2024-06-12 2024-06-11
復習問題

振動波動論第9回復習問題

振動波動論第9回復習問題実施・提出期間問題位相速度, 群速度まとめ解答位相速度, 群速度重なり合った波 $u(x,t)$ を記述せよ(1)の式を簡単のために初期位相, 振幅, 波数, 角振動数に課した条件を用いて書き直して記述せよ. 差分をそれぞれ $\Delta k,~\Delta\omega$ とし平均を $k_{av},~\omega_{av}$ と書くことにする. この系の群速度を記述せよこの系の位相速度を記述せよ

実施・提出期間

締切: 2024/06/19 (水) 13:30 までに, 下記の問題を実施し, 提出してください.

注意事項

手書きで計算したものを1つのpdfにまとめて提出してください
- 紙に直筆したものを写真 or スキャンする場合は, 中身がハッキリ読めることを確認してください
- タブレット等を用いて電子的に手書きするのもOKです
- 画像ファイルをそのまま何枚も提出したり, zipにまとめて提出したものは受取不可とします
授業資料の解答を丸写しするのではなく, 授業内容を思い出しながら自分の手で計算するようにしてください
授業直後に復習することはもちろん素晴らしいです!! その後, なるべく数日空けてから再学習として本課題を実施し, 提出することを是非試してみてください.

問題

位相速度, 群速度

$k_1,~ k_2$ $\omega_1,~\omega_2$ $\phi_1, \phi_2$ を用いて表すと

\begin{matrix} (1) & \begin{matrix} u_{1} (x, t) = A_{1} \sin (k_{1} x - ω_{1} t - ϕ_{1}) \\ u_{2} (x, t) = A_{2} \sin (k_{2} x - ω_{2} t - ϕ_{2}) \end{matrix} \end{matrix}

となる. 簡単のために, 特に,

$\phi_1 = \phi_2 = 0$
$A$ $A_1 = A_2 = A$
$k_1 \approx k_2 ,~ \omega_1 \approx \omega_2$

という場合を考える.

$u(x,t)$ を記述せよ
$\Delta k,~\Delta\omega$ $k_{av},~\omega_{av}$ と書くことにする.
この系の群速度を記述せよ
この系の位相速度を記述せよ

まとめ

今回の授業内容を100文字以上で自分なりにまとめてください. ただし, 写経のように丸写しすることだけはやめてください.

解答

位相速度, 群速度

$k_1,~ k_2$ $\omega_1,~\omega_2$ $\phi_1, \phi_2$ を用いて表すと

\begin{matrix} (2) & \begin{matrix} u_{1} (x, t) = A_{1} \sin (k_{1} x - ω_{1} t - ϕ_{1}) \\ u_{2} (x, t) = A_{2} \sin (k_{2} x - ω_{2} t - ϕ_{2}) \end{matrix} \end{matrix}

となる. 簡単のために, 特に,

$\phi_1 = \phi_2 = 0$
$A$ $A_1 = A_2 = A$
$k_1 \approx k_2 ,~ \omega_1 \approx \omega_2$

という場合を考える.

$u(x,t)$ を記述せよ

2つの波を重ね合わせた波は, 重ね合わせの原理より,

\begin{aligned} (3) & u (x, t) & = u_{1} (x, t) + u_{2} (x, t) \\ (4) & = A_{1} \sin (k_{1} x - ω_{1} t - ϕ_{1}) + A_{2} \sin (k_{2} x - ω_{2} t - ϕ_{2}) \end{aligned}

となる.

$\Delta k,~\Delta\omega$ $k_{av},~\omega_{av}$ と書くことにする.

$\sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2}$ ) を用いると

\begin{aligned} u (x, t) & = A \sin (k_{1} x - ω_{1} t) + A \sin (k_{2} x - ω_{2} t) \\ = 2 A \sin \frac{(k_{1} x - ω_{1} t) + (k_{2} x - ω_{2} t)}{2} \cos \frac{(k_{1} x - ω_{1} t) - (k_{2} x - ω_{2} t)}{2} \\ = 2 A \sin \frac{(k_{1} + k_{2}) x - (ω_{1} + ω_{2}) t}{2} \cos \frac{(k_{1} - k_{2}) x - (ω_{1} - ω_{2}) t}{2} \\ (5) & = 2 A \cos \frac{(k_{2} - k_{1}) x - (ω_{2} - ω_{1}) t}{2} \sin \frac{(k_{1} + k_{2}) x - (ω_{1} + ω_{2}) t}{2} \end{aligned}

$\Delta k,~\Delta\omega$ として

\begin{matrix} (6) & \begin{matrix} Δ k \equiv k_{2} - k_{1} \\ Δ ω \equiv ω_{2} - ω_{1} \end{matrix} \end{matrix}

$k_{av},~\omega_{av}$ とすれば,

\begin{matrix} (7) & \begin{matrix} k_{a v} \equiv \frac{k_{1} + k_{2}}{2} \approx k_{1}, k_{2} \\ ω_{a v} \equiv \frac{ω_{1} + ω_{2}}{2} \approx ω_{1}, ω_{2} \end{matrix} \end{matrix}

$u(x,t)$ $(\ref{u-cross-0})$ は

\begin{aligned} u (x, t) & = 2 A \cos \frac{(k_{2} - k_{1}) x - (ω_{2} - ω_{1}) t}{2} \sin \frac{(k_{1} + k_{2}) x - (ω_{1} + ω_{2}) t}{2} \\ (8) & = 2 A \cos (\frac{Δ k}{2} x - \frac{Δ ω}{2} t) \sin (k_{a v} x - ω_{a v} t) \end{aligned}

となる.

この系の群速度を記述せよ

$\Delta k /2$ $\Delta \omega / 2$ $\cos \left( \frac{\Delta k}{2}x - \frac{\Delta \omega}{2} t \right)$ となっているため, 空間的なうなり構造 (波の概形, 波束) が進む速さは,

\begin{matrix} (9) & \cos (\frac{Δ k}{2} x - \frac{Δ ω}{2} t) = \cos {\frac{Δ k}{2} (x - \frac{Δ ω}{Δ k} t)} \end{matrix}

$\frac{\Delta \omega}{\Delta k}$ $v_g$ と置くことにすると

\begin{matrix} (10) & v_{g} \equiv \frac{Δ ω}{Δ k} \end{matrix}

となる.

$\Delta k$ を小さくした極限を考え,

群速度 :

\begin{matrix} (11) & v_{g} \equiv \frac{d ω (k)}{d k} \end{matrix}

$\omega (k)$ $k$ の関数として記述される角振動数を意味する.

この系の位相速度を記述せよ

$\sin (k_{av} x-\omega_{av} t)$ については

\begin{aligned} \sin (k_{a v} x - ω_{a v} t) & = \sin k_{a v} (x - \frac{ω_{a v}}{k_{a v}} t) \\ (12) & = \sin k_{a v} (x - \frac{ω_{1} + ω_{2}}{k_{1} + k_{2}} t) \end{aligned}

$v_{\phi}$ は,

\begin{matrix} (13) & v_{ϕ} \equiv \frac{ω_{1} + ω_{2}}{k_{1} + k_{2}} \end{matrix}

となり, これがこの系の平均的な位相速度となる.

一般には, 単一の進行波の場合と同じで,

位相速度

\begin{matrix} (14) & v_{ϕ} \equiv \frac{ω (k)}{k} \end{matrix}

と記述される.

振動波動論 第9回 復習問題

実施・提出期間

問題

位相速度, 群速度

まとめ

解答

位相速度, 群速度

重なり合った波 u(x,t)u(x,t) を記述せよ

(1)の式を簡単のために初期位相, 振幅, 波数, 角振動数に課した条件を用いて書き直して記述せよ. 差分をそれぞれ Δk, Δω\Delta k,~\Delta\omega とし平均を kav, ωavk_{av},~\omega_{av} と書くことにする.

この系の群速度を記述せよ

この系の位相速度を記述せよ

関連記事

Keywords

復習問題

振動波動論第9回復習問題

$u(x,t)$ を記述せよ

$\Delta k,~\Delta\omega$ $k_{av},~\omega_{av}$ と書くことにする.