2024-06-26 2024-06-24
復習問題

振動波動論第11回復習問題

振動波動論第11回復習問題実施・提出期間問題電磁波まとめ解答電磁波の一般解真空中における電荷密度, 電流密度の値を答えよ $x$ 方向に進行する平面波において, Maxwell方程式を各成分で表わせ電磁波の一般解を導出せよ $E'_0 = 0 ,~ B'_0 = 0$ の場合, どのような電磁波になるか説明せよ $E_0 = E'_0 ,~ B_0 = B'_0 ,~ \phi = \phi'$ の場合, どのような電磁波になるか説明せよ $E_0 = E'_0 ,~ B_0 = B'_0 ,~ \phi - \frac{\pi}{2}= \phi'$ の場合, どのような電磁波になるか説明せよ

実施・提出期間

締切: 2024/07/03 (水) 13:30 までに, 下記の問題を実施し, 提出してください.

注意事項

手書きで計算したものを1つのpdfにまとめて提出してください
- 紙に直筆したものを写真 or スキャンする場合は, 中身がハッキリ読めることを確認してください
- タブレット等を用いて電子的に手書きするのもOKです
- 画像ファイルをそのまま何枚も提出したり, zipにまとめて提出したものは受取不可とします
授業資料の解答を丸写しするのではなく, 授業内容を思い出しながら自分の手で計算するようにしてください
授業直後に復習することはもちろん素晴らしいです!! その後, なるべく数日空けてから再学習として本課題を実施し, 提出することを是非試してみてください.

問題

電磁波

$\boldsymbol{E}$ $\boldsymbol{B}$ が位置と時刻によって変化し伝搬されていく電磁波を

\begin{aligned} E (x, y, z, t) & = (E_{x} (x, y, z, t), E_{y} (x, y, z, t), E_{z} (x, y, z, t)) \\ B (x, y, z, t) & = (B_{x} (x, y, z, t), B_{y} (x, y, z, t), B_{z} (x, y, z, t)) \end{aligned}

という多変数関数で表すとする.

また, 電磁気学の基本方程式としてMaxwell方程式 :

\begin{aligned} d i v E & = \frac{ρ}{ϵ_{0}} \\ d i v B & = 0 \\ r o t E & = - \frac{\partial B}{\partial t} \\ r o t B & = ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial E}{\partial t} + μ_{0} j \end{aligned}

$\epsilon_0 ,~ \mu_0$ $\rho$ $\boldsymbol{j}$ は電流密度.

$x$ 方向に伝わっていく場合を考える.

真空中における電荷密度, 電流密度の値を答えよ
$x$ 方向に進行する平面波において, Maxwell方程式を各成分で表わせ
電磁波の一般解を導出せよ

ただし, 以下の関係式を使って良いものとする.

\begin{matrix} \begin{matrix} E_{y} = E_{0} \sin (k x - ω t - ϕ), B_{0} \equiv \frac{k}{ω} E_{0} \\ E_{z} = E_{0}^{'} \sin (k x - ω t - ϕ^{'}), B_{0}^{'} \equiv \frac{k}{ω} E_{0}^{'} \end{matrix} \end{matrix}

$E'_0 = 0 ,~ B'_0 = 0$ の場合, どのような電磁波になるか説明せよ
$E_0 = E'_0 ,~ B_0 = B'_0 ,~ \phi = \phi'$ の場合, どのような電磁波になるか説明せよ
$E_0 = E'_0 ,~ B_0 = B'_0 ,~ \phi - \frac{\pi}{2}= \phi'$ の場合, どのような電磁波になるか説明せよ

まとめ

今回の授業内容を100文字以上で自分なりにまとめてください. ただし, 写経のように丸写しすることだけはやめてください.

解答

電磁波の一般解

$\boldsymbol{E}$ $\boldsymbol{B}$ が位置と時刻によって変化し伝搬されていく電磁波を

\begin{aligned} E (x, y, z, t) & = (E_{x} (x, y, z, t), E_{y} (x, y, z, t), E_{z} (x, y, z, t)) \\ B (x, y, z, t) & = (B_{x} (x, y, z, t), B_{y} (x, y, z, t), B_{z} (x, y, z, t)) \end{aligned}

という多変数関数で表すとする.

また, 電磁気学の基本方程式としてMaxwell方程式 :

\begin{aligned} d i v E & = \frac{ρ}{ϵ_{0}} \\ d i v B & = 0 \\ r o t E & = - \frac{\partial B}{\partial t} \\ r o t B & = ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial E}{\partial t} + μ_{0} j \end{aligned}

$\epsilon_0 ,~ \mu_0$ $\rho$ $\boldsymbol{j}$ は電流密度.

$x$ 方向に伝わっていく場合を考える.

真空中における電荷密度, 電流密度の値を答えよ

電荷, 電流が存在しないため, 電荷密度, 電流密度は

\begin{matrix} ρ = 0, j = 0 \end{matrix}

となる.

$x$ 方向に進行する平面波において, Maxwell方程式を各成分で表わせ

$x$ $x$ $t$ のみに依存する関数となるため,

\begin{aligned} E (x, t) & = (E_{x} (x, t), E_{y} (x, t), E_{z} (x, t)) \\ B (x, t) & = (B_{x} (x, t), B_{y} (x, t), B_{z} (x, t)) \end{aligned}

と書くことができる. これらを実際にMaxwell方程式に代入すると

\begin{aligned} d i v E & = \frac{0}{ϵ_{0}} \\ \to \nabla \cdot E & = 0 \\ \to (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}) \cdot (E_{x} (x, t), E_{y} (x, t), E_{z} (x, t)) & = 0 \\ \to \frac{\partial}{\partial x} E_{x} (x, t) + \frac{\partial}{\partial y} E_{y} (x, t) + \frac{\partial}{\partial z} E_{z} (x, t) & = 0 \\ \to ∴ \frac{\partial}{\partial x} E_{x} (x, t) & = 0 \\ d i v B & = 0 \\ \to \frac{\partial}{\partial x} B_{x} (x, t) + \frac{\partial}{\partial y} B_{y} (x, t) + \frac{\partial}{\partial z} B_{z} (x, t) & = 0 \\ \to ∴ \frac{\partial}{\partial x} B_{x} (x, t) & = 0 \\ r o t E + \frac{\partial B}{\partial t} & = 0 \\ \to \nabla \times E + \frac{\partial B}{\partial t} & = 0 \\ \to (\frac{\partial E_{z}}{\partial y} - \frac{\partial E_{y}}{\partial z}, \frac{\partial E_{x}}{\partial z} - \frac{\partial E_{z}}{\partial x}, \frac{\partial E_{y}}{\partial x} - \frac{\partial E_{x}}{\partial y}) + (\frac{\partial B_{x}}{\partial t}, \frac{\partial B_{y}}{\partial t}, \frac{\partial B_{z}}{\partial t}) & = 0 \\ \to (0 - 0, 0 - \frac{\partial E_{z}}{\partial x}, \frac{\partial E_{y}}{\partial x} - 0) + (\frac{\partial B_{x}}{\partial t}, \frac{\partial B_{y}}{\partial t}, \frac{\partial B_{z}}{\partial t}) & = 0 \\ \to ∴ (\frac{\partial B_{x}}{\partial t}, - \frac{\partial E_{z}}{\partial x} + \frac{\partial B_{y}}{\partial t}, \frac{\partial E_{y}}{\partial x} + \frac{\partial B_{z}}{\partial t}) & = 0 \\ r o t B - ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial E}{\partial t} & = μ_{0} \cdot 0 \\ \to (\frac{\partial B_{z}}{\partial y} - \frac{\partial B_{y}}{\partial z}, \frac{\partial B_{x}}{\partial z} - \frac{\partial B_{z}}{\partial x}, \frac{\partial B_{y}}{\partial x} - \frac{\partial B_{x}}{\partial y}) - ϵ_{0} μ_{0} (\frac{\partial E_{x}}{\partial t}, \frac{\partial E_{y}}{\partial t}, \frac{\partial E_{z}}{\partial t}) & = 0 \\ \to (0 - 0, 0 - \frac{\partial B_{z}}{\partial x}, \frac{\partial B_{y}}{\partial x} - 0) - ϵ_{0} μ_{0} (\frac{\partial E_{x}}{\partial t}, \frac{\partial E_{y}}{\partial t}, \frac{\partial E_{z}}{\partial t}) & = 0 \\ \to ∴ (- ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial E_{x}}{\partial t}, - \frac{\partial B_{z}}{\partial x} - ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial E_{y}}{\partial t}, \frac{\partial B_{y}}{\partial x} - ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial E_{z}}{\partial t}) & = 0 \end{aligned}

となるので, まとめると,

\begin{aligned} (1) & \frac{\partial E_{x}}{\partial x} & = 0 \\ (2) & \frac{\partial B_{x}}{\partial x} & = 0 \\ (3) & (\frac{\partial B_{x}}{\partial t}, - \frac{\partial E_{z}}{\partial x} + \frac{\partial B_{y}}{\partial t}, \frac{\partial E_{y}}{\partial x} + \frac{\partial B_{z}}{\partial t}) & = 0 \\ (4) & (- ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial E_{x}}{\partial t}, - \frac{\partial B_{z}}{\partial x} - ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial E_{y}}{\partial t}, \frac{\partial B_{y}}{\partial x} - ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial E_{z}}{\partial t}) & = 0 \end{aligned}

となる.

電磁波の一般解を導出せよ

ただし, 以下の関係式を使って良いものとする.

\begin{matrix} \begin{matrix} E_{y} = E_{0} \sin (k x - ω t - ϕ), B_{0} \equiv \frac{k}{ω} E_{0} \\ E_{z} = E_{0}^{'} \sin (k x - ω t - ϕ^{'}), B_{0}^{'} \equiv \frac{k}{ω} E_{0}^{'} \end{matrix} \end{matrix}

$\eqref{e1} ,~ \eqref{e2}$ $x$ で積分すると

\begin{aligned} E_{x} (x, t) & = C (t) \\ B_{x} (x, t) & = C^{'} (t) \end{aligned}

$x$ $C=C'=0$ と置いて

\begin{aligned} E_{x} (x, t) & = 0 \\ B_{x} (x, t) & = 0 \end{aligned}

$\eqref{e3} , \eqref{e4}$ $x$ 成分

\begin{aligned} \frac{\partial B_{x}}{\partial t} & = 0 \\ \frac{\partial E_{x}}{\partial t} & = 0 \end{aligned}

となる.

$\eqref{e3}$ $z$ $x$ $\eqref{e4}$ $y$ $t$ で偏微分すると

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial E_{y}}{\partial x} + \frac{\partial B_{z}}{\partial t}) & = 0 \\ \frac{\partial}{\partial t} (- \frac{\partial B_{z}}{\partial x} - ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial E_{y}}{\partial t}) & = 0 \\ ↓ 両 式 の 和 を と る \\ \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial x^{2}} - ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial t^{2}} & = 0 \\ \to ∴ \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial t^{2}} & = \frac{1}{ϵ_{0} μ_{0}} \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial x^{2}} \end{aligned}

となり, 波動方程式の形となった.

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ $v$ に相当する部分は
$\begin{aligned} v & = \sqrt{\frac{1}{ϵ_{0} μ_{0}}} \\ = \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{4 π \times 8.988 \times 10^{9}} [\frac{C^{2}}{N m^{2}}] \cdot 4 π \times 10^{- 7} [\frac{N s^{2}}{C^{2}}]}} \\ = \sqrt{8.988 \times 10^{16} [m^{2} / s^{2}]} \\ = 2.997 \times 10^{8} [m / s] \\ = c \end{aligned}$
$c$ に対応する.

$x$ 軸方向に進む平面波を考えているので, 1次元の進行波解がそのまま適用できて

\begin{matrix} (5) & E_{y} = E_{0} \sin (k x - ω t - ϕ) \end{matrix}

$\eqref{e3}$ $z$ 成分に代入すると

\begin{aligned} \frac{\partial E_{y}}{\partial x} + \frac{\partial B_{z}}{\partial t} & = 0 \\ \to \frac{\partial}{\partial x} E_{0} \sin (k x - ω t - ϕ) + \frac{\partial B_{z}}{\partial t} & = 0 \\ \to E_{0} k \cos (k x - ω t - ϕ) + \frac{\partial B_{z}}{\partial t} & = 0 \\ \to \int \frac{\partial B_{z}}{\partial t} d t & = - \int E_{0} k \cos (k x - ω t - ϕ) d t \\ \to B_{z} & = - E_{0} k \frac{1}{- ω} \sin (k x - ω t - ϕ) d t \\ (6) & \to B_{z} & = B_{0} \sin (k x - ω t - ϕ) d t (∵ B_{0} \equiv \frac{k}{ω} E_{0}) \end{aligned}

$E_y ~\eqref{ey}~,~ B_z \eqref{bz}$ は1つのペアになっており, 横波として伝搬していく.

$\eqref{e3}$ $y$ $x$ $\eqref{e4}$ $z$ $t$ で偏微分すると

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} (- \frac{\partial E_{z}}{\partial x} + \frac{\partial B_{y}}{\partial t}) & = 0 \\ \frac{\partial}{\partial t} (\frac{\partial B_{y}}{\partial x} - ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial E_{z}}{\partial t}) & = 0 \\ ↓ 両 式 の 差 を と る \\ - \frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial x^{2}} + ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial t^{2}} & = 0 \\ \to ∴ \frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial t^{2}} & = \frac{1}{ϵ_{0} μ_{0}} \frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial x^{2}} \end{aligned}

$x$ 軸方向に進む平面波を考えているので, 1次元の進行波解がそのまま適用できて

\begin{matrix} (7) & E_{z} = E_{0}^{'} \sin (k x - ω t - ϕ^{'}) \end{matrix}

$\eqref{e3}$ $y$ 成分に代入すると

\begin{aligned} - \frac{\partial E_{z}}{\partial x} + \frac{\partial B_{y}}{\partial t} & = 0 \\ \to - \frac{\partial}{\partial x} E_{0}^{'} \sin (k x - ω t - ϕ^{'}) + \frac{\partial B_{y}}{\partial t} & = 0 \\ \to - E_{0}^{'} k \cos (k x - ω t - ϕ^{'}) + \frac{\partial B_{y}}{\partial t} & = 0 \\ \to \int \frac{\partial B_{y}}{\partial t} d t & = \int E_{0}^{'} k \cos (k x - ω t - ϕ^{'}) d t \\ \to B_{y} & = E_{0}^{'} k \frac{1}{- ω} \sin (k x - ω t - ϕ^{'}) d t \\ (8) & \to B_{y} & = - B_{0}^{'} \sin (k x - ω t - ϕ^{'}) d t (∵ B_{0}^{'} \equiv \frac{k}{ω} E_{0}^{'}) \end{aligned}

となる.

$E_z ~\eqref{ez}~,~ B_y \eqref{by}$ $E_y ~\eqref{ey}~,~ B_z \eqref{bz}$ $x$ 軸に-90度回転させた形式になっている. 実際, 下図のような横波として伝搬していく.

以上から, 電磁波の一般解はそれぞれを重ね合わせた

\begin{aligned} E & = (E_{x}, E_{y}, E_{z}) \\ (9) & = (0, E_{0} \sin (k x - ω t - ϕ), E_{0}^{'} \sin (k x - ω t - ϕ^{'})) \\ B & = (B_{x}, B_{y}, B_{z}) \\ (10) & = (0, - B_{0}^{'} \sin (k x - ω t - ϕ^{'}), B_{0} \sin (k x - ω t - ϕ)) \end{aligned}

となる.

$E'_0 = 0 ,~ B'_0 = 0$ の場合, どのような電磁波になるか説明せよ

$E'_0 = 0 ,~ B'_0 = 0$ の場合, 電磁波はどのような波になるか説明せよ

$\eqref{E}, \eqref{B}$

\begin{aligned} E & = (0, E_{0} \sin (k x - ω t - ϕ), E_{0}^{'} \sin (k x - ω t - ϕ^{'})) \\ B & = (0, - B_{0}^{'} \sin (k x - ω t - ϕ^{'}), B_{0} \sin (k x - ω t - ϕ)) \end{aligned}

において,

$E'_0 = 0 ,~ B'_0 = 0$ $\boldsymbol{E}$ $y$ $\boldsymbol{B}$ $z$ $E_y ,~ B_z$ のペア)
$E_0 = 0 ,~ B_0 = 0$ $\boldsymbol{E}$ $z$ $\boldsymbol{B}$ $y$ $E_z ,~ B_y$ のペア)

となる. このように, 電場, 磁場が一方向のみに偏っている場合の電磁波を直線偏光という. 偏光板を通した光はこの直線偏光となる.

$E_0 = E'_0 ,~ B_0 = B'_0 ,~ \phi = \phi'$ の場合, どのような電磁波になるか説明せよ

$E_0 = E'_0 ,~ B_0 = B'_0 ,~ \phi = \phi'$ $\boldsymbol{E}$ $(0,1,1)$ $\boldsymbol{B}$ $(0,-1,1)$ 方向

\begin{aligned} E & = (0, E_{0} \sin (k x - ω t - ϕ), E_{0} \sin (k x - ω t - ϕ)) \\ = E_{0} \sin (k x - ω t - ϕ) (0, 1, 1) \\ B & = (0, - B_{0} \sin (k x - ω t - ϕ), B_{0} \sin (k x - ω t - ϕ)) \\ = B_{0} \sin (k x - ω t - ϕ) (0, - 1, 1) \end{aligned}

を向き, これも直線偏光となる.

$E_0 = E'_0 ,~ B_0 = B'_0 ,~ \phi - \frac{\pi}{2}= \phi'$ の場合, どのような電磁波になるか説明せよ

$E_0 = E'_0 ,~ B_0 = B'_0 ,~ \phi_0 - \frac{\pi}{2}= \phi'_0$ の場合

においては

\begin{aligned} E & = (0, E_{0} \sin (k x - ω t - ϕ), E_{0} \sin (k x - ω t - ϕ + \frac{π}{2})) \\ = (0, E_{0} \sin (k x - ω t - ϕ), E_{0} \cos (k x - ω t - ϕ)) \\ B & = (0, - B_{0} \sin (k x - ω t - ϕ + \frac{π}{2}), B_{0} \sin (k x - ω t - ϕ)) \\ = (0, - B_{0} \cos (k x - ω t - ϕ), B_{0} \sin (k x - ω t - ϕ)) \end{aligned}

$\boldsymbol{E}$ $yz$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{E}$ $yz$ 平面内で回転する.

このような電磁波を円偏光という.

振動波動論 第11回 復習問題

実施・提出期間

問題

電磁波

まとめ

解答

電磁波の一般解

真空中における電荷密度, 電流密度の値を答えよ

xx 方向に進行する平面波において, Maxwell方程式を各成分で表わせ

電磁波の一般解を導出せよ

E0′=0, B0′=0E'_0 = 0 ,~ B'_0 = 0 の場合, どのような電磁波になるか説明せよ

E0=E0′, B0=B0′, ϕ=ϕ′E_0 = E'_0 ,~ B_0 = B'_0 ,~ \phi = \phi' の場合, どのような電磁波になるか説明せよ

E0=E0′, B0=B0′, ϕ−π2=ϕ′E_0 = E'_0 ,~ B_0 = B'_0 ,~ \phi - \frac{\pi}{2}= \phi' の場合, どのような電磁波になるか説明せよ

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Keywords

復習問題

振動波動論第11回復習問題

$x$ 方向に進行する平面波において, Maxwell方程式を各成分で表わせ

$E'_0 = 0 ,~ B'_0 = 0$ の場合, どのような電磁波になるか説明せよ

$E_0 = E'_0 ,~ B_0 = B'_0 ,~ \phi = \phi'$ の場合, どのような電磁波になるか説明せよ

$E_0 = E'_0 ,~ B_0 = B'_0 ,~ \phi - \frac{\pi}{2}= \phi'$ の場合, どのような電磁波になるか説明せよ