2024-06-05 2024-06-05
復習問題

振動波動論第8回復習問題

振動波動論第8回復習問題実施・提出期間問題波まとめ解答波各時刻でスライスして見ていく時, 波が形を変えずに, 一定速さ $v$ で $+x$ 方向に進む場合の波の関数を導出せよ波の形として正弦波を考えた場合, 進行波の式で記述せよ一定波形・一定の速さで進む波を表す関数から波動方程式を導出せよ波動方程式から一定波形・一定の速さで進む波を表す関数を導出せよ波動方程式を記述せよ

実施・提出期間

締切: 2024/06/12 (水) 13:30 までに, 下記の問題を実施し, 提出してください.

注意事項

手書きで計算したものを1つのpdfにまとめて提出してください
- 紙に直筆したものを写真 or スキャンする場合は, 中身がハッキリ読めることを確認してください
- タブレット等を用いて電子的に手書きするのもOKです
- 画像ファイルをそのまま何枚も提出したり, zipにまとめて提出したものは受取不可とします
授業資料の解答を丸写しするのではなく, 授業内容を思い出しながら自分の手で計算するようにしてください
授業直後に復習することはもちろん素晴らしいです!! その後, なるべく数日空けてから再学習として本課題を実施し, 提出することを是非試してみてください.

問題

波

$x$ $u(x,t)$ $x$ $t$ の関数となる.

wave

$t_0$ における空間的な波の形を

\begin{matrix} u (x, t_{0}) \equiv f (x) \end{matrix}

とする.

$v$ $+x$ 方向に進む場合の波の関数を導出せよ
波の形として正弦波を考えた場合, 進行波の式で記述せよ
一定波形・一定の速さで進む波を表す関数から波動方程式を導出せよ
波動方程式から一定波形・一定の速さで進む波を表す関数を導出せよ
波動方程式を記述せよ

まとめ

今回の授業内容を100文字以上で自分なりにまとめてください. ただし, 写経のように丸写しすることだけはやめてください.

解答

波

$x$ $u(x,t)$ $x$ $t$ の関数となる.

wave

$t_0$ における空間的な波の形を

\begin{matrix} u (x, t_{0}) \equiv f (x) \end{matrix}

とする.

$v$ $+x$ 方向に進む場合の波の関数を導出せよ

$v$ $+x$ 方向に進む場合, その波は下図のように進行していく.

wave_time-slice_+x_t

$t_0-\Delta t,~ t_0,~ t_0 + \Delta t$ $v \Delta t$ ) である.

$t_0 + \Delta t$ $f(x)$ $v \Delta t$ だけ右に平行移動したものなので,

\begin{matrix} u (x, t_{0} + Δ t) = f (x - v Δ t) \end{matrix}

と表すことができる.

したがって,

$t_0 \rightarrow 0$ $t_0$ を時間の原点とし,
$\Delta t \rightarrow t$ $\Delta t$ $t$ と置く

$t_0 + \Delta t$ $t$ となるので,

\begin{matrix} u (x, t) = f (x - v t) \end{matrix}

と表すことができる.

波の形として正弦波を考えた場合, 進行波の式で記述せよ

まず, 正弦波を考えているため

\begin{matrix} A \sin (k x - ϕ) (A, k, ϕ は 定 数) \end{matrix}

$A$ $\phi$ は初期位相である.

$v$ $+x$ $vt$ 分の平行移動として追加し,

\begin{array}{r} u (x, t) = A \sin {k (x - v t) - ϕ} (A, k, ϕ, v は 定 数) \end{array}

となる.

ここで,

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} u (x, t) & = A \sin {k (x - v t) - ϕ} \\ = A \sin {k (x - v t) - ϕ + 2 π} \\ = A \sin {k ((x + 2 π / k) - v t) - ϕ} \\ = u (x + 2 π / k, t) \end{aligned} \end{matrix}

$\lambda$ は

\begin{matrix} λ \equiv \frac{2 π}{k} \end{matrix}

となる. さらに,

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} u (x, t) & = A \sin {k (x - v t) - ϕ} \\ = A \sin {k (x - v t) - ϕ - 2 π} \\ = A \sin {k (x - v t - 2 π / k) - ϕ} \\ = A \sin {k (x - v (t + 2 π / k v)) - ϕ} \\ = u (x, t + 2 π / k v) \end{aligned} \end{matrix}

$T$ は

\begin{matrix} T \equiv \frac{2 π}{k v} \end{matrix}

$\nu$ となり,

\begin{matrix} ν \equiv \frac{1}{T} \end{matrix}

であり, 単位時間あたりの波の数を示す.

$\omega$ $2\pi$ 時間あたりの中の波の数なので,

\begin{matrix} ω \equiv 2 π ν \end{matrix}

$u(x,t)$ は

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} u (x, t) & = A \sin {k (x - v t) - ϕ} \\ = A \sin (k x - k v t - ϕ) \\ = A \sin (k x - (2 π / T) t - ϕ) \\ = A \sin (k x - (2 π ν) t - ϕ) \\ = A \sin (k x - ω t - ϕ) \end{aligned} \end{matrix}

となる.

したがって, 進行波 (正弦波) の式は

\begin{matrix} u (x, t) = A \sin (k x - ω t - ϕ) \end{matrix}

と記述できる.

一定波形・一定の速さで進む波を表す関数から波動方程式を導出せよ

一定波形・一定の速さで進む波を表す関数の形についての必要条件は

\begin{aligned} (4) & 一 定 の 速 さ v で + x 方 向 に 進 む 波 & : u (x, t) = f (x - v t) \\ (5) & 一 定 の 速 さ v で - x 方 向 に 進 む 波 & : u (x, t) = f (x + v t) \end{aligned}

もしくは, それらの線形結合

\begin{aligned} (6) & 線 形 結 合 & : u (x, t) = f_{1} (x - v t) + f_{2} (x + v t) \end{aligned}

のように書くことができる.

これらの関数から, 一定波形・一定の速さで進む波についての重要な関係式 (波動方程式) が導かれることを示す.

$\ref{f+x}$ $x,t$ $f$ の変数部分を

\begin{matrix} s \equiv x - v t \end{matrix}

$x$ についての1階の偏導関数は

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} & = \frac{d u}{d s} \frac{\partial s}{\partial x} \\ = \frac{d u}{d s} \times 1 \\ = \frac{d u}{d s} \end{aligned} \end{matrix}

$x$ についての2階の偏導関数は

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} & = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial u}{\partial x}) \\ = \frac{d}{d s} (\frac{\partial u}{\partial x}) \frac{\partial s}{\partial x} \\ = \frac{d}{d s} (\frac{d u}{d s}) \times 1 \\ (8) & = \frac{d^{2} u}{d s^{2}} \end{aligned}

となる.

$t$ についての1階の偏導関数は

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial t} & = \frac{d u}{d s} \frac{\partial s}{\partial t} \\ = \frac{d u}{d s} \times (- v) \\ = - v \frac{d u}{d s} \end{aligned} \end{matrix}

$t$ についての2階の偏導関数は

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} & = \frac{\partial}{\partial t} (\frac{\partial u}{\partial t}) \\ = \frac{d}{d s} (\frac{\partial u}{\partial t}) \frac{\partial s}{\partial t} \\ = \frac{d}{d s} (- v \frac{d u}{d s}) \times (- v) \\ (10) & = v^{2} \frac{d^{2} u}{d s^{2}} \end{aligned}

となる.

$\ref{u_del-x2}$ $\ref{u_del-t2}$ ) から,

\begin{matrix} (11) & \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = v^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \end{matrix}

という関係式が導かれた.

波動方程式から一定波形・一定の速さで進む波を表す関数を導出せよ

$\ref{wave-eq-pre}$ )

\begin{matrix} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = v^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \end{matrix}

$\ref{f+x}$ $\ref{f-x}$ $\ref{f-x+x}$ )

\begin{matrix} \begin{aligned} 一 定 の 速 さ v で + x 方 向 に 進 む 波 & : u (x, t) = f (x - v t) \\ 一 定 の 速 さ v で - x 方 向 に 進 む 波 & : u (x, t) = f (x + v t) \\ 線 形 結 合 & : u (x, t) = f_{1} (x - v t) + f_{2} (x + v t) \end{aligned} \end{matrix}

のような形であることを示す.

まず,

\begin{matrix} \begin{matrix} s_{-} \equiv x - v t \\ s_{+} \equiv x + v t \end{matrix} \end{matrix}

$x, t$ の式に書き直すと

\begin{matrix} \begin{matrix} x = \frac{1}{2} (s_{-} + s_{+}) \\ t = \frac{1}{2 v} (s_{+} - s_{-}) \end{matrix} \end{matrix}

$u$ は

\begin{matrix} u (x, t) = u (s_{-}, s_{+}) \end{matrix}

となる.

$\ref{wave-eq-pre}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ の両辺をそれぞれ計算してみる.

\begin{matrix} (12) & \begin{aligned} (左 辺) = \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} & = \frac{\partial}{\partial t} (\frac{\partial u}{\partial t}) \\ = \frac{\partial}{\partial t} (\frac{\partial u}{\partial s_{-}} \frac{\partial s_{-}}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial s_{+}} \frac{\partial s_{+}}{\partial t}) \\ = \frac{\partial}{\partial t} (\frac{\partial u}{\partial s_{-}} \times (- v) + \frac{\partial u}{\partial s_{+}} \times (v)) \\ = \frac{\partial}{\partial s_{-}} (\frac{\partial u}{\partial s_{-}} \times (- v) + \frac{\partial u}{\partial s_{+}} \times (v)) \frac{\partial s_{-}}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial s_{+}} (\frac{\partial u}{\partial s_{-}} \times (- v) + \frac{\partial u}{\partial s_{+}} \times (v)) \frac{\partial s_{+}}{\partial t} \\ = \frac{\partial}{\partial s_{-}} (\frac{\partial u}{\partial s_{-}} \times (- v) + \frac{\partial u}{\partial s_{+}} \times (v)) \times (- v) + \frac{\partial}{\partial s_{+}} (\frac{\partial u}{\partial s_{-}} \times (- v) + \frac{\partial u}{\partial s_{+}} \times (v)) \times (v) \\ = v^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial s_{-}^{2}} - v^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial s_{-} \partial s_{+}} - v^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial s_{+} \partial s_{-}} + v^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial s_{+}^{2}} \\ = v^{2} (\frac{\partial^{2} u}{\partial s_{-}^{2}} - 2 \frac{\partial^{2} u}{\partial s_{-} \partial s_{+}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial s_{+}^{2}}) \end{aligned} \end{matrix}

\begin{matrix} (13) & \begin{aligned} (右 辺) = v^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} & = v^{2} \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial u}{\partial x}) \\ = v^{2} \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial u}{\partial s_{-}} \frac{\partial s_{-}}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial s_{+}} \frac{\partial s_{+}}{\partial x}) \\ = v^{2} \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial u}{\partial s_{-}} \times 1 + \frac{\partial u}{\partial s_{+}} \times 1) \\ = v^{2} \frac{\partial}{\partial s_{-}} (\frac{\partial u}{\partial s_{-}} + \frac{\partial u}{\partial s_{+}}) \frac{\partial s_{-}}{\partial x} + v^{2} \frac{\partial}{\partial s_{+}} (\frac{\partial u}{\partial s_{-}} + \frac{\partial u}{\partial s_{+}}) \frac{\partial s_{+}}{\partial x} \\ = v^{2} \frac{\partial}{\partial s_{-}} (\frac{\partial u}{\partial s_{-}} + \frac{\partial u}{\partial s_{+}}) \times 1 + v^{2} \frac{\partial}{\partial s_{+}} (\frac{\partial u}{\partial s_{-}} + \frac{\partial u}{\partial s_{+}}) \times 1 \\ = v^{2} (\frac{\partial^{2} u}{\partial s_{-}^{2}} + 2 \frac{\partial^{2} u}{\partial s_{-} \partial s_{+}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial s_{+}^{2}}) \end{aligned} \end{matrix}

$\ref{wave-eq-pre}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ に代入すると,

\begin{matrix} (14) & \begin{aligned} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} & = v^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \\ \leftrightarrow v^{2} (\frac{\partial^{2} u}{\partial s_{-}^{2}} - 2 \frac{\partial^{2} u}{\partial s_{-} \partial s_{+}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial s_{+}^{2}}) & = v^{2} (\frac{\partial^{2} u}{\partial s_{-}^{2}} + 2 \frac{\partial^{2} u}{\partial s_{-} \partial s_{+}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial s_{+}^{2}}) \\ \leftrightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial s_{-} \partial s_{+}} & = 0 \end{aligned} \end{matrix}

となる.

$s_+$ で積分すると

\begin{matrix} (15) & \begin{aligned} \int \frac{\partial^{2} u}{\partial s_{-} \partial s_{+}} d s_{+} & = \int 0 \times d s_{+} \\ \leftrightarrow \int \frac{\partial}{\partial s_{+}} (\frac{\partial u}{\partial s_{-}}) d s_{+} & = \int 0 \times d s_{+} \\ \frac{\partial u}{\partial s_{-}} & = f_{1}^{'} (s_{-}) (f_{1}^{'} (s_{-}) : s_{+} を 含 ま な い 任 意 関 数) \end{aligned} \end{matrix}

となる.

$s_-$ で積分すると

\begin{aligned} \int \frac{\partial u}{\partial s_{-}} d s_{-} & = \int f_{1}^{'} (s_{-}) d s_{-} + \int 0 \times d s_{-} \\ \leftrightarrow u & = f_{1} (s_{-}) + f_{2} (s_{+}) (f_{1} (s_{-}) : s_{+} を 含 ま な い 任 意 関 数, f_{2} (s_{+}) : s_{-} を 含 ま な い 任 意 関 数) \\ (16) & \leftrightarrow u & = f_{1} (x - v t) + f_{2} (x + v t) \end{aligned}

$\ref{f-x+x}$ $u(x,t) = f_1 (x - vt) + f_2 (x + vt)$ である.

$f_1 (x-vt) ,~ f_2 (x+vt)$ $\ref{f1f2}$ $v$ $\pm x$ $\ref{f+x}$ $\ref{f-x}$ ) を含んでいる.

$\ref{wave-eq-pre}$ )

\begin{matrix} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = v^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \end{matrix}

$\ref{f+x}$ $\ref{f-x}$ $\ref{f-x+x}$ )

\begin{matrix} \begin{aligned} 一 定 の 速 さ v で + x 方 向 に 進 む 波 & : u (x, t) = f (x - v t) \\ 一 定 の 速 さ v で - x 方 向 に 進 む 波 & : u (x, t) = f (x + v t) \\ 線 形 結 合 & : u (x, t) = f_{1} (x - v t) + f_{2} (x + v t) \end{aligned} \end{matrix}

のような一定波形・一定の速さで進む波を表す関数形であることを示せた.

波動方程式を記述せよ

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ を満たし,

⇅

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ を満たす関数は, 一直線上を一定の波形・一定の速さで伝わる波を表現するものとなりうる

ということが成り立つ.

したがって, このような関係式を

波動方程式

\begin{matrix} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = v^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \end{matrix}

と呼ぶ.

振動波動論 第8回 復習問題

実施・提出期間

問題

波

まとめ

解答

波

各時刻でスライスして見ていく時, 波が形を変えずに, 一定速さvvで+x+x方向に進む場合の波の関数を導出せよ

波の形として正弦波を考えた場合, 進行波の式で記述せよ

一定波形・一定の速さで進む波を表す関数から波動方程式を導出せよ

波動方程式から一定波形・一定の速さで進む波を表す関数を導出せよ

波動方程式を記述せよ

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$v$ $+x$ 方向に進む場合の波の関数を導出せよ