2024-06-19 2024-06-19
Maxwell方程式, 定在波, 平面波, 波動, 球面波

振動波動論第10回

振動波動論第10回出席アンケートに関するお願いコメント1次元の波定在波定在波の例 (超音波トラップ)3次元の波導入平面波 $x$ 軸方向任意の方向波動方程式球面波Maxwell方程式のdivやrotの意味概要Maxwell方程式 (1-1)Maxwell方程式 (1-2)Maxwell方程式 (2-1), (2-2) まとめ

出席アンケートに関するお願い

出席アンケートはなるべく早めに出してもらえると嬉しいです!! (コメントへの返答を準備する都合で, 次回の前日 (2024-06-25 12:00) までにもらえないと反映が間に合わない可能性が高いためです)

電離層における電磁波のところが難しかった。つまり、情報がない物体が光速より速く動いていたとしても、観測されないので、その事象は存在するとはいえない。よって、位相速度が光速を超えてても問題ないってことであってますか？

本当に電離層では位相速度が光速を超えているんですか？もしそうなら、そんなことがありえていいんですか

位相速度が光速より速くなっても群速度を考えると間違っていることが分かり面白かった。

$c$ を越えることはない」と要請している
$c$ より速い
$c$ より遅い
情報を伝達する信号の速度は波束が伝搬する群速度である

となっています. したがって, 「位相速度が光速度より速いことは間違いではない. 位相速度はそもそも信号速度として考えるべきものではないので, 光速度を超えていても問題ではない」ということです.

良かった点: 位相速度と群速度の違いについて具体的な例を通じて学べたことが理解を深める助けになりました。また、複雑な概念を段階的に説明してくれたので、理解がしやすかったです。悪かった点: 説明のスピードが少し早く感じられました。特に数式の展開部分でついていけないことがありました。要望: 数式の導出過程についてもう少しゆっくり説明してもらえるとありがたいです。また、途中で小テストやクイズ形式の確認問題を取り入れてもらえると、理解度がチェックしやすくなると思います。

より実用的な知識に近づいていてとても面白かった。ブラックホールのファイアウォール問題について情報が消える具体的な状況を想像できず理解できなかった。

資料が見やすいです。ただ内容が難しくなって式の理解が追いつかないです

大学一年次に実験でうなりに関する実験をしたことがあったが、文字式だけでは正直完全に理解するには時間がかかってしまっている。出来ればでいいのだが1問でもいいので答えが数字になるものがほしい。

1次元の波

定在波

$v$ $\pm x$ 方向に進む波は以前やったように

\begin{aligned} 一 定 の 速 さ v で + x 方 向 に 進 む 波 & : u_{1} (x, t) = A \sin (k (x - v t) - ϕ_{1}) (A, k, v は 定 数 . ϕ_{1} は 初 期 位 相) \\ 一 定 の 速 さ v で - x 方 向 に 進 む 波 & : u_{2} (x, t) = A \sin (k (x + v t) - ϕ_{2}) (A, k, v は 定 数 . ϕ_{2} は 初 期 位 相) \end{aligned}

$+x$ 方向) に進む進行波は

\begin{aligned} u_{1} (x, t) & = A \sin (k (x - v t) - ϕ_{1}) \\ = A \sin (k x - k v t - ϕ_{1}) \\ ↓ (k v = \frac{2 π}{T} = ω) \\ = A \sin (k x - ω t - ϕ_{1}) \end{aligned}

$-x$ 方向) に進む進行波も同様に

\begin{aligned} u_{2} (x, t) & = A \sin (k (x + v t) - ϕ_{2}) \\ = A \sin (k x + k v t - ϕ_{2}) \\ ↓ (k v = \frac{2 π}{T} = ω) \\ = A \sin (k x + ω t - ϕ_{2}) \end{aligned}

$2 \phi$ $\phi_1 =0, \phi_2 = - 2 \phi$ とすると, 各波は

\begin{aligned} + x 方 向 に 進 む 波 : u_{1} (x, t) & = A \sin (k x - ω t) \\ - x 方 向 に 進 む 波 : u_{2} (x, t) & = A \sin (k x + ω t + 2 ϕ) \end{aligned}

となる. これらの波が同時に存在することを考えているため, 重ね合わせの原理から

\begin{aligned} u (x, t) & = u_{1} (x, t) + u_{2} (x, t) \\ = A \sin (k x - ω t) + A \sin (k x + ω t + 2 ϕ) \\ ↓ 和 積 の 公 式 : \sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ = 2 A \sin \frac{(k x - ω t) + (k x + ω t + 2 ϕ)}{2} \cos \frac{(k x - ω t) - (k x + ω t + 2 ϕ)}{2} \\ = 2 A \sin \frac{2 k x + 2 ϕ}{2} \cos \frac{- 2 ω t - 2 ϕ}{2} \\ (1) & = 2 A \sin (k x + ϕ) \cos (ω t + ϕ) \end{aligned}

$u(x,t)$ は, 以前にやった一定波形・一定の速さで進む波を表す関数の形についての必要条件 :

\begin{matrix} (2) & u (x, t) = f (x \mp v t) \end{matrix}

$x \mp vt$ が変数となっていない (= 一定波形・一定速さの進行波の必要条件を満たしていない). したがって, 一定波形・一定の速さで進む波ではないことがわかる.

$u(x,t)~\eqref{standing-wave}$ $x$ $2A \sin (kx+\phi)$ $\cos (\omega t + \phi)$ という単振動となる.

空間的な波形をプロットしたアニメが下図である.

コマ送りは下記.

進行的な波ではなく, 一定の場所に止まって振動している. このような波を 定常波 or 定在波 と呼ぶ.

$\sin (kx + \phi)$ に依存しており, 特徴的な部分については下記のように腹, 節と呼ばれる :

呼称	特徴	$x$
腹	最も大きく振動する (最大振幅)	$\sin (kx + \phi) = \pm 1$ となる位置
節	振動しない (最小振幅)	$\sin (kx + \phi) = 0$ となる位置

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ は満たす. これは定在波が2つの進行波の線形結合で構成された波であることからわかるし, 実際に代入して確認しても良い :

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} & = v^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \\ \to \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} 2 A \sin (k x + ϕ) \cos (ω t + ϕ) & = v^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} 2 A \sin (k x + ϕ) \cos (ω t + ϕ) \\ \to - 2 A ω^{2} \sin (k x + ϕ) \cos (ω t + ϕ) & = - 2 A k^{2} v^{2} \sin (k x + ϕ) \cos (ω t + ϕ) \\ \to ω^{2} & = k^{2} v^{2} \\ ↓ v = \frac{ω}{k} \\ ω^{2} & = ω^{2} \end{aligned}

定在波の例 (超音波トラップ)

定在波の応用例として, 波動を用いて実物体を動かしたり, 浮かせたりする技術がある. 具体的には

音波で音を可視化する (クントの実験)

kunt

光 (電磁波) で微小な氷 (数十μm ~ 数百μm) を浮かせる (光トラップ)
超音波で小さなビーズ (1mm程度) を浮かせる (超音波トラップ, 音響場浮揚)

などがある. 今回は超音波を用いて小さなビーズを浮かせる超音波トラップについてざっくりと見ていく.

まずは, 下図のような, 壁に向かって音源 (スピーカー等) から音波が出ている場合を考える.

standing-wave-ex1

音波は空気の疎密波, すなわち空気が膨張・圧縮する圧力変化が伝搬する波であり, 波動方程式

\begin{array}{r} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = \frac{K}{ρ} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} (∵ K : 体 積 弾 性 率, ρ : 気 体 の 密 度, 音 速 v = \sqrt{\frac{K}{ρ}}) \end{array}

に従う. 音波が壁にぶつかった際に固定端反射し, 下図のような定在波となる.

standing-wave-ex2

アニメにしたものが下図である.

$x$ 軸上にビーズ等の軽い物体を置けば, 音波の圧力変化により, ビーズは腹の位置から節の位置へ揺り動かされ, その節の位置で固定される. これをトラップと呼ぶ. この原理で音波を可視化したものが1年次の基礎物理学実験で行ったクントの実験である.

また, 球面上に複数個の超音波スピーカーを配置したもの (下図) を用意すれば, 床面等との反射でできる定在波により, 小さなビーズ等を浮かす (浮遊, levitation) こともできる.

実際に浮かせてみた映像が下図である.

$\lambda / 2$ $f$ $f$ $v ~(=f \lambda)$ は約340 [m/s] なので,

\begin{matrix} (ビ ー ズ 同 士 の 間 隔) = \frac{λ}{2} = \frac{1}{2} \frac{v}{f} = \frac{1}{2} \frac{340 [m/s]}{40000 [1/s]} = 0.00425 [m] = 4.25 [mm] \end{matrix}

となり, 上図と近い値であることが確かめられた.

3次元の波

導入

これまでにやったように, 1次元の場合の波動方程式は

\begin{matrix} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = v^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \end{matrix}

である. これは, ある波源から一直線上に沿って進む波に関する方程式であった.

これは, 弦のように, 弦自身の太さに比べて変位の方が大きいため, 波が一直線上で起こるものとして考えられた. しかし, 棒や管内の気体など, 太さが大きくなるにつれ, 各点の変位の大きさに対して太さが無視できなくなってくる. より一般的には, 媒質は3次元空間的な広がりを持っている. ここでは, そのような場合に波をどう表現していくかを考えていく.

平面波

$x$ 軸方向

$x$ 軸に垂直な面ではいたる所で位相が等しいとする.

3d-plane1

$t$ 波面 $x$ 軸に垂直な平面になっているため, このような波は平面波と呼ばれる.

$x$ $y,z$ 軸方向には変位しないため, 波形は

\begin{matrix} u (x, t) = f (x \mp v t) \end{matrix}

となり, これが従う波動方程式も

\begin{matrix} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = v^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \end{matrix}

となり, これまでと同じである.

任意の方向

$\overrightarrow{n}$ $s$ $s$ $x$ $x$ $s$ $\overrightarrow{r}$ は波面上の1点を示す位置ベクトルである.

3d-plane2

$\overrightarrow{r}$ $\overrightarrow{n}$ $s$

\begin{matrix} \vec{n} \cdot \vec{r} = s \end{matrix}

$t=0$ $s$ の関数で表すことができ,

\begin{matrix} u (x, y, z, t = 0) = f (s) \end{matrix}

$u$ $v$ $\overrightarrow{n}$ $t$ $vt$ だけシフトさせればよく

平面波の一般解

\begin{matrix} (3) & \begin{matrix} u (x, y, z, t) = f (s \mp v t) = f (\vec{n} \cdot \vec{r} \mp v t) \\ (\vec{n} と 同 じ 方 向 な ら -, 逆 方 向 な ら +) \end{matrix} \end{matrix}

という形の関数で表される.

$\overrightarrow{n} = (n_x, n_y, n_z) ,~ \overrightarrow{r} = (x, y, z)$ とすれば, 平面波の一般解は

\begin{matrix} (4) & u (x, y, z, t) = f (n_{x} x + n_{y} y + n_{z} z \mp v t) \end{matrix}

と書くこともできる.

これが正弦波だった場合は

\begin{matrix} u (x, y, z, t) = A \sin (k (n_{x} x + n_{y} y + n_{z} z \mp v t) + ϕ) (∵ A は 振 幅, ϕ は 初 期 位 相 の 任 意 定 数) \end{matrix}

となる. また,

\begin{matrix} k n_{x} \equiv k_{x}, k n_{y} \equiv k_{y}, k n_{z} \equiv k_{z}, k v \equiv ω \end{matrix}

$k_x ,~ k_y ,~ k_z$ $\overrightarrow{k}$ を考えると,

平面波 (正弦波) の一般解

\begin{matrix} u (x, y, z, t) = A \sin (\vec{k} \cdot \vec{r} \mp ω t + ϕ) \end{matrix}

$\overrightarrow{k}$ 波数ベクトル $\lambda$ $k$ は

\begin{matrix} k = \frac{2 π}{λ} \end{matrix}

$\omega$ はこれまで同様, 角振動数を意味する.

波動方程式

$\eqref{plane1}, \eqref{plane2}$ :

\begin{aligned} u (x, y, z, t) & = f (\vec{n} \cdot \vec{r} \mp v t) \\ = f (n_{x} x + n_{y} y + n_{z} z \mp v t) \end{aligned}

が満たす微分方程式を求める.

\begin{matrix} n_{x} x + n_{y} y + n_{z} z \mp v t \equiv χ \end{matrix}

$f(n_x x + n_y y + n_z z \mp vt) = f(\chi)$ $u$ $t, x, y, z$ についての1階, 2階の偏微分を考えると,

\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial t} & = \frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial χ} \frac{\partial χ}{\partial t} (∵ 合 成 関 数 の 微 分) \\ ↓ f (χ) と 書 い た 場 合 は f は χ の み を 引 数 に も つ 関 数 な の で, 偏 微 分 で な く 常 微 分 に な る \\ = \frac{d f}{d χ} \frac{\partial χ}{\partial t} \\ = \mp v \frac{d f}{d χ} \\ \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} & = \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} (\mp v \frac{d f}{d χ}) = \frac{d}{d χ} (\mp v \frac{d f}{d χ}) \frac{\partial χ}{\partial t} = \mp v \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} (\mp v) = v^{2} \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} & \to & \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} & = v^{2} \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} & = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{d f}{d χ} \frac{\partial χ}{\partial x} = n_{x} \frac{d f}{d χ} \\ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} & = \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (n_{x} \frac{d f}{d χ}) = \frac{d}{d χ} (n_{x} \frac{d f}{d χ}) \frac{\partial χ}{\partial x} = n_{x} \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} (n_{x}) = n_{x}^{2} \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} & \to & \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} & = n_{x}^{2} \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} \\ \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} & = n_{y}^{2} \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} & \to & \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} & = n_{y}^{2} \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} \\ \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} & = n_{z}^{2} \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} & \to & \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} & = n_{z}^{2} \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} \end{aligned}

となり,

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} & = n_{x}^{2} \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} + n_{y}^{2} \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} + n_{z}^{2} \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} \\ = (n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2}) \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} \\ ↓ \vec{n} は 単 位 ベ ク ト ル な の で {\vec{n}}^{2} = n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2} = 1 \\ = \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} \end{aligned}

$t$ での2階偏微分と比較すると

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} & = v^{2} \frac{d^{2} f}{d χ^{2}} \\ = v^{2} (\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}) \\ = v^{2} \nabla^{2} u (∵ \nabla = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}), Δ = \nabla^{2} = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}) \end{aligned}

となり

波動方程式 (3次元) :

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} & = v^{2} (\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}) \\ (5) & = v^{2} \nabla^{2} u \end{aligned}

が導出できた.

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ $y,z$ $x$ 方向を特別視しない場合に適用できるものである.

球面波

3次元の波で平面波以外に重要なものとして球面波がある.

これは下図のように 球面波 : 媒質が一様の場合に, 波動現象が1点の波源から等方的に同じ速さで広がっていく波. 波面が球形. というものである.

$\eqref{wave-eq}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \nabla^2 u$ が適用できる.

$u$ $r$ $t$ との2変数関数でまとめて表すことができる.

$O$ $(x,y,z)$ $r$ は

\begin{matrix} r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \end{matrix}

$x,y,z$ についての1, 2階の偏微分は

\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} & = \frac{\partial u}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial r} \frac{1}{2} \frac{1}{r} (2 x) = \frac{x}{r} \frac{\partial u}{\partial r} \\ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} & = \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{x}{r} \frac{\partial u}{\partial r}) \\ = 1 \cdot \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + x \cdot \frac{- 1}{2} \frac{1}{r^{3}} (2 x) \cdot \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{x}{r} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial u}{\partial r}) \\ = \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{x^{2}}{r^{3}} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{x}{r} \cdot \frac{\partial}{\partial r} (\frac{\partial u}{\partial r}) \frac{\partial r}{\partial x} \\ = \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{x^{2}}{r^{3}} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{x}{r} \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{r} 2 x \\ = \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{x^{2}}{r^{3}} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{x^{2}}{r^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}} \\ \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} & = \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{y^{2}}{r^{3}} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{y^{2}}{r^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}} (∵ u の 等 方 性 よ り x と 同 様) \\ \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} & = \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{z^{2}}{r^{3}} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{z^{2}}{r^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}} (∵ u の 等 方 性 よ り x と 同 様) \end{aligned}

となるため,

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} \\ = (\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{x^{2}}{r^{3}} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{x^{2}}{r^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}}) + (\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{y^{2}}{r^{3}} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{y^{2}}{r^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}}) + (\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{z^{2}}{r^{3}} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{z^{2}}{r^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}}) \\ = \frac{3}{r} \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{r^{3}} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{r^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}} \\ = \frac{3}{r} \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}} \\ = \frac{2}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}} \\ = \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}} \\ = \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial u}{\partial r}) \\ = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (u + r \frac{\partial u}{\partial r}) \\ = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (\frac{\partial r}{\partial r} u + r \frac{\partial u}{\partial r}) \\ = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (\frac{\partial}{\partial r} (r u)) \\ = \frac{1}{r} \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} (r u) \end{aligned}

となる.

$\eqref{wave-eq}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right)$ に代入すると

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} & = v^{2} \frac{1}{r} \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} (r u) \\ \leftrightarrow \frac{\partial^{2} (r u)}{\partial t^{2}} & = v^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} (r u) \end{aligned}

$\tilde{u} (r,t) \equiv r ~u(r,t)$ と置き換えれば,

\begin{matrix} \frac{\partial^{2} \tilde{u} (r, t)}{\partial t^{2}} = v^{2} \frac{\partial^{2} \tilde{u} (r, t)}{\partial r^{2}} \end{matrix}

となり, 1次元 (1方向) の波動方程式と全く同じ形になる. したがって, その進行波は

\begin{matrix} \tilde{u} (r, t) = f_{1} (r - v t) + f_{2} (r + v t) \end{matrix}

$u$ の式に戻せば,

球面波の一般解 :

\begin{matrix} u (r, t) = \frac{1}{r} f_{1} (r - v t) + \frac{1}{r} f_{2} (r + v t) \end{matrix}

となる.

この解において

$\frac{1}{r} f_1 (r-vt)$ $v$ で広がる波
$\frac{1}{r} f_2 (r+vt)$ $v$ で集まる波

を意味する.

$\frac{1}{r}$ $r$ に反比例して減少する (= 遠くなると弱くなる) ことを示している.

Maxwell方程式のdivやrotの意味

次回以降で光 (電磁波) を取り扱うため, Maxwell方程式について簡単に紹介しておく.

概要

空間の各点に位置だけでなく何らかの性質があると考えたものを「場」と呼ぶ. 場にはスカラー場, ベクトル場などがある.

スカラー場
- 空間の各点にスカラー的な性質があると考えたもの
- 例 : 温度の場
ベクトル場
- 空間の各点にベクトル的な性質があると考えたもの
- 例 : 流れの場 (風, 水などの流れ) → 電磁場もベクトル場の一種

基本的に, ベクトル場が発生する原因は下記の2つに大別できる

湧き出し, 吸い込みのある場

vector1

取り囲んでいる場

vector2

電磁場の法則 (Maxwell方程式) の場合は, 電場, 磁場という2つの場の組み合わせなので, それぞれに対して「湧き出し・吸い込み」「取り囲み」を考えるため, 計4つの法則がある.

1-1) 電場は正電荷から湧き出て, 負電荷に吸い込まれる

1-2) 磁場はN磁荷から湧き出て, S磁荷に吸い込まれる → ただし, 現在までに単磁荷 (magnetic monopole) は発見されておらず, N磁荷とS磁荷は常にセットになっている. → したがって, ひとまずは, 単磁場の湧き出し, 吸い込みはないと考えれば良い

2-1) 電場は「磁荷の流れ」or「磁場の時間変動」のまわりに取り囲む

2-2) 磁場は「電荷の流れ」or「電場の時間変動」のまわりに取り囲む

これら4つの法則を数式化したものがMaxwell方程式となる.

Maxwell方程式 (1-1)

1-1) 電場は正電荷から湧き出て, 負電荷に吸い込まれる

$S$ 上にある電荷から電場が湧き出ていると考えた場合,

\begin{matrix} (6) & (任 意 の 閉 曲 面 S の 表 面 か ら 出 て い く 電 場 の 総 量) \propto (S 内 の 全 電 気 量) \end{matrix}

となる.

E-S

$S$ $S$ 内に入っていって, 出ていく) ような電場は差し引きゼロであり「湧き出し」とは言えないのでカウントしなくて良い.

$S$ $dS$ を考えたとき,

E-ds

その微小面素を内から外へ貫く電場の合計は, 斜めの部分は隣り合う微小面素同士でキャンセルするため, 結局, 面に垂直な方向成分のみが効き

\begin{matrix} | \vec{E} | \cos θ d S = \vec{E} \cdot \vec{n} d S \end{matrix}

$S$ $S$ の表面から湧き出ていく電場の総量が表せる.

$S$ $S$ $Q$ に等しい.

$\eqref{E1_str}$ は

\begin{aligned} \int \vec{E} \cdot \vec{n} d S & \propto Q \\ ↓ \\ (7) & \int \vec{E} \cdot \vec{n} d S & = \frac{1}{ϵ_{0}} Q \end{aligned}

と表すことができる. これが電場の湧き出し, 吸い込みに関するMaxwell方程式 (積分形) である.

$S$ $dV$ として考える:

E-ds2

$x+dx$ $dS$ $x$ $dS$ を貫く電場の合計の差として表現できる:

\begin{aligned} E_{x} (x + d x, y, z) d S - E_{x} (x, y, z) d S & = (E_{x} (x + d x, y, z) - E_{x} (x, y, z)) d S \\ = \frac{E_{x} (x + d x, y, z) - E_{x} (x, y, z)}{d x} d x d S \\ = \frac{E_{x} (x + d x, y, z) - E_{x} (x, y, z)}{d x} d V \\ = \frac{\partial E_{x}}{\partial x} d V \end{aligned}

$x$ 方向のみに向いた場合の表現なので, 任意の方向への表現に拡張すると

\begin{aligned} (\frac{\partial E_{x}}{\partial x} + \frac{\partial E_{y}}{\partial y} + \frac{\partial E_{z}}{\partial z}) d V & = \nabla \cdot \vec{E} d V \end{aligned}

$S$ を形作るとする:

\begin{matrix} \int \nabla \cdot \vec{E} d V \end{matrix}

$S$ $S$ の表面における湧き出しのみが残る:

E-ds3

$S$ $\eqref{E1-int}$ の左辺) に等しく,

\begin{matrix} \int \nabla \cdot \vec{E} d V = \int \vec{E} \cdot \vec{n} d S \end{matrix}

となる. すなわち, 体積積分としての合計が表面での面積分と等価となる.

$\eqref{E1-int}$ より

\begin{aligned} \int \nabla \cdot \vec{E} d V & = \int \vec{E} \cdot \vec{n} d S \\ = \frac{1}{ϵ_{0}} Q \\ = \frac{1}{ϵ_{0}} \int ρ d V (∵ 電 荷 密 度 ρ) \end{aligned}

となる. これは両辺ともに同じ体積領域に対する体積分であるから, 被積分関数を比較すれば,

\begin{aligned} \nabla \cdot \vec{E} & = \frac{ρ}{ϵ_{0}} \\ o r \\ d i v E & = \frac{ρ}{ϵ_{0}} \end{aligned}

となり, 電場の湧き出し, 吸い込みに関するMaxwell方程式 (微分形) が導出できる.

Maxwell方程式 (1-2)

$\boldsymbol{E}$ $\boldsymbol{B}$ $\rho$ $\rho_m$ $\epsilon_0$ $\epsilon_{m,0}$ と置き換えれば良く,

\begin{matrix} d i v B = \frac{ρ_{m}}{ϵ_{m, 0}} \end{matrix}

$\rho_m$ は0となり,

\begin{matrix} d i v B = 0 \end{matrix}

として, 磁場の湧き出し, 吸い込みに関するMaxwell方程式 (微分形) が導出できる.

Maxwell方程式 (2-1), (2-2)

ここは導出が長くなってしまうため, さらにざっくりになってしまうが, 2-1) 電場は (「磁荷の流れ」or)「磁場の時間変動」のまわりに取り囲む 2-2) 磁場は「電荷の流れ」or「電場の時間変動」のまわりに取り囲むについては, 下図のように,

rot

$\boldsymbol{j_m}$ $\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}$ ${\rm rot} \boldsymbol{E}$ が発生し,
$\boldsymbol{j}$ $\frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}$ ${\rm rot} \boldsymbol{B}$ が発生する

という関係があり,

\begin{aligned} r o t E + \frac{\partial B}{\partial t} & \propto j_{m} \\ r o t B - ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial E}{\partial t} & = μ_{0} j \end{aligned}

$\boldsymbol{j_m}=0$ となり, 電場, 磁場についての取り囲みと時間変化に関するMaxwell方程式 (微分形) :

\begin{aligned} r o t E & = - \frac{\partial B}{\partial t} \\ r o t B & = ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial E}{\partial t} + μ_{0} j \end{aligned}

が導出できる.

まとめ

以上より, Maxwell方程式は下記の4式にまとめられる.

1-1) 電場は正電荷から湧き出て, 負電荷に吸い込まれる

\begin{matrix} d i v E = \frac{ρ}{ϵ_{0}} \end{matrix}

1-2) 磁場はN磁荷から湧き出て, S磁荷に吸い込まれる

\begin{matrix} d i v B = 0 \end{matrix}

2-1) 電場は~~「磁荷の流れ」or~~「磁場の時間変動」のまわりに取り囲む

\begin{matrix} r o t E = - \frac{\partial B}{\partial t} \end{matrix}

2-2) 磁場は「電荷の流れ」or「電場の時間変動」のまわりに取り囲む

\begin{matrix} r o t B = μ_{0} j + ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial E}{\partial t} \end{matrix}

振動波動論 第10回

出席アンケートに関するお願い

コメント

1次元の波

定在波

定在波の例 (超音波トラップ)

3次元の波

導入

平面波

xx 軸方向

任意の方向

波動方程式

球面波

Maxwell方程式のdivやrotの意味

概要

Maxwell方程式 (1-1)

Maxwell方程式 (1-2)

Maxwell方程式 (2-1), (2-2)

まとめ

関連記事

Keywords

Maxwell方程式

定在波

平面波

波動

球面波

振動波動論第10回

$x$ 軸方向