2024-06-26 2024-06-26
Maxwell方程式, 反射, 屈折, 平面波, 波動, 電磁波

振動波動論第11回

振動波動論第11回出席アンケートに関するお願いコメント電磁波一般解Maxwell方程式 $E_x,~B_x$ $E_y,~B_z$ $E_z,~B_y$ 偏光直線偏光円偏光平面波の反射と屈折導入反射・屈折の法則の導出光の分散内部全反射

出席アンケートに関するお願い

出席アンケートはなるべく早めに出してもらえると嬉しいです!! (コメントへの返答を準備する都合で, 次回の前日 (2024-07-02 12:00) までにもらえないと反映が間に合わない可能性が高いためです)

波における向き？みたいなのが理解するのにかなり時間がかかった。平面波という言葉が自分にはしっくり来なくてわからなかった。

位相一定の波面が平面の形状をしているので, 平面波と呼びます. どの辺りがしっくり来なかったかをもう少し教えていただければ, 何かお伝えできるかもしれません.

波を3次元に拡張した時、x軸を特別視しない時のみ適用できるというところがあまり理解できない。

$x$ $x$ $x$ $x$ $x,y,z$ $x,y,z$ $x$ $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right)$ $x,y,z$ に偏りがない式となっています.

球面波の一般式を導入する部分の最後、rv + rv の形なのに2rvにならないのがいまいちよくわかっていないのでできれば説明お願いしたいです。

$rv$ $rv$ $ru$ $rv+rv$ という形, というのがどこかわからず, 今回はお答えできません. どの部分がわからなかったかの詳細をもう少し教えていただけますか?

Maxwell方程式の考え方がいまいち理解が出来なかった。

Maxwell方程式の文字が何を表しているのかが分かりにくかったです

マクスウェル方程式がどんなものなのかいまいち分からなかった。

微分方程式の変形で分からないところがあった。

イメージが難しかったです？

追いつけていない。

電磁波

一般解

Maxwell方程式

3次元の波の例として電磁波を取り上げる.

$\boldsymbol{E}$ $\boldsymbol{B}$ が位置と時刻によって変化し伝搬されていく波なので,

\begin{aligned} E (x, y, z, t) & = (E_{x} (x, y, z, t), E_{y} (x, y, z, t), E_{z} (x, y, z, t)) \\ B (x, y, z, t) & = (B_{x} (x, y, z, t), B_{y} (x, y, z, t), B_{z} (x, y, z, t)) \end{aligned}

$\boldsymbol{E}, \boldsymbol{B}$ はそれぞれ3成分ベクトルである.

$t$ も含めた4次元ベクトルとして場を扱うこともある.

電磁気学の基本方程式としてMaxwell方程式がある :

\begin{aligned} d i v E & = \frac{ρ}{ϵ_{0}} \\ d i v B & = 0 \\ r o t E & = - \frac{\partial B}{\partial t} \\ r o t B & = ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial E}{\partial t} + μ_{0} j \end{aligned}

$\epsilon_0 ,~ \mu_0$ $\rho$ $\boldsymbol{j}$ は電流密度.

$x$ 方向に伝わっていく場合を考える. 電荷, 電流が存在しないため, 電荷密度, 電流密度は

\begin{matrix} ρ = 0, j = 0 \end{matrix}

$x$ $x$ $t$ のみに依存する関数となるため,

\begin{aligned} E (x, t) & = (E_{x} (x, t), E_{y} (x, t), E_{z} (x, t)) \\ B (x, t) & = (B_{x} (x, t), B_{y} (x, t), B_{z} (x, t)) \end{aligned}

$E_x,~ \cdots,~ B_z$ の中身を詳しく見ていこう.

実際にこれらをMaxwell方程式に代入すると

\begin{aligned} d i v E & = \frac{0}{ϵ_{0}} \\ \to \nabla \cdot E & = 0 \\ \to (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}) \cdot (E_{x} (x, t), E_{y} (x, t), E_{z} (x, t)) & = 0 \\ \to \frac{\partial}{\partial x} E_{x} (x, t) + \frac{\partial}{\partial y} E_{y} (x, t) + \frac{\partial}{\partial z} E_{z} (x, t) & = 0 \\ \to ∴ \frac{\partial}{\partial x} E_{x} (x, t) & = 0 \end{aligned}

\begin{aligned} d i v B & = 0 \\ \to \frac{\partial}{\partial x} B_{x} (x, t) + \frac{\partial}{\partial y} B_{y} (x, t) + \frac{\partial}{\partial z} B_{z} (x, t) & = 0 \\ \to ∴ \frac{\partial}{\partial x} B_{x} (x, t) & = 0 \end{aligned}

\begin{aligned} r o t E + \frac{\partial B}{\partial t} & = 0 \\ \to \nabla \times E + \frac{\partial B}{\partial t} & = 0 \\ (\begin{array}{c} \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ E_{x} & E_{y} & E_{z} \end{array}) + \frac{\partial B}{\partial t} & = 0 \\ \to (\frac{\partial E_{z}}{\partial y} - \frac{\partial E_{y}}{\partial z}, \frac{\partial E_{x}}{\partial z} - \frac{\partial E_{z}}{\partial x}, \frac{\partial E_{y}}{\partial x} - \frac{\partial E_{x}}{\partial y}) + (\frac{\partial B_{x}}{\partial t}, \frac{\partial B_{y}}{\partial t}, \frac{\partial B_{z}}{\partial t}) & = 0 \\ \to (0 - 0, 0 - \frac{\partial E_{z}}{\partial x}, \frac{\partial E_{y}}{\partial x} - 0) + (\frac{\partial B_{x}}{\partial t}, \frac{\partial B_{y}}{\partial t}, \frac{\partial B_{z}}{\partial t}) & = 0 \\ \to ∴ (\frac{\partial B_{x}}{\partial t}, - \frac{\partial E_{z}}{\partial x} + \frac{\partial B_{y}}{\partial t}, \frac{\partial E_{y}}{\partial x} + \frac{\partial B_{z}}{\partial t}) & = 0 \end{aligned}

\begin{aligned} r o t B - ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial E}{\partial t} & = μ_{0} \cdot 0 \\ \to (\frac{\partial B_{z}}{\partial y} - \frac{\partial B_{y}}{\partial z}, \frac{\partial B_{x}}{\partial z} - \frac{\partial B_{z}}{\partial x}, \frac{\partial B_{y}}{\partial x} - \frac{\partial B_{x}}{\partial y}) - ϵ_{0} μ_{0} (\frac{\partial E_{x}}{\partial t}, \frac{\partial E_{y}}{\partial t}, \frac{\partial E_{z}}{\partial t}) & = 0 \\ \to (0 - 0, 0 - \frac{\partial B_{z}}{\partial x}, \frac{\partial B_{y}}{\partial x} - 0) - ϵ_{0} μ_{0} (\frac{\partial E_{x}}{\partial t}, \frac{\partial E_{y}}{\partial t}, \frac{\partial E_{z}}{\partial t}) & = 0 \\ \to ∴ (- ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial E_{x}}{\partial t}, - \frac{\partial B_{z}}{\partial x} - ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial E_{y}}{\partial t}, \frac{\partial B_{y}}{\partial x} - ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial E_{z}}{\partial t}) & = 0 \end{aligned}

となるので, まとめると,

\begin{aligned} (1) & \frac{\partial E_{x}}{\partial x} & = 0 \\ (2) & \frac{\partial B_{x}}{\partial x} & = 0 \\ (3) & (\frac{\partial B_{x}}{\partial t}, - \frac{\partial E_{z}}{\partial x} + \frac{\partial B_{y}}{\partial t}, \frac{\partial E_{y}}{\partial x} + \frac{\partial B_{z}}{\partial t}) & = 0 \\ (4) & (- ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial E_{x}}{\partial t}, - \frac{\partial B_{z}}{\partial x} - ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial E_{y}}{\partial t}, \frac{\partial B_{y}}{\partial x} - ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial E_{z}}{\partial t}) & = 0 \end{aligned}

となる.

$E_x,~ \cdots ,~ B_z$ の中身を具体的に求めていく.

$E_x,~B_x$

$\eqref{e1} ,~ \eqref{e2}$ $x$ で積分すると

\begin{aligned} E_{x} (x, t) & = C (t) \\ B_{x} (x, t) & = C^{'} (t) \end{aligned}

$x$ $C=C'=0$ と置いて

\begin{aligned} E_{x} (x, t) & = 0 \\ B_{x} (x, t) & = 0 \end{aligned}

$\eqref{e3} , \eqref{e4}$ $x$ 成分

\begin{aligned} \frac{\partial B_{x}}{\partial t} & = 0 \\ \frac{\partial E_{x}}{\partial t} & = 0 \end{aligned}

となる.

$E_y,~B_z$

$\eqref{e3}$ $z$ $\frac{\partial E_y}{\partial x} + \frac{\partial B_z }{\partial t} = 0$ $\eqref{e4}$ $y$ $- \frac{\partial B_z}{\partial x} - \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial E_y}{\partial t} = 0$ $E_y,~B_z$ $E_y,~B_z$ $\eqref{e3}$ $z$ $x$ $\eqref{e4}$ $y$ $t$ $\frac{\partial^2 B_z}{\partial t \partial x}$ という共通項を相殺できるため,

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial E_{y}}{\partial x} + \frac{\partial B_{z}}{\partial t}) & = 0 \\ \frac{\partial}{\partial t} (- \frac{\partial B_{z}}{\partial x} - ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial E_{y}}{\partial t}) & = 0 \\ ↓ 両 式 の 和 を と る \\ \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial x^{2}} - ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial t^{2}} & = 0 \\ \to ∴ \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial t^{2}} & = \frac{1}{ϵ_{0} μ_{0}} \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial x^{2}} \end{aligned}

となり, 波動方程式の形となった.

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ $v$ に相当する部分は
$\begin{aligned} v & = \sqrt{\frac{1}{ϵ_{0} μ_{0}}} \\ = \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{4 π \times 8.988 \times 10^{9}} [\frac{C^{2}}{N m^{2}}] \cdot 4 π \times 10^{- 7} [\frac{N s^{2}}{C^{2}}]}} \\ = \sqrt{8.988 \times 10^{16} [m^{2} / s^{2}]} \\ = 2.997 \times 10^{8} [m / s] \\ = c \end{aligned}$
$c$ に対応する.

$x$ 軸方向に進む平面波を考えているので, 1次元の進行波解がそのまま適用できて

\begin{matrix} (5) & E_{y} = E_{0} \sin (k x - ω t - ϕ) \end{matrix}

$\eqref{e3}$ $z$ 成分に代入すると

\begin{aligned} \frac{\partial E_{y}}{\partial x} + \frac{\partial B_{z}}{\partial t} & = 0 \\ \to \frac{\partial}{\partial x} E_{0} \sin (k x - ω t - ϕ) + \frac{\partial B_{z}}{\partial t} & = 0 \\ \to E_{0} k \cos (k x - ω t - ϕ) + \frac{\partial B_{z}}{\partial t} & = 0 \\ \to \int \frac{\partial B_{z}}{\partial t} d t & = - \int E_{0} k \cos (k x - ω t - ϕ) d t \\ \to B_{z} & = - E_{0} k \frac{1}{- ω} \sin (k x - ω t - ϕ) \\ (6) & \to B_{z} & = B_{0} \sin (k x - ω t - ϕ) (∵ B_{0} \equiv \frac{k}{ω} E_{0}) \end{aligned}

$E_y ~\eqref{ey}~,~ B_z \eqref{bz}$ は1つのペアになっており, 下図のような横波として伝搬していく.

$E_z,~B_y$

$\eqref{e3}$ $y$ $- \frac{\partial E_z}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial t} = 0$ $\eqref{e4}$ $z$ $\frac{\partial B_y}{\partial x} - \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial E_z }{\partial t} = 0$ $E_z,~B_y$ $E_z,~B_y$ $\eqref{e3}$ $y$ $x$ $\eqref{e4}$ $z$ $t$ $\frac{\partial^2 B_y}{\partial t \partial x}$ という共通項を相殺できるため,

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} (- \frac{\partial E_{z}}{\partial x} + \frac{\partial B_{y}}{\partial t}) & = 0 \\ \frac{\partial}{\partial t} (\frac{\partial B_{y}}{\partial x} - ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial E_{z}}{\partial t}) & = 0 \\ ↓ 両 式 の 差 を と る \\ - \frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial x^{2}} + ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial t^{2}} & = 0 \\ \to ∴ \frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial t^{2}} & = \frac{1}{ϵ_{0} μ_{0}} \frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial x^{2}} \end{aligned}

$x$ 軸方向に進む平面波を考えているので, 1次元の進行波解がそのまま適用できて

\begin{matrix} (7) & E_{z} = E_{0}^{'} \sin (k x - ω t - ϕ^{'}) \end{matrix}

$\eqref{e3}$ $y$ 成分に代入すると

\begin{aligned} - \frac{\partial E_{z}}{\partial x} + \frac{\partial B_{y}}{\partial t} & = 0 \\ \to - \frac{\partial}{\partial x} E_{0}^{'} \sin (k x - ω t - ϕ^{'}) + \frac{\partial B_{y}}{\partial t} & = 0 \\ \to - E_{0}^{'} k \cos (k x - ω t - ϕ^{'}) + \frac{\partial B_{y}}{\partial t} & = 0 \\ \to \int \frac{\partial B_{y}}{\partial t} d t & = \int E_{0}^{'} k \cos (k x - ω t - ϕ^{'}) d t \\ \to B_{y} & = E_{0}^{'} k \frac{1}{- ω} \sin (k x - ω t - ϕ^{'}) \\ (8) & \to B_{y} & = - B_{0}^{'} \sin (k x - ω t - ϕ^{'}) (∵ B_{0}^{'} \equiv \frac{k}{ω} E_{0}^{'}) \end{aligned}

となる.

$E_z ~\eqref{ez}~,~ B_y \eqref{by}$ $E_y ~\eqref{ey}~,~ B_z \eqref{bz}$ $x$ 軸に-90度回転させた形式になっている. 実際, 下図のような横波として伝搬していく.

以上から, 電磁波の一般解はそれぞれを重ね合わせた

\begin{aligned} E & = (E_{x}, E_{y}, E_{z}) \\ (9) & = (0, E_{0} \sin (k x - ω t - ϕ), E_{0}^{'} \sin (k x - ω t - ϕ^{'})) \\ B & = (B_{x}, B_{y}, B_{z}) \\ (10) & = (0, - B_{0}^{'} \sin (k x - ω t - ϕ^{'}), B_{0} \sin (k x - ω t - ϕ)) \end{aligned}

となる.

偏光

直線偏光

$\eqref{E}, \eqref{B}$

\begin{aligned} E & = (0, E_{0} \sin (k x - ω t - ϕ), E_{0}^{'} \sin (k x - ω t - ϕ^{'})) \\ B & = (0, - B_{0}^{'} \sin (k x - ω t - ϕ^{'}), B_{0} \sin (k x - ω t - ϕ)) \end{aligned}

において,

$E'_0 = 0 ,~ B'_0 = 0$ $\boldsymbol{E}$ $y$ $\boldsymbol{B}$ $z$ $E_y ,~ B_z$ のペア)
$E_0 = 0 ,~ B_0 = 0$ $\boldsymbol{E}$ $z$ $\boldsymbol{B}$ $y$ $E_z ,~ B_y$ のペア)

となる. このように, 電場, 磁場が一方向のみに偏っている場合の電磁波を直線偏光という. 偏光板を通した光はこの直線偏光となる.

また,

$E_0 = E'_0 ,~ B_0 = B'_0 ,~ \phi = \phi'$ $\boldsymbol{E}$ $(0,1,1)$ $\boldsymbol{B}$ $(0,-1,1)$ 方向

\begin{aligned} E & = (0, E_{0} \sin (k x - ω t - ϕ), E_{0} \sin (k x - ω t - ϕ)) \\ = E_{0} \sin (k x - ω t - ϕ) (0, 1, 1) \\ B & = (0, - B_{0} \sin (k x - ω t - ϕ), B_{0} \sin (k x - ω t - ϕ)) \\ = B_{0} \sin (k x - ω t - ϕ) (0, - 1, 1) \end{aligned}

を向き, これも直線偏光となる.

円偏光

一方,

$E_0 = E'_0 ,~ B_0 = B'_0 ,~ \phi - \frac{\pi}{2}= \phi'$ の場合

においては

\begin{aligned} E & = (0, E_{0} \sin (k x - ω t - ϕ), E_{0} \sin (k x - ω t - ϕ + \frac{π}{2})) \\ = (0, E_{0} \sin (k x - ω t - ϕ), E_{0} \cos (k x - ω t - ϕ)) \\ B & = (0, - B_{0} \sin (k x - ω t - ϕ + \frac{π}{2}), B_{0} \sin (k x - ω t - ϕ)) \\ = (0, - B_{0} \cos (k x - ω t - ϕ), B_{0} \sin (k x - ω t - ϕ)) \end{aligned}

$\boldsymbol{E}$ $yz$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{E}$ $yz$ 平面内で回転する.

このような電磁波を円偏光という.

$E_0 = E'_0 ,~ B_0 = B'_0 ,~ \phi + \frac{\pi}{2}= \phi'$ の場合とした場合は回転の向きが逆になる.

$E_0 \ne E'_0 ,~ B_0 \ne B'_0$ の場合は楕円偏光となる.

平面波の反射と屈折

導入

$PO$ $XX'$ に到達すると, ・境界面から媒質2の中へ進む平面波 (屈折波) と・境界面から媒質1の中へ引き返す平面波 (反射波) が現れる.

flat_refr-refl

$\theta_i, \theta_r, \theta_{r'}$ と書くことにすると, 経験的に次のような関係が成り立つことが知られている.

反射, 屈折についての関係性 (a) 入射波・屈折波・反射波の進む方向 と 境界面の法線 $\theta_i = \theta_{r'}$ $\frac{\sin \theta_i}{\sin \theta_r} = n_{21} = 一定$ : (光の屈折における) スネルの法則. 他の波でも成立.

$n_{21}$ は媒質1に対する媒質2の屈折率 $n_{21}$ を媒質2の屈折率と呼ぶことが多い.

名称	波長589nmの光に対する屈折率
真空	1
空気	1.0002926
水	1.33
サラダ油	約1.47
耐熱ガラス	約1.47
アクリル樹脂	約1.49

→ サラダ油に耐熱ガラスを浸すと耐熱ガラスが見えなくなる.

反射・屈折の法則の導出

この反射・屈折の法則を波動方程式の境界条件から考えてみる. 入射波を

\begin{matrix} (11) & 入 射 波 : u_{i} = A_{i} \sin (ω t - \vec{k_{i}} \cdot \vec{r}) \end{matrix}

$u_{r'}$ $u_{r}$ はそれぞれ

\begin{array}{r} (12) & 反 射 波 : u_{r^{'}} = A_{r^{'}} \sin (ω t - \vec{k_{r^{'}}} \cdot \vec{r}) \\ (13) & 屈 折 波 : u_{r} = A_{r} \sin (ω t - \vec{k_{r}} \cdot \vec{r}) \end{array}

によって表すことができる.

$xy$ $k_i$ $xz$ 面になるようにとっておく.

$\vec{r}$ $\eqref{i}, \eqref{r'}, \eqref{r}$ $xy$ $xy$ 面内に描画している.

ref-refl_3d2d

$u$ $u$ $u_i + u_{r'}$ で与えられるから, 境界面上では

\begin{matrix} u_{i} + u_{r^{'}} = u_{r} \end{matrix}

$\eqref{i}, \eqref{r'}, \eqref{r}$ から, 境界面上のあらゆる点で,

\begin{matrix} A_{i} \sin (ω t - \vec{k_{i}} \cdot \vec{r}) + A_{r^{'}} \sin (ω t - \vec{k_{r^{'}}} \cdot \vec{r}) = A_{r} \sin (ω t - \vec{k_{r}} \cdot \vec{r}) \end{matrix}

$\vec{r}$ $xy$ 面上の点を指す.

$(任意定数の振幅) \times (時刻と位置を位相に持つ正弦波)$ というものである. したがって, 上式が任意の時刻, 任意の場所で成立するためには, (振幅を正に限れば) その時刻と位置が含まれる位相部分が, 3つの正弦波それぞれにおいて, 常 (任意の時刻) に境界面上のいたる所 (任意の場所) で等しくなくてはならない.

すなわち, 各正弦波の位相が揃った変化 :

\begin{matrix} ω t - \vec{k_{i}} \cdot \vec{r} = ω t - \vec{k_{r^{'}}} \cdot \vec{r} = ω t - \vec{k_{r}} \cdot \vec{r} \end{matrix}

が成立する必要がある.

$\pi$ だけずれている場合も考えてよい. その場合は正弦波の符号の正負が逆になるので, 任意定数である振幅を負の値に取って都合を合わせれば良い.

これを整理すると,

\begin{matrix} (14) & \vec{k_{i}} \cdot \vec{r} = \vec{k_{r^{'}}} \cdot \vec{r} = \vec{k_{r}} \cdot \vec{r} \end{matrix}

$xy$ $x,y,z$ $\vec{e_x},\vec{e_y},\vec{e_z}$ $\vec{r}$ は

\begin{aligned} \vec{r} & = x \vec{e_{x}} + y \vec{e_{y}} + 0 \vec{e_{z}} \\ = x \vec{e_{x}} + y \vec{e_{y}} \end{aligned}

$k_i$ $y$ 成分が現れないように座標をとったから,

\begin{matrix} \vec{k_{i}} = k_{i x} \vec{e_{x}} + k_{i z} \vec{e_{z}} \end{matrix}

$\vec{k_{r}}, \vec{k_{r'}}$ はどの方向を向くかわからないから, 一応

\begin{matrix} \begin{matrix} \vec{k_{r}} = k_{r x} \vec{e_{x}} + k_{r y} \vec{e_{y}} + k_{r z} \vec{e_{z}} \\ \vec{k_{r^{'}}} = k_{r^{'} x} \vec{e_{x}} + k_{r^{'} y} \vec{e_{y}} + k_{r^{'} z} \vec{e_{z}} \end{matrix} \end{matrix}

$\eqref{kr}$ $\vec{k_{i}} \cdot \vec{r} = \vec{k_{r'}} \cdot \vec{r} = \vec{k_{r}} \cdot \vec{r}$ を成分で書いてみると

\begin{aligned} \vec{k_{i}} \cdot \vec{r} & = (k_{i x} \vec{e_{x}} + k_{i z} \vec{e_{z}}) \cdot (x \vec{e_{x}} + y \vec{e_{y}}) \\ = k_{i x} x \\ \vec{k_{r^{'}}} \cdot \vec{r} & = (k_{r^{'} x} \vec{e_{x}} + k_{r^{'} y} \vec{e_{y}} + k_{r^{'} z} \vec{e_{z}}) \cdot (x \vec{e_{x}} + y \vec{e_{y}}) \\ = k_{r^{'} x} x + k_{r^{'} y} y \\ \vec{k_{r}} \cdot \vec{r} & = (k_{r x} \vec{e_{x}} + k_{r y} \vec{e_{y}} + k_{r z} \vec{e_{z}}) \cdot (x \vec{e_{x}} + y \vec{e_{y}}) \\ = k_{r x} x + k_{r y} y \end{aligned}

であることから,

\begin{aligned} \vec{k_{i}} \cdot \vec{r} = \vec{k_{r^{'}}} & \cdot \vec{r} = \vec{k_{r}} \cdot \vec{r} \\ ↓ \\ k_{i x} x = k_{r^{'} x} x & + k_{r^{'} y} y = k_{r x} x + k_{r y} y \end{aligned}

となる.

$x, y$ $x,y$ の係数部分が一致するという :

\begin{aligned} (15) & k_{i x} & = k_{r^{'} x} = k_{r x} \\ (16) & 0 & = k_{r^{'} y} = k_{r y} \end{aligned}

の2式が共に成立する必要がある.

$\eqref{r0}$ $y$ $0$ $xz$ 面内にあることがわかる.

これは, 反射・屈折の関係性 (a) : (a) 入射波・屈折波・反射波の進む方向 と 境界面の法線 は全て同一面内にある. に対応する.

$c_1, c_2$ とすると, 波数, 角振動数, 速さの間には

\begin{array}{r} (17) & k_{i} = | \vec{k_{i}} | = \frac{ω}{c_{1}} \\ (18) & k_{r^{'}} = | \vec{k_{r^{'}}} | = \frac{ω}{c_{1}} \\ (19) & k_{r} = | \vec{k_{r}} | = \frac{ω}{c_{2}} \end{array}

の関係があるから, 反射波は境界面から媒質1の中に進むものであることを考慮して上図 (b) (同じ図を下に再掲):

ref-refl_3d2d_b

$\theta_{i}$ $\theta_{r'}$ $\theta_{r}$ $\eqref{kx}$ $k_{ix} = k_{r' x} = k_{r x}$ は

\begin{aligned} k_{i x} & = k_{r^{'} x} = k_{r x} \\ \leftrightarrow k_{i} \sin θ_{i} & = k_{r^{'}} \sin θ_{r^{'}} = k_{r} \sin θ_{r} \end{aligned}

$\eqref{ki}, \eqref{kr'}, \eqref{kr2}$ を代入すれば,

\begin{aligned} \leftrightarrow \frac{ω}{c_{1}} \sin θ_{i} & = \frac{ω}{c_{1}} \sin θ_{r^{'}} = \frac{ω}{c_{2}} \sin θ_{r} \\ \leftrightarrow \frac{\sin θ_{i}}{c_{1}} & = \frac{\sin θ_{r^{'}}}{c_{1}} = \frac{\sin θ_{r}}{c_{2}} \end{aligned}

となる.

このことから

\begin{aligned} θ_{i} & = θ_{r^{'}} \\ (20) & \frac{\sin θ_{i}}{\sin θ_{r}} & = \frac{c_{1}}{c_{2}} = 一 定 \end{aligned}

が導出できる.

これは前項でやった関係性 : (b)入射角と反射角は等しい (c) (光の屈折における) スネルの法則 に対応する.

以上より, (a), (b), (c) との対応を確認できたため, 反射・屈折の法則の成立が導出できた.

$\epsilon_1 ,~ \mu_1$ $\epsilon_2 ,~ \mu_2$ $c_1 ,~ c_2$ は

\begin{matrix} c_{1} = \frac{1}{\sqrt{ϵ_{1} μ_{1}}}, c_{2} = \frac{1}{\sqrt{ϵ_{2} μ_{2}}} \end{matrix}

$\eqref{snell_c1c2}$ は

\begin{aligned} \frac{\sin θ_{i}}{\sin θ_{r}} & = \frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{ϵ_{1} μ_{1}}}}{\frac{1}{\sqrt{ϵ_{2} μ_{2}}}} = \frac{\sqrt{ϵ_{2} μ_{2}}}{\sqrt{ϵ_{1} μ_{1}}} \end{aligned}

となる.

$\epsilon_0$ $\mu_0$ $c$ より

\begin{aligned} (21) & \frac{\sin θ_{i}}{\sin θ_{r}} & = \frac{c}{c_{2}} = \frac{\sqrt{ϵ_{2} μ_{2}}}{\sqrt{ϵ_{0} μ_{0}}} \equiv n_{2} \end{aligned}

屈折率 $n_2$ ) である.

$\epsilon_0$ $\epsilon$ $\mu_0$ $\mu$ に変わる.

$\eqref{snell_n2}$ のように,

\begin{matrix} c \to c_{2} = \frac{1}{\sqrt{ϵ_{2} μ_{2}}} = \frac{\sqrt{ϵ_{0} μ_{0}}}{\sqrt{ϵ_{2} μ_{2}}} c = \frac{1}{n_{2}} c \end{matrix}

となり, 媒質中では光の伝播速度が真空中の光速からずれる. 実際, 真空中の光速よりも媒質中の光速の方が遅くなるため, 媒質中の屈折率は1より大きくなる.

同様に, 媒質1を真空, 媒質2を媒質1に置き換えると

\begin{aligned} \frac{\sin θ_{i}}{\sin θ_{r}} & = \frac{c}{c_{1}} = \frac{\sqrt{ϵ_{1} μ_{1}}}{\sqrt{ϵ_{0} μ_{0}}} \equiv n_{1} \end{aligned}

となることから, 元々の媒質1, 媒質2の組み合わせの場合は

\begin{aligned} (22) & \frac{\sin θ_{i}}{\sin θ_{r}} & = \frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{c_{1}}{c} \frac{c}{c_{2}} = \frac{n_{2}}{n_{1}} \equiv n_{21} \end{aligned}

となる.

光の分散

雨上がりの空において, 太陽の反対側に虹がかかることがある. 日本では虹の色は赤, 橙, 黄, 緑, 青, 藍, 紫の7色とされている. これは, 太陽の白色光が空気中の水滴によって屈折されて7色に分かれるという現象が発生する.

このように, 白色光が複数の色の光に分かれることを光の分散と呼ぶ.

$\omega$ $\epsilon$ $\epsilon (\omega)$ $\omega$ の関数であるということに由来している.

$\omega$ $\omega$ $\epsilon (\omega)$ $c'$ $c' = \frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu}}$ $\omega$ $n$ $n = \frac{c}{c'}$ $\omega$ が大きいほど, 大きくなる.

実際, 20℃の水の振動数と屈折率の関係が下表である.

色	波長 [nm]	振動数 [THz]	屈折率
赤	656.3	456.8	1.3311
橙	589.3	508.7	1.3330
黄緑	546.1	549.0	1.3345
紫	405	740	1.343

このことにより, 同じ入射角で入射したとしても, 含まれる色によって屈折角が変わり, 光の分散が発生する.

内部全反射

$\eqref{snell-eq}$ で見たように,

\begin{aligned} \frac{\sin θ_{i}}{\sin θ_{r}} & = \frac{n_{2}}{n_{1}} \\ ↓ \\ \sin θ_{r} & = \frac{n_{1}}{n_{2}} \sin θ_{i} \end{aligned}

となる. したがって, 入射角が大きいほど, 屈折角は大きくなる.

$\theta_{i} = \frac{\pi}{2} \to \sin \theta_{i} = 1$ の場合である. この場合, 上式は

\begin{matrix} \sin θ_{r} = \frac{n_{1}}{n_{2}} \end{matrix}

$\theta_r$ を臨界角と呼ぶ.

$\theta_r$ $\theta_i$ は存在しない.

そこで, 入射する向きを入れ替えて, 媒質2から媒質1に向かって光を送る場合を考えると, その場合の入射角が上記の臨界角よりも大きくなった場合, 媒質1に抜け出ることができなくなり, 全て媒質2の中に反射する. これを内部全反射と呼ぶ.

これは, 実際には

プール等の水中から上を見上げた際に, 真上から一定の範囲の角度の円までは空が見えるが, その外側では水の外が見えなくなる
逃げ水
- 「アスファルト等で熱せられた熱い空気の層 (密度薄)」と「その上の冷たい空気の層 (密度濃い」と間で屈折率が僅かに異なる
- 遠方からその中間の界面を眺めると, 内部全反射し, 水たまりのように見える

などの例がある.

振動波動論 第11回

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