) d x \\ = \int_{- π}^{π} (\sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \sin m x + b_{m} \cos m x) + \frac{b_{0}}{2}) d x \\ = \sum_{m = 1}^{\infty} a_{m} \int_{- π}^{π} \sin m x d x + \sum_{m = 1}^{\infty} b_{m} \int_{- π}^{π} \cos m x d x + \frac{b_{0}}{2} \int_{- π}^{π} d x \\ = (\sum_{m = 1}^{\infty} a_{m} \cdot 0) + (\sum_{m = 1}^{\infty} b_{m} \cdot 0) + \frac{b_{0}}{2} (π - (- π)) \\ = b_{0} π \end{aligned} \end{matrix}

$b_0$ が求まった.

まとめ

\begin{matrix} (5) & b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} u (x) \cos n x d x (n = 0, 1, 2, \dots) \end{matrix}

フーリエ級数のまとめ (三角関数)

以上より, フーリエ級数が求まった :

\begin{aligned} (6) & フ ー リ エ 級 数 展 開 & : & u (x) & = \sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \sin m x + b_{m} \cos m x) + \frac{b_{0}}{2} (m は 自 然 数) \\ フ ー リ エ 係 数 & : & {\begin{cases} a_{m} & = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} u (x) \sin m x d x (m = 1, 2, \dots) \\ b_{m} & = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} u (x) \cos m x d x (m = 0, 1, 2, \dots) \end{cases} \end{aligned}

変数の区間の変更

$2 \pi$ $[-\pi , \pi]$ $2 \pi$ $T$ $\left[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2} \right]$ に置き換えることもできる.

period-change

$\pm \pi \to \pm \frac{T}{2}$ $x \to \frac{2 \pi}{T} t ,~dx \to \frac{2 \pi}{T} dt$ という変数変換に相当する.

$\eqref{fs2}$ に適用すると

\begin{matrix} \begin{aligned} フ ー リ エ 級 数 展 開 & : & u (\frac{2 π}{T} t) & = \sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \sin m \frac{2 π}{T} t + b_{m} \cos m \frac{2 π}{T} t) + \frac{b_{0}}{2} (m は 自 然 数) \\ \to u (t) & = \sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \sin m \frac{2 π}{T} t + b_{m} \cos m \frac{2 π}{T} t) + \frac{b_{0}}{2} (m は 自 然 数) \\ フ ー リ エ 係 数 & : & {\begin{cases} a_{m} & = \frac{1}{π} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (\frac{2 π}{T} t) \sin m \frac{2 π}{T} t \cdot \frac{2 π}{T} d t \\ = \frac{2}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) \sin m \frac{2 π}{T} t d t (m = 1, 2, \dots) \\ b_{m} & = \frac{1}{π} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (\frac{2 π}{T} t) \cos m \frac{2 π}{T} t \cdot \frac{2 π}{T} d t \\ = \frac{2}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) \cos m \frac{2 π}{T} t d t (m = 0, 1, 2, \dots) \end{cases} \end{aligned} \end{matrix}

$t$ $\frac{2 \pi}{T}$ $\frac{2 \pi}{T} = \omega_0$ と置き換えれば, 上式を

\begin{aligned} (7) & フ ー リ エ 級 数 展 開 & : & u (t) & = \sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \sin m ω_{0} t + b_{m} \cos m ω_{0} t) + \frac{b_{0}}{2} (m は 自 然 数) \\ フ ー リ エ 係 数 & : & {\begin{cases} a_{m} & = \frac{2}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) \sin m ω_{0} t d t (m = 1, 2, \dots) \\ b_{m} & = \frac{2}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) \cos m ω_{0} t d t (m = 0, 1, 2, \dots) \end{cases} \end{aligned}

と書くこともできる.

フーリエ級数 (複素指数関数)

導入

上述のフーリエ級数の表式でも問題ないのだが, 計算がより簡便となる複素指数関数型のフーリエ級数を紹介する. これは, 三角関数が

\begin{matrix} \cos x = \frac{e^{i x} + e^{- i x}}{2}, \sin x = \frac{e^{i x} - e^{- i x}}{2 i} \end{matrix}

のように, 複素指数関数で表現できることに由来する.

$\eqref{fsw}$ $x \to \frac{2 \pi}{T} t = \omega_0 t$ なので

\begin{matrix} \cos m ω_{0} t = \frac{e^{i m ω_{0} t} + e^{- i m ω_{0} t}}{2}, \sin m ω_{0} t = \frac{e^{i m ω_{0} t} - e^{- i m ω_{0} t}}{2 i} \end{matrix}

$e^{i m \omega_0 t}$ が基底関数として考えられそうである.

$\eqref{fsw}$ $a_m, b_m$ は

\begin{aligned} a_{m} & = \frac{2}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) \sin m ω_{0} t d t \\ = \frac{2}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) \frac{e^{i m ω_{0} t} - e^{- i m ω_{0} t}}{2 i} d t \\ (8) & = \frac{1}{T i} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) (e^{i m ω_{0} t} - e^{- i m ω_{0} t}) d t (m = 1, 2, \dots) \\ \to a_{- m} & = \frac{1}{T i} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) (e^{i (- m) ω_{0} t} - e^{- i (- m) ω_{0} t}) d t \\ = \frac{1}{T i} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) (e^{- i m ω_{0} t} - e^{i m ω_{0} t}) d t \\ = - a_{m} \end{aligned}

\begin{aligned} b_{m} & = \frac{2}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) \cos m ω_{0} t d t \\ = \frac{2}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) \frac{e^{i m ω_{0} t} + e^{- i m ω_{0} t}}{2} d t \\ (9) & = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) (e^{i m ω_{0} t} + e^{- i m ω_{0} t}) d t (m = 1, 2, \dots) \\ \to b_{- m} & = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) (e^{i (- m) ω_{0} t} + e^{- i (- m) ω_{0} t}) d t \\ = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) (e^{- i m ω_{0} t} + e^{i m ω_{0} t}) d t \\ = b_{m} \end{aligned}

であるから, フーリエ級数展開は

\begin{matrix} \begin{aligned} u (t) & = \sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \sin m ω_{0} t + b_{m} \cos m ω_{0} t) + \frac{b_{0}}{2} \\ = \sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \frac{e^{i m ω_{0} t} - e^{- i m ω_{0} t}}{2 i} + b_{m} \frac{e^{i m ω_{0} t} + e^{- i m ω_{0} t}}{2}) + \frac{b_{0}}{2} \\ = \sum_{m = 1}^{\infty} (- i a_{m} \frac{e^{i m ω_{0} t} - e^{- i m ω_{0} t}}{2} + b_{m} \frac{e^{i m ω_{0} t} + e^{- i m ω_{0} t}}{2}) + \frac{b_{0}}{2} \\ = \sum_{m = 1}^{\infty} (\frac{- i a_{m} + b_{m}}{2} e^{i m ω_{0} t} + \frac{i a_{m} + b_{m}}{2} e^{- i m ω_{0} t}) + \frac{b_{0}}{2} \\ = \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{- i a_{m} + b_{m}}{2} e^{i m ω_{0} t} + \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{i a_{m} + b_{m}}{2} e^{- i m ω_{0} t} + \frac{b_{0}}{2} \\ = \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{- i a_{m} + b_{m}}{2} e^{i m ω_{0} t} + \sum_{m = - 1}^{- \infty} \frac{i a_{- m} + b_{- m}}{2} e^{- i (- m) ω_{0} t} + \frac{b_{0}}{2} (∵ 第 2 項 を m \to - m に 置 換) \\ = \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{- i a_{m} + b_{m}}{2} e^{i m ω_{0} t} + \sum_{m = - 1}^{- \infty} \frac{- i a_{m} + b_{m}}{2} e^{i m ω_{0} t} + \frac{b_{0}}{2} e^{i (0) ω_{0} t} (∵ a_{- m} = - a_{m}, b_{- m} = b_{m}) \\ = \sum_{m = - \infty}^{\infty} \frac{- i a_{m} + b_{m}}{2} e^{i m ω_{0} t} \\ = \sum_{m = - \infty}^{\infty} U_{m} e^{i m ω_{0} t} (∵ U_{m} \equiv \frac{- i a_{m} + b_{m}}{2}) \end{aligned} \end{matrix}

と書くことができる.

これが, 複素指数関数型のフーリエ級数:

\begin{array}{r} u (t) = \sum_{m = - \infty}^{\infty} U_{m} e^{i m ω_{0} t} (∵ U_{m} \equiv \frac{- i a_{m} + b_{m}}{2}) \end{array}

である.

複素指数関数の完全規格直交性

三角関数の場合と同様に, 完全性は割愛し, 規格性, 直交性を確認しておく.

$e^{i m \omega_0 t}$ $e^{-i n \omega_0 t} = (e^{i n \omega_0 t})^*$ をペアにした :

\begin{matrix} \begin{array}{r} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{i m ω_{0} t} (e^{i n ω_{0} t})^{*} d t \end{array} \end{matrix}

を考えていく.

$m \ne n$

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{i m ω_{0} t} (e^{i n ω_{0} t})^{*} d t & = \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{i m ω_{0} t} e^{- i n ω_{0} t} d t \\ = \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{i (m - n) ω_{0} t} d t \\ = \frac{1}{i (m - n) ω_{0}} {[e^{i (m - n) ω_{0} t}]}_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \\ = \frac{1}{i (m - n) ω_{0}} [e^{i (m - n) ω_{0} \frac{T}{2}} - e^{i (m - n) ω_{0} (- \frac{T}{2})}] \\ = \frac{1}{i (m - n) ω_{0}} [e^{i (m - n) \frac{2 π}{T} \frac{T}{2}} - e^{i (m - n) \frac{2 π}{T} (- \frac{T}{2})}] (∵ ω_{0} = \frac{2 π}{T}) \\ = \frac{1}{i (m - n) ω_{0}} [e^{i (m - n) π} - e^{- i (m - n) π}] \\ = \frac{2}{(m - n) ω_{0}} \sin (m - n) π (∵ \sin x = \frac{e^{i x} - e^{- i x}}{2 i}) \\ = 0 \end{aligned} \end{matrix}

$m = n$

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{i n ω_{0} t} (e^{i n ω_{0} t})^{*} d t & = \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{i n ω_{0} t} e^{- i n ω_{0} t} d t \\ = \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{0} d t \\ = \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} d t \\ = T \end{aligned} \end{matrix}

まとめ

以上より,

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{i m ω_{0} t} (e^{i n ω_{0} t})^{*} d t & = {\begin{cases} 0 (m \neq n) \\ T (m = n) \end{cases} \end{aligned} \end{matrix}

となり, 複素指数関数の規格直交性が確かめられた.

フーリエ係数

$U_{m} = \frac{-ia_{m} + b_{m}}{2}$ を求めていく.

\begin{matrix} \begin{aligned} U_{m} & = \frac{- i a_{m} + b_{m}}{2} \\ = \frac{1}{2} (- i (\frac{1}{T i} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) (e^{i m ω_{0} t} - e^{- i m ω_{0} t}) d t) + (\frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) (e^{i m ω_{0} t} + e^{- i m ω_{0} t}) d t)) \\ = \frac{1}{2} (- \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) (e^{i m ω_{0} t} - e^{- i m ω_{0} t}) d t + \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) (e^{i m ω_{0} t} + e^{- i m ω_{0} t}) d t) \\ = \frac{1}{2 T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) (2 e^{- i m ω_{0} t}) d t \\ = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) e^{- i m ω_{0} t} d t \end{aligned} \end{matrix}

となる. すなわち,

\begin{matrix} (11) & U_{m} = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) e^{- i m ω_{0} t} d t \end{matrix}

となる.

フーリエ級数のまとめ (複素指数関数)

以上より, 複素指数関数型のフーリエ級数は下記のように書ける.

\begin{aligned} (12) & フ ー リ エ 級 数 展 開 & : & u (t) & = \sum_{m = - \infty}^{\infty} U_{m} e^{i m ω_{0} t} \\ フ ー リ エ 係 数 & : & U_{m} & = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) e^{- i m ω_{0} t} d t \end{aligned}

三角関数の場合よりもだいぶスッキリとした式になった.

フーリエ変換

最後に, フーリエ級数展開の式を変形してフーリエ変換と呼ばれる関係式を導出する.

フーリエ級数展開部分の見直し

$\eqref{fse}$ $u(t)= \sum_{m=-\infty}^{\infty} U_{m} e^{i m \omega_0 t}$ $\cdots , -2 \omega_0, -1 \omega_0, 0, 1 \omega_0, 2 \omega_0, \cdots$ $\omega \equiv m \omega_0$ $U_{m} e^{i m \omega_0 t}$ という関数値の無限和として捉えることができる (下左図).

fs-ft

$U_{m} e^{i m \omega_0 t} = \frac{U_{m} e^{i m \omega_0 t}}{\omega_0} \omega_0$ と書き直して

\begin{matrix} \begin{array}{r} u (t) = \sum_{m = - \infty}^{\infty} U_{m} e^{i m ω_{0} t} = \sum_{m = - \infty}^{\infty} \frac{U_{m} e^{i m ω_{0} t}}{ω_{0}} ω_{0} \end{array} \end{matrix}

$\omega \equiv m \omega_0$ $\frac{U_{m} e^{i m \omega_0 t}}{\omega_0}$ $\omega_0$ のなす細長い短冊の無限和であると見直すことができる.

$\omega_0$ $\Delta \omega$ と書き直せば,

\begin{matrix} \begin{aligned} u (t) & = \sum_{m = - \infty}^{\infty} \frac{U_{m} e^{i m ω_{0} t}}{ω_{0}} ω_{0} \\ = \sum_{m = - \infty}^{\infty} \frac{U_{m} e^{i m Δ ω t}}{Δ ω} Δ ω \\ = \frac{1}{2 π} \sum_{m = - \infty}^{\infty} 2 π \frac{U_{m} e^{i m Δ ω t}}{Δ ω} Δ ω (∵ 2 π は 後 の 都 合 の た め) \end{aligned} \end{matrix}

$m \Delta \omega \to \omega(m)$ $2 \pi \frac{U_{m}}{\Delta \omega}$ $U(\omega(m))$ と書き直せば,

\begin{matrix} \begin{aligned} u (t) & = \frac{1}{2 π} \sum_{m = - \infty}^{\infty} U (ω (m)) e^{i ω (m) t} Δ ω (∵ ω (m) \equiv m Δ ω_{0}, U (ω (m)) \equiv 2 π \frac{U_{m}}{Δ ω}) \end{aligned} \end{matrix}

となる.

フーリエ係数部分の見直し

$m \Delta \omega \to \omega(m)$ $2 \pi \frac{U_{m}}{\Delta \omega}$ $U(\omega(m))$ と書き直せば,

\begin{matrix} \begin{aligned} U_{m} & = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) e^{- i ω (m) t} d t \\ \to \frac{2 π}{Δ ω} U_{m} & = \frac{2 π}{Δ ω} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) e^{- i ω (m) t} d t \\ \to U (ω (m)) & = \frac{2 π}{\frac{2 π}{T}} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) e^{- i ω (m) t} d t (∵ Δ ω = ω_{0} = \frac{2 π}{T}) \\ = \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) e^{- i ω (m) t} d t \end{aligned} \end{matrix}

となる.

フーリエ変換

以上をまとめると,

\begin{aligned} (13) & フ ー リ エ 級 数 展 開 & : & u (t) & = \frac{1}{2 π} \sum_{m = - \infty}^{\infty} U (ω (m)) e^{i ω (m) t} Δ ω \\ フ ー リ エ 係 数 & : & U (ω (m)) & = \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) e^{- i ω (m) t} d t \end{aligned}

$T \to \infty$ という極限を考えると,

\begin{matrix} \begin{aligned} Δ ω & = ω_{0} = \frac{2 π}{T} (有 限 幅) & \to d ω (無 限 小 幅) \\ ω (m) & = m Δ ω (離 散 的 な 値) & \to ω (連 続 的 な 値) \end{aligned} \end{matrix}

となるので,

\begin{aligned} u (t) & = \frac{1}{2 π} \sum_{m = - \infty}^{\infty} U (ω (m)) e^{i ω (m) t} Δ ω \\ \to \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} U (ω) e^{i ω t} d ω \\ U (ω) & = \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} u (t) e^{- i ω (m) t} d t \\ \to \int_{- \infty}^{\infty} u (t) e^{- i ω t} d t \end{aligned}

となる.

$u(t)$ $U(\omega)$ $t \leftrightarrow \omega$ という変数空間の見直しに対応する. したがって, この表式を改めて, フーリエ逆変換, フーリエ変換と呼ぶ :

\begin{aligned} (14) & フ ー リ エ 逆 変 換 & : & u (t) & = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} U (ω) e^{i ω t} d ω \\ (15) & フ ー リ エ 変 換 & : & U (ω) & = \int_{- \infty}^{\infty} u (t) e^{- i ω t} d t \end{aligned}

$t \leftrightarrow$ $\omega$ $u(t)$ $U(\omega)$ $u(t)$ にどのような振動数の波がどの程度含まれているかの分布 (スペクトル) を知ることができる.

$x \leftrightarrow$ $k$ での変数空間の見直しも表すこともできる.

\begin{aligned} (16) & フ ー リ エ 逆 変 換 & : & u (x) & = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} U (k) e^{i k x} d k \\ (17) & フ ー リ エ 変 換 & : & U (k) & = \int_{- \infty}^{\infty} u (x) e^{- i k x} d x \end{aligned}

フーリエ変換の例

実際に時系列に沿った波形をフーリエ変換して振動数スペクトルを表示してみる.

複数の正弦波の合成波

周波数 100, 200, 500, 700, 800 [Hz] の正弦波の合成波 (重ね合わせ) を考える. 各正弦波の振幅, 初期位相を共通とすると, その合成波は下図のようになる.

sine-waves_original-wave

これをフーリエ変換し, 周波数空間に見直してみたものが下図である. 計算時間の都合上, 周波数空間を 0 [Hz] から1000 [Hz]まで20 [Hz]ごとに離散化して計算している.

sine-waves_DFT

すると, 上図のように周波数が 100, 200, 500, 700, 800 [Hz] の位置に同じ高さのピークができている. これは, まさしく, 元の合成波に, それらの周波数成分が等しい割合で含まれていることを示す.

声

実際に私の声の波形でも実施してみた. 「あー」という声を

低い音
高めの音
更に高めの音

で発声し, 録音したものをフーリエ変換した. 結果は下図の通り.

声の音程が高くなるほどに, 周波数空間でのピークが高周波数側にシフトしていくことがわかる.

種類	$u(t)$	$U(\omega)$
低め
高め
更に高め

振動波動論 第13回

コメント

基底関数 (フーリエ級数の準備)

導入

関数の重ね合わせと展開の例

不適な例

基底ベクトルでの例

完全規格直交条件

フーリエ級数 (三角関数)

三角関数の規格性, 直交性

sin同士の組み合わせ

m≠nm \ne n​

m=nm=n

まとめ

cos同士の組み合わせ

m≠nm \ne n​

m=nm=n

まとめ

sinとcosとの組み合わせ

m≠nm \ne n​

m=nm=n

まとめ

三角関数同士のまとめ

フーリエ係数

ama_m

bmb_m​

n=1,2,⋯n=1,2,\cdots

n=0n=0​​

まとめ

フーリエ級数のまとめ (三角関数)

変数の区間の変更

フーリエ級数 (複素指数関数)

導入

複素指数関数の完全規格直交性

m≠nm \ne n​​

m=nm = n​

まとめ

フーリエ係数

フーリエ級数のまとめ (複素指数関数)

フーリエ変換

フーリエ級数展開部分の見直し

フーリエ係数部分の見直し

フーリエ変換

フーリエ変換の例

複数の正弦波の合成波

声

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フーリエ変換

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振動波動論第13回

$m \ne n$

$m=n$

$m \ne n$

$m=n$

$m \ne n$

$m=n$

$a_m$

$b_m$

$n=1,2,\cdots$

$n=0$

$m \ne n$

$m = n$