2024-06-19 2024-06-18
復習問題

振動波動論第10回復習問題

振動波動論第10回復習問題実施・提出期間問題1次元の波 (定在波)3次元の波 (平面波, 球面波)まとめ解答1次元の波 (定在波)角振動数 $\omega$ を用いて $u_1, u_2$ を記述せよ2つの波の位相差を便宜上 $2 \phi$ だけズレているとした場合の $u_1, u_2$ を記述せよ $u_1, u_2$ を重ね合わせた波 $u(x,y)$ を導出し, どのような波であるか記述せよ $u(x,t)$ が波動方程式を満たすことを実際に計算して示せ3次元の波 (平面波, 球面波)波面上の1点の原点からの距離 $s$ を $\overrightarrow{r} ,~ \overrightarrow{n}$ を用いて表わせある時刻 $t=0$ における平面波を $s$ の関数 $u(x,y,z,t=0) = f(s)$ で表す場合, 時刻 $t$ における平面波の一般解を導出せよ平面波の一般解が満たす微分方程式を導出せよ球面波の波源から十分遠方においては, 球形の波面が近似的に平面波とみなせることを利用し, 球面波の一般解を導出せよ

実施・提出期間

締切: 2024/06/26 (水) 13:30 までに, 下記の問題を実施し, 提出してください.

注意事項

手書きで計算したものを1つのpdfにまとめて提出してください
- 紙に直筆したものを写真 or スキャンする場合は, 中身がハッキリ読めることを確認してください
- タブレット等を用いて電子的に手書きするのもOKです
- 画像ファイルをそのまま何枚も提出したり, zipにまとめて提出したものは受取不可とします
授業資料の解答を丸写しするのではなく, 授業内容を思い出しながら自分の手で計算するようにしてください
授業直後に復習することはもちろん素晴らしいです!! その後, なるべく数日空けてから再学習として本課題を実施し, 提出することを是非試してみてください.

問題

1次元の波 (定在波)

左右遠方に波源があり, 振幅, 波長, 周期が等しく, 互いに逆向きに進む2つの正弦波が同時に存在する場合を考える.

$v$ $\pm x$ 方向に進む波を

\begin{aligned} 一 定 の 速 さ v で + x 方 向 に 進 む 波 & : u_{1} (x, t) = A \sin (k (x - v t) - ϕ_{1}) (A, k, v は 定 数 . ϕ_{1} は 初 期 位 相) \\ 一 定 の 速 さ v で - x 方 向 に 進 む 波 & : u_{2} (x, t) = A \sin (k (x + v t) - ϕ_{2}) (A, k, v は 定 数 . ϕ_{2} は 初 期 位 相) \end{aligned}

と書く場合, 両者を重ね合わせた波について, 以下の問に解答せよ.

$\omega$ $u_1, u_2$ を記述せよ
$2 \phi$ $u_1, u_2$ を記述せよ
$u_1, u_2$ $u(x,y)$ を導出し, どのような波であるか記述せよ
$u(x,t)$ が波動方程式を満たすことを実際に計算して示せ

3次元の波 (平面波, 球面波)

$\overrightarrow{n}$ $s$ $s$ $x$ $x$ $s$ $\overrightarrow{r}$ は波面上の1点を示す位置ベクトルである.

$\overrightarrow{n} = (n_x, n_y, n_z) ,~ \overrightarrow{r} = (x, y, z)$ とする.

3d-plane2

$s$ $\overrightarrow{r} ,~ \overrightarrow{n}$ を用いて表わせ
$t=0$ $s$ $u(x,y,z,t=0) = f(s)$ $t$ における平面波の一般解を導出せよ
平面波の一般解が満たす微分方程式を導出せよ
球面波の波源から十分遠方においては, 球形の波面が近似的に平面波とみなせることを利用し, 球面波の一般解を導出せよ

まとめ

今回の授業内容を100文字以上で自分なりにまとめてください. ただし, 写経のように丸写しすることだけはやめてください.

解答

1次元の波 (定在波)

左右遠方に波源があり, 振幅, 波長, 周期が等しく, 互いに逆向きに進む2つの正弦波が同時に存在する場合を考える.

$v$ $\pm x$ 方向に進む波を

\begin{aligned} 一 定 の 速 さ v で + x 方 向 に 進 む 波 & : u_{1} (x, t) = A \sin (k (x - v t) - ϕ_{1}) (A, k, v は 定 数 . ϕ_{1} は 初 期 位 相) \\ 一 定 の 速 さ v で - x 方 向 に 進 む 波 & : u_{2} (x, t) = A \sin (k (x + v t) - ϕ_{2}) (A, k, v は 定 数 . ϕ_{2} は 初 期 位 相) \end{aligned}

と書く場合, 両者を重ね合わせた波について, 以下の問に解答せよ.

$\omega$ $u_1, u_2$ を記述せよ

$+x$ 方向) に進む進行波は

\begin{aligned} u_{1} (x, t) & = A \sin (k (x - v t) - ϕ_{1}) \\ = A \sin (k x - k v t - ϕ_{1}) \\ ↓ (k v = \frac{2 π}{T} = ω) \\ = A \sin (k x - ω t - ϕ_{1}) \end{aligned}

$-x$ 方向)に進む進行波も同様に

\begin{aligned} u_{2} (x, t) & = A \sin (k (x + v t) - ϕ_{2}) \\ = A \sin (k x + k v t - ϕ_{2}) \\ ↓ (k v = \frac{2 π}{T} = ω) \\ = A \sin (k x + ω t - ϕ_{2}) \end{aligned}

となる.

$2 \phi$ $u_1, u_2$ を記述せよ

$2 \phi$ $\phi_1 =0, \phi_2 = - 2 \phi$ とすると, 各波は

\begin{aligned} + x 方 向 に 進 む 波 : u_{1} (x, t) & = A \sin (k x - ω t) \\ - x 方 向 に 進 む 波 : u_{2} (x, t) & = A \sin (k x + ω t + 2 ϕ) \end{aligned}

となる.

$u_1, u_2$ $u(x,y)$ を導出し, どのような波であるか記述せよ

これらの波が同時に存在することを考えているため, 重ね合わせの原理から

\begin{aligned} u (x, t) & = u_{1} (x, t) + u_{2} (x, t) \\ = A \sin (k x - ω t) + A \sin (k x + ω t + 2 ϕ) \end{aligned}

$\sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2}$ から

\begin{aligned} u (x, t) & = 2 A \sin \frac{(k x - ω t) + (k x + ω t + 2 ϕ)}{2} \cos \frac{(k x - ω t) - (k x + ω t + 2 ϕ)}{2} \\ = 2 A \sin \frac{2 k x + 2 ϕ}{2} \cos \frac{- 2 ω t - 2 ϕ}{2} \\ (1) & = 2 A \sin (k x + ϕ) \cos (ω t + ϕ) \end{aligned}

$u(x,t)$ は, 以前にやった一定波形・一定の速さで進む波を表す関数の形についての必要条件 :

\begin{matrix} (2) & u (x, t) = f (x \mp v t) \end{matrix}

$x \mp vt$ が変数となっていない (=必要条件を満たしていない). すなわち, 一定波形・一定の速さで進む波ではない.

$u(x,t)~\eqref{standing-wave}$ $x$ $2A \sin (kx+\phi)$ $\cos (\omega t + \phi)$ という単振動となる.

$u(x,t)$ が波動方程式を満たすことを実際に計算して示せ

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ は満たす. これは定在波が2つの進行波の線形結合で構成された波であることからわかるし, 実際に代入して確認しても良い :

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} & = v^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \\ \to \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} 2 A \sin (k x + ϕ) \cos (ω t + ϕ) & = v^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} 2 A \sin (k x + ϕ) \cos (ω t + ϕ) \\ \to - 2 A ω^{2} \sin (k x + ϕ) \cos (ω t + ϕ) & = - 2 A k^{2} v^{2} \sin (k x + ϕ) \cos (ω t + ϕ) \\ \to ω^{2} & = k^{2} v^{2} \\ ↓ v = \frac{ω}{k} \\ ω^{2} & = ω^{2} \end{aligned}

3次元の波 (平面波, 球面波)

$\overrightarrow{n}$ $s$ $s$ $x$ $x$ $s$ $\overrightarrow{r}$ は波面上の1点を示す位置ベクトルである.

$\overrightarrow{n} = (n_x, n_y, n_z) ,~ \overrightarrow{r} = (x, y, z)$ とする.

3d-plane2

$s$ $\overrightarrow{r} ,~ \overrightarrow{n}$ を用いて表わせ

$\overrightarrow{r}$ $\overrightarrow{n}$ $s$

\begin{matrix} \vec{n} \cdot \vec{r} = s \end{matrix}

に対応する.

$t=0$ $s$ $u(x,y,z,t=0) = f(s)$ $t$ における平面波の一般解を導出せよ

$t=0$ $s$ の関数

\begin{matrix} u (x, y, z, t = 0) = f (s) \end{matrix}

$u$ $v$ $\overrightarrow{n}$ $t$ $vt$ だけシフトさせればよく

平面波の一般解

\begin{matrix} (3) & \begin{matrix} u (x, y, z, t) = f (s \mp v t) = f (\vec{n} \cdot \vec{r} \mp v t) \\ (\vec{n} と 同 じ 方 向 な ら -, 逆 方 向 な ら +) \end{matrix} \end{matrix}

という形の関数で表される.

\begin{matrix} \begin{matrix} \vec{n} = (n_{x}, n_{y}, n_{z}) \\ \vec{r} = (x, y, z) \end{matrix} \end{matrix}

なので, 平面波の一般解は

\begin{matrix} (4) & u (x, y, z, t) = f (n_{x} x + n_{y} y + n_{z} z \mp v t) \end{matrix}

と書くこともできる.

平面波の一般解が満たす微分方程式を導出せよ

$\eqref{plane1}, \eqref{plane2}$ :

\begin{aligned} u (x, y, z, t) & = f (\vec{n} \cdot \vec{r} \mp v t) \\ = f (n_{x} x + n_{y} y + n_{z} z \mp v t) \end{aligned}

が満たす微分方程式を求める.

\begin{matrix} n_{x} x + n_{y} y + n_{z} z \mp v t \equiv χ \end{matrix}

$f(n_x x + n_y y + n_z z \mp vt) = f(\chi)$ $u$ $t, x, y, z$ についての1階, 2階の偏微分を考えると,

\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial t} & = \frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial χ} \frac{\partial χ}{\partial t} (∵ 合 成 関 数 の 微 分) \\ ↓ f (χ) と 書 い た 場 合 は f は χ の み を 引 数 に も つ 関 数 な の で, 偏 微 分 で な く 常 微 分 に な る \\ = \frac{d f}{d χ} \frac{\partial χ}{\partial t} \\ = \mp v \frac{d f}{d χ} \\ \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} & = \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} (\mp v \frac{d f}{d χ}) = \frac{d}{d χ} (\mp v \frac{d f}{d χ}) \frac{\partial χ}{\partial t} = \mp v \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} (\mp v) = v^{2} \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} & \to & \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} & = v^{2} \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} & = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{d f}{d χ} \frac{\partial χ}{\partial x} = n_{x} \frac{d f}{d χ} \\ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} & = \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (n_{x} \frac{d f}{d χ}) = \frac{d}{d χ} (n_{x} \frac{d f}{d χ}) \frac{\partial χ}{\partial x} = n_{x} \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} (n_{x}) = n_{x}^{2} \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} & \to & \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} & = n_{x}^{2} \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} \\ \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} & = n_{y}^{2} \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} & \to & \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} & = n_{y}^{2} \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} \\ \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} & = n_{z}^{2} \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} & \to & \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} & = n_{z}^{2} \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} \end{aligned}

となり,

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} & = n_{x}^{2} \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} + n_{y}^{2} \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} + n_{z}^{2} \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} \\ = (n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2}) \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} \\ ↓ \vec{n} は 単 位 ベ ク ト ル な の で {\vec{n}}^{2} = n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2} = 1 \\ = \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} \end{aligned}

$t$ での2階偏微分と比較すると

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} & = v^{2} \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} \\ = v^{2} (\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}) \\ = v^{2} \nabla^{2} u (∵ \nabla = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}), Δ = \nabla^{2} = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}) \end{aligned}

となり

波動方程式 (3次元) :

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} & = v^{2} (\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}) \\ (5) & = v^{2} \nabla^{2} u \end{aligned}

が導出できた.

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ $y,z$ $x$ 方向を特別視しない場合に適用できるものである.

球面波の波源から十分遠方においては, 球形の波面が近似的に平面波とみなせることを利用し, 球面波の一般解を導出せよ

$\eqref{wave-eq}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \nabla^2 u$ が適用できる.

$u$ $r$ $t$ との2変数関数でまとめて表すことができる.

$O$ $(x,y,z)$ $r$ は

\begin{matrix} r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \end{matrix}

$x,y,z$ についての1, 2階の偏微分は

\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} & = \frac{\partial u}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial r} \frac{1}{2} \frac{1}{r} (2 x) = \frac{x}{r} \frac{\partial u}{\partial r} \\ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} & = \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{x}{r} \frac{\partial u}{\partial r}) \\ = 1 \cdot \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + x \cdot \frac{- 1}{2} \frac{1}{r^{3}} (2 x) \cdot \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{x}{r} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial u}{\partial r}) \\ = \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{x^{2}}{r^{3}} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{x}{r} \cdot \frac{\partial}{\partial r} (\frac{\partial u}{\partial r}) \frac{\partial r}{\partial x} \\ = \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{x^{2}}{r^{3}} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{x}{r} \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{r} 2 x \\ = \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{x^{2}}{r^{3}} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{x^{2}}{r^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}} \\ \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} & = \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{y^{2}}{r^{3}} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{y^{2}}{r^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}} (∵ u の 等 方 性 よ り x と 同 様) \\ \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} & = \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{z^{2}}{r^{3}} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{z^{2}}{r^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}} (∵ u の 等 方 性 よ り x と 同 様) \end{aligned}

となるため,

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} \\ = (\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{x^{2}}{r^{3}} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{x^{2}}{r^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}}) + (\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{y^{2}}{r^{3}} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{y^{2}}{r^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}}) + (\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{z^{2}}{r^{3}} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{z^{2}}{r^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}}) \\ = \frac{3}{r} \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{r^{3}} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{r^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}} \\ = \frac{3}{r} \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}} \\ = \frac{2}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}} \\ = \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}} \\ = \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial u}{\partial r}) \\ = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (u + r \frac{\partial u}{\partial r}) \\ = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (\frac{\partial r}{\partial r} u + r \frac{\partial u}{\partial r}) \\ = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (\frac{\partial}{\partial r} (r u)) \\ = \frac{1}{r} \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} (r u) \end{aligned}

となる.

$\eqref{wave-eq}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right)$ に代入すると

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} & = v^{2} \frac{1}{r} \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} (r u) \\ \leftrightarrow \frac{\partial^{2} (r u)}{\partial t^{2}} & = v^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} (r u) \end{aligned}

$\tilde{u} (r,t) \equiv r ~u(r,t)$ と置き換えれば,

\begin{matrix} \frac{\partial^{2} \tilde{u} (r, t)}{\partial t^{2}} = v^{2} \frac{\partial^{2} \tilde{u} (r, t)}{\partial r^{2}} \end{matrix}

となり, 1次元 (1方向) の波動方程式と全く同じ形になる. したがって, その進行波は

\begin{matrix} \tilde{u} (r, t) = f_{1} (r - v t) + f_{2} (r + v t) \end{matrix}

$u$ の式に戻せば,

球面波の一般解 :

\begin{matrix} u (r, t) = \frac{1}{r} f_{1} (r - v t) + \frac{1}{r} f_{2} (r + v t) \end{matrix}

となる.

この解において

$\frac{1}{r} f_1 (r-vt)$ $v$ で広がる波
$\frac{1}{r} f_2 (r+vt)$ $v$ で集まる波

を意味する.

$\frac{1}{r}$ $r$ に反比例して減少する (=遠くなると弱くなる) ことを示している.

振動波動論 第10回 復習問題

実施・提出期間

問題

1次元の波 (定在波)

3次元の波 (平面波, 球面波)

まとめ

解答

1次元の波 (定在波)

角振動数 ω\omega を用いて u1,u2u_1, u_2 を記述せよ

2つの波の位相差を便宜上 2ϕ2 \phi だけズレているとした場合の u1,u2u_1, u_2 を記述せよ

u1,u2u_1, u_2 を重ね合わせた波 u(x,y)u(x,y) を導出し, どのような波であるか記述せよ

u(x,t)u(x,t)が波動方程式を満たすことを実際に計算して示せ

3次元の波 (平面波, 球面波)

波面上の1点の原点からの距離 ss を r→, n→\overrightarrow{r} ,~ \overrightarrow{n} を用いて表わせ

ある時刻 t=0t=0 における平面波を ss の関数 u(x,y,z,t=0)=f(s)u(x,y,z,t=0) = f(s)で表す場合, 時刻 ttにおける平面波の一般解を導出せよ

平面波の一般解が満たす微分方程式を導出せよ

球面波の波源から十分遠方においては, 球形の波面が近似的に平面波とみなせることを利用し, 球面波の一般解を導出せよ

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Keywords

復習問題

振動波動論第10回復習問題

$\omega$ $u_1, u_2$ を記述せよ

$2 \phi$ $u_1, u_2$ を記述せよ

$u_1, u_2$ $u(x,y)$ を導出し, どのような波であるか記述せよ

$u(x,t)$ が波動方程式を満たすことを実際に計算して示せ

$s$ $\overrightarrow{r} ,~ \overrightarrow{n}$ を用いて表わせ

$t=0$ $s$ $u(x,y,z,t=0) = f(s)$ $t$ における平面波の一般解を導出せよ