振動波動論第12回復習問題

振動波動論第12回復習問題実施・提出期間問題干渉回折まとめ解答干渉位置 $x$ で重ね合わさった波 $u(x)$ を記述せよ明点の条件式を導出せよスクリーンの間隔 $L$ がスリット間隔より十分大きい場合, スクリーン上の明点の条件式を導出せよ回折振幅の重ね合わせを導出せよ振幅が初めて0になる角度 $\theta_0$ を導出せよ $\theta_0$ が十分小さい場合のスクリーン上の波の広がりを導出せよ

実施・提出期間

締切: 2024/07/10 (水) 13:30 までに, 下記の問題を実施し, 提出してください.

注意事項

手書きで計算したものを1つのpdfにまとめて提出してください
- 紙に直筆したものを写真 or スキャンする場合は, 中身がハッキリ読めることを確認してください
- タブレット等を用いて電子的に手書きするのもOKです
- 画像ファイルをそのまま何枚も提出したり, zipにまとめて提出したものは受取不可とします
授業資料の解答を丸写しするのではなく, 授業内容を思い出しながら自分の手で計算するようにしてください
授業直後に復習することはもちろん素晴らしいです!! その後, なるべく数日空けてから再学習として本課題を実施し, 提出することを是非試してみてください.

問題

干渉

下図のように平面波が進んできた先に, 2つのスリットがあいた板を置いたとする. 平面波が各スリットを通過すると, 図のように各スリットを波源とするかのような波として考えることができる. これをホイヘンスの原理という.

2slits

$A \sin (k r - \omega t - \phi)$ という正弦波が発せられることになる.

すると, 右側に設置されたスクリーン上の波は, 2つのスリットから来る2つの波の重ね合わせとして表現できる. ここで,

波の山と山が重なれば波は増幅され,
逆に, 波の山と谷が重なると相殺して振幅がゼロとなる

という現象が発生する. この現象を波の干渉という.

$x$ $r_1 ,~ r_2$ とする.

$d$ $L$ $\theta$ も十分小さいとする.

2slits-2

$x$ $u(x)$ を記述せよ
明点の条件式を導出せよ
$L$ がスリット間隔より十分大きい場合, スクリーン上の明点の条件式を導出せよ

回折

$D$ とする.

$diffraction$

$-\frac{D}{2}$ $\frac{D}{2}$ までの微小部分が, それぞれ波を発生させる波源であると考えられる. これらの波の位相と振幅は, 同じ平面波を元としているので共通である.

振幅の重ね合わせを導出せよ
$\theta_0$ を導出せよ
$\theta_0$ が十分小さい場合のスクリーン上の波の広がりを導出せよ

まとめ

今回の授業内容を100文字以上で自分なりにまとめてください. ただし, 写経のように丸写しすることだけはやめてください.

解答

干渉

下図のように平面波が進んできた先に, 2つのスリットがあいた板を置いたとする. 平面波が各スリットを通過すると, 図のように各スリットを波源とするかのような波として考えることができる. これをホイヘンスの原理という.

2slits

$A \sin (k r - \omega t - \phi)$ という正弦波が発せられることになる.

すると, 右側に設置されたスクリーン上の波は, 2つのスリットから来る2つの波の重ね合わせとして表現できる. ここで,

波の山と山が重なれば波は増幅され,
逆に, 波の山と谷が重なると相殺して振幅がゼロとなる

という現象が発生する. この現象を波の干渉という.

$x$ $r_1 ,~ r_2$ とする.

$d$ $L$ $\theta$ も十分小さいとする.

2slits-2

$x$ $u(x)$ を記述せよ

$s_1, s_2$ $\phi$ $x$ $u(x)$ は

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} u (x) & = A \sin (k r_{1} - ω t - ϕ) + A \sin (k r_{2} - ω t - ϕ) \\ = 2 A \sin \frac{(k r_{1} - ω t - ϕ) + (k r_{2} - ω t - ϕ)}{2} \cos \frac{(k r_{1} - ω t - ϕ) - (k r_{2} - ω t - ϕ)}{2} \\ (∵ 和 積 : \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}) \\ = 2 A \sin (\frac{k (r_{1} + r_{2})}{2} - ω t - ϕ) \cos \frac{k}{2} (r_{1} - r_{2}) \\ = 2 A \cos \frac{k}{2} (r_{1} - r_{2}) \sin (\frac{k (r_{1} + r_{2})}{2} - ω t - ϕ) \end{aligned} \end{matrix}

となる.

明点の条件式を導出せよ

$t$ を含んでいるため, 時々刻々変化する箇所である.

$\cos \frac{k}{2} (r_1 - r_2)$ の部分は, 時刻によらず, スクリーン上の位置 (2つのスリットからの距離) のみによって決定される振幅部分を意味する. したがって,

${\displaystyle \cos \frac{k}{2} (r_1 - r_2)} = 0$ : 振幅が0. すなわち, 波の干渉により光が消える (暗くなる).
${\displaystyle \cos \frac{k}{2} (r_1 - r_2)} = \pm1$ : 振幅が最大. すなわち, 波の干渉により光が最も大きく振動する (明るくなる).

ということを示している. すなわち, スクリーン上に明暗明暗明暗...という縞模様ができる.

すると, 明るくなる位置においては,

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} \cos \frac{k}{2} (r_{1} - r_{2}) & = \pm 1 \\ \to \frac{k}{2} (r_{1} - r_{2}) & = m π (∵ m は 整 数) \\ \to r_{1} - r_{2} & = m \frac{2 π}{k} \\ = m λ (∵ k = \frac{2 π}{λ}) \end{aligned} \end{matrix}

$r_1 - r_2$ $\lambda$ の整数倍となる時, 山と山が重なり合って波が強め合うということを示す.

$L$ がスリット間隔より十分大きい場合, スクリーン上の明点の条件式を導出せよ

$r_1 - r_2$ は

\begin{aligned} r_{1} - r_{2} & \sim d \sin θ \\ \sim d \tan θ (∵ | θ | ≪ 1 よ り \sin θ \sim θ \sim \tan θ) \\ = d \frac{x}{L} (∵ \tan θ = \frac{x}{L}) \\ ↓ \\ m λ & \sim d \frac{x}{L} \\ \to ∴ x & \sim m \frac{L λ}{d} \end{aligned}

$\frac{L \lambda}{d}$ 間隔で明るくなるような縞模様ができることがわかる.

回折

$D$ とする.

$diffraction$

$-\frac{D}{2}$ $\frac{D}{2}$ までの微小部分が, それぞれ波を発生させる波源であると考えられる. これらの波の位相と振幅は, 同じ平面波を元としているので共通である.

振幅の重ね合わせを導出せよ

$x'$ $x' \sin \theta$ $A \sin (k (r-x'\sin\theta) - \omega t - \phi)$ という正弦波が発せられる.

$\theta$ 方向に進む波は, この光路差を持つ波の重ね合わせなので, スクリーン上での波の振幅は

\begin{aligned} (振 幅 の 重 ね 合 わ せ) & = \int_{- \frac{D}{2}}^{\frac{D}{2}} A \sin (k (r - x^{'} \sin θ) - ω t - ϕ) d x^{'} \\ = \int_{- \frac{D}{2}}^{\frac{D}{2}} A \sin (k r - ω t - ϕ - k x^{'} \sin θ) d x^{'} \\ ↓ \sin の 加 法 定 理 : \sin (x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \\ = A \int_{- \frac{D}{2}}^{\frac{D}{2}} (\sin (k r - ω t - ϕ) \cos (k x^{'} \sin θ) - \cos (k r - ω t - ϕ) \sin (k x^{'} \sin θ)) d x^{'} \\ = A \sin (k r - ω t - ϕ) \int_{- \frac{D}{2}}^{\frac{D}{2}} \cos (k x^{'} \sin θ) d x^{'} - A \cos (k r - ω t - ϕ) \int_{- \frac{D}{2}}^{\frac{D}{2}} \sin (k x^{'} \sin θ) d x^{'} \\ ↓ \sin (k x^{'} \sin θ) は 奇 関 数 な の で - \frac{D}{2} か ら \frac{D}{2} の 積 分 は 0 \\ = A \sin (k r - ω t - ϕ) \int_{- \frac{D}{2}}^{\frac{D}{2}} \cos (k x^{'} \sin θ) d x^{'} \\ = A \sin (k r - ω t - ϕ) {[\frac{\sin (k x^{'} \sin θ)}{k \sin θ}]}_{- \frac{D}{2}}^{\frac{D}{2}} \\ (3) & = A \sin (k r - ω t - ϕ) \frac{2 \sin (\frac{D k}{2} \sin θ)}{k \sin θ} \end{aligned}

となる.

$\theta_0$ を導出せよ

$\eqref{diffraction}$ $\theta$ $\frac{2\sin (\frac{Dk}{2} \sin\theta)}{k \sin \theta}$ の分子が0になる場合なので,

\begin{matrix} (4) & \frac{D k}{2} \sin θ = π \end{matrix}

$\theta_0$ である.

$\theta_0$ が十分小さい場合のスクリーン上の波の広がりを導出せよ

$\theta_0$ $\eqref{diffaction-0}$ は

\begin{matrix} (5) & θ_{0} = \arcsin (\frac{2 π}{D k}) \approx \frac{2 π}{D k} = \frac{λ}{D} \end{matrix}

$|\theta| < \theta_0$ の範囲がスクリーン上最も波の振幅が大きい部分となる.

$L$ $x$ $\theta$ $\tan \theta = \frac{x}{L}$ であることを用いれば, 波の振幅の大きい部分は

\begin{aligned} | θ | & < θ_{0} \\ ↓ θ_{0} が 十 分 小 さ い の で \tan θ \approx θ \\ \leftrightarrow | \frac{x}{L} | & < \frac{λ}{D} \\ \leftrightarrow | x | & < L \frac{λ}{D} \end{aligned}

$D$ $L\frac{\lambda}{D}$ にまで広がることを示している. この現象を回折と呼ぶ.

$\eqref{theta-range}$ $\theta_0= \frac{\lambda}{D}$ $\theta_0$ $\lambda$ $D$ よりも大きいほど, より大きな角度となって広がって行くことがわかる.

振動波動論 第12回 復習問題

実施・提出期間

問題

干渉

回折

まとめ

解答

干渉

位置xxで重ね合わさった波 u(x)u(x) を記述せよ

明点の条件式を導出せよ

スクリーンの間隔LL がスリット間隔より十分大きい場合, スクリーン上の明点の条件式を導出せよ

回折

振幅の重ね合わせを導出せよ

振幅が初めて0になる角度 θ0\theta_0 を導出せよ

θ0\theta_0 が十分小さい場合のスクリーン上の波の広がりを導出せよ

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Keywords

復習問題

振動波動論第12回復習問題

$x$ $u(x)$ を記述せよ

$L$ がスリット間隔より十分大きい場合, スクリーン上の明点の条件式を導出せよ

$\theta_0$ を導出せよ

$\theta_0$ が十分小さい場合のスクリーン上の波の広がりを導出せよ