振動波動論第8回

2024-06-05 2024-06-06
波動, 波動方程式, 連成振動, 連続体の運動

出席アンケートに関するお願い

出席アンケートはなるべく早めに出してもらえると嬉しいです!! (コメントへの返答を準備する都合で, 次回の前日 (2024-06-11 12:00) までにもらえないと反映が間に合わない可能性が高いためです)

微小振動として近似できない場合はありますか？

はい, あります. 弦の振幅を大きくした場合, 微小振動ではなくなるため近似できません. この場合は, 計算が複雑になります.

ベンハムの駒による錯視の実験が興味深かった。ただ、色の違いは色盲だからかよくわからなった。

私も2型2色覚 (緑の視細胞がない or 反応しない) ですが, ベンハムのコマの色の違いはわかりました. ベンハムのコマの錯視は視細胞の発火後の遅延が原因とされていますので, 平時の色の区別ができれば (2色覚以上) 錯視体験もできると考えられています. ですので, この方がどういう事情で錯視体験ができなかったのかは興味深いです.

復習相変わらずしやすいです。テストはどれくらいのレベルが解けてれば点数とれますか？

復習問題を解くことができれば, テストも解答できるレベルにする予定です. 過去に, 十分勉強したと思われる方は100点, あまり勉強してこなかったと思われる方はかなり低い点というケースがあります.

課題について、内容を理解していても書くのが長くて苦しいです。難しいけど分かれば一瞬という課題にはなりませんか？

場合によると思いますが, 基本的には「難しいけど分かれば一瞬」という課題はしないと思います.

元々, 復習課題を課している目的は, ・授業内容を (写すのではなく) 思い出しながら自分で計算するという想起学習・試験直前に詰め込む負荷を下げ, 長期記憶化しやすくする分散学習を促すためです.

物理モデルを見るだけで一般解まで暗算できる, といった計算力を持っている場合は, 途中計算をある程度端折ることは可能です. ですが, その場合でも解答に整合性がなければ試験では減点になります. また, ズルをして, 途中計算を書かず, 解だけを記述する場合は, 学習効果のない無意味な作業になるので, 試験で不可になる可能性が上がります.

上述の別件への解答の通り, 復習問題に近い内容を試験で出題する予定ですし, 復習課題自体が, 単なる平常点稼ぎではなく, 上記の学習効果を狙ったものですので, 「難しいけど分かれば一瞬」といったものにはしない予定です. (もちろん, 学習効果もあるような適切な課題を思いつけばそれを課すようにします)

解の唯一性の証明が何をしているのか全く分からず難しかった。証明の手順は覚えた方がよいのか気になった。

証明手順自体を覚える必要はないと思いますが, 計算の流れは理解した方が良いと思います.

バネではなく弦で考えたのが興味深く面白かった。連続体になった途端運動方程式も複雑になって興味深かった。積分J(t)を時刻tで微分した式の3個目から4個目の式変形があまりわからなかった。

\begin{aligned} \frac{d J (t)}{d t} & = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} {\frac{d}{d t} {(\frac{\partial D (x, t)}{\partial t})}^{2} + \frac{T}{σ} \frac{d}{d t} {(\frac{\partial D (x, t)}{\partial x})}^{2}} d x \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} {2 \frac{\partial D (x, t)}{\partial t} \frac{\partial^{2} D (x, t)}{\partial t^{2}} + \frac{T}{σ} 2 \frac{\partial D (x, t)}{\partial x} \frac{\partial^{2} D (x, t)}{\partial t \partial x}} d x \\ = \int_{0}^{L} {\frac{\partial D (x, t)}{\partial t} \frac{\partial^{2} D (x, t)}{\partial t^{2}} + \frac{T}{σ} \frac{\partial D (x, t)}{\partial x} \frac{\partial^{2} D (x, t)}{\partial t \partial x}} d x \\ ↓ ∵ 積 の 微 分 : (f \cdot g)^{'} = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'} \to f \cdot g^{'} = (f \cdot g)^{'} - f^{'} \cdot g \\ ↓ ∵ \frac{\partial D (x, t)}{\partial x} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial D (x, t)}{\partial t}) = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial D (x, t)}{\partial x} \frac{\partial D (x, t)}{\partial t}) - \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial D (x, t)}{\partial x}) \cdot \frac{\partial D (x, t)}{\partial t} \\ = \int_{0}^{L} {\frac{\partial D (x, t)}{\partial t} \frac{\partial^{2} D (x, t)}{\partial t^{2}} + \frac{T}{σ} \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial D (x, t)}{\partial x} \frac{\partial D (x, t)}{\partial t}) - \frac{T}{σ} \frac{\partial^{2} D (x, t)}{\partial x^{2}} \frac{\partial D (x, t)}{\partial t}} d x \\ ⋮ \end{aligned}

解の唯一性の確認からついていけなくなった。ベンハムのコマが、実際に色が変わるのを見れて面白かった。

今回もやはり難しかった。完璧に理解したと思うのが珍しいくらい。

考えることが多くて難しかった。

途中の話がかなり複雑で授業中に最後まで理解しきれなかった

だんだん計算量も増えテクニカルに置いたりする所もあって難しくなってきたように感じた。

今回はいつもより式が多く、複雑になってきて分からない部分が少しあった。

今日の授業では、弦の振動の基礎から応用まで体系的に学べて非常に良かったです。特に、連続体の運動方程式の導出から一般解の唯一性の証明までの過程が詳しく説明されていて理解が深まりました。ただし、数式が複雑で一部理解しにくい部分もあったため、もう少し例題を交えた解説があるとさらに良いと思います。

最後の証明が難しくて何もわからなかったです

J(t)を使いたいと思うモチベーションが分からなかった

連続体の運動方程式から波動方程式を求めるまでの過程が計算が多く難しかったです。

一般性の証明がよくわからなかった。

前回の連成振動の無限個の問題ですら全然追いつけていなくて大変だったのに、またそれの発展形になるものが出てきてめちゃめちゃおいて行かれた感がありました。

宿題の五番が特に難しいので自分で頑張って理解したいです

一般解の唯一性のところが難しかった。

解の導出や証明において、なぜそのような計算をするのかと疑問に思う個所が多くあったが、なぜは解決しようとせず暗記するしかないのかと思った。計算量が多く結局何が重要なのかわからなくなってしまった。

弦の一般解の導出までは頑張ってついてこれたが、唯一性を確かめるところで理解できなくなった。

前回と似た多自由度の振動について学んだが、一般解の唯一性の確かめ方が難しかった。

証明の計算が膨大でついていけなかった。

N個の連成振動と連続体の基準振動の形の対応について

	$N$ 個の連成振動	連続体
固有振動数	$2 \sqrt{\frac{T}{ma}} \sin \frac{j}{2 (N+1)} \pi$	$\sqrt{\frac{T}{\sigma}} \frac{j \pi}{L}$
基準振動の概形	$A_{n}^{(j)} = A^{(j)} \sin \frac{j}{N+1} \pi n$	$A^{(j)} (x) = A^{(j)} \sin \left(\frac{j \pi}{L} x \right)$
基準振動	$x_n^{(j)} = A_{n}^{(j)} \cos ( \omega_j t + \phi_j )$	$u^{(j)} (x, t) = A^{(j)} (x) \cos ( \omega_j t + \phi_j )$

$N$ $N \to \infty$ の極限では一致 :

\begin{aligned} (N 個 の 連 成 振 動 の 基 準 振 動 の 概 形) & = A^{(j)} \sin \frac{j}{N + 1} π n \\ = A^{(j)} \sin \frac{j}{(N + 1) a} π n a \\ = A^{(j)} \sin \frac{j}{L} π \times (n 番 目 の 振 動 子 の 位 置) (∵ (n 番 目 の 振 動 子 の 位 置) = n a, L = a (N + 1)) \\ (振 動 子 の 数 が N 個 (有 限 個) な の で 離 散 的) \\ ↓ N \to \infty (, a \to 0) \\ \to A^{(j)} \sin \frac{j}{L} π x (∵ (n 番 目 の 振 動 子 の 位 置) \to x) \\ = (連 続 体 の 基 準 振 動 の 概 形) \\ (N \to \infty で 無 限 個 の 振 動 子 と な る の で 連 続 的) \end{aligned}

$N$ $N$ を大きくした極限を考えると両者は一致する:

\begin{aligned} (N 個 の 連 成 振 動 の 固 有 振 動 数) & = 2 \sqrt{\frac{T}{m a}} \sin \frac{j}{2 (N + 1)} π \\ ↓ N \to \infty \\ \sim 2 \sqrt{\frac{T}{m a}} \frac{j}{2 (N + 1)} π (∵ | x | ≪ 1 に お い て \sin x \sim x) \\ = \sqrt{\frac{T}{σ a a}} \frac{j}{(N + 1)} π (∵ m = σ a) \\ = \sqrt{\frac{T}{σ}} \frac{j}{a (N + 1)} π \\ = \sqrt{\frac{T}{σ}} \frac{j π}{L} (∵ L = a (N + 1)) \\ = (連 続 体 の 固 有 振 動 数) \end{aligned}

実際に図にしたものが下記.

基準振動の概形:

$N$ $N \to \infty$ で一致

基準振動のアニメ:

$N$ $N$ $N \to \infty$ で一致.

animation_oscillations-continuum-with-N_mode_N3-j1.mov

animation_oscillations-continuum-with-N_mode_N5-j1.mov

波動

ここまででは, 有限の自由度や有限の長さの系について扱ってきた. ここからは系を囲っていた境界をなくし, 波がどう伝搬するかについて考えていく.

概要

波, 波動がどういうものかを考えていくために, 現実の例をいくつか見てみる.

例

水面波 (円, 楕円)

海の波や静かな湖に石を落としたときに丸く広がっていく波紋などのこと. いわゆる水面波と呼ばれるもので, 水面の上下運動によって振動が伝播していく.

ex_water-wave

ひも (横波)

ひもの一部を上げ下げするとその分の変位が, 山型のひものたわみとして他方に向かって伝搬していく.

ex_string

バネ (縦波)

長いバネを用意し, 滑らかな水平面上に置いた場合を考える. この時, バネの一端を軽く叩くと, バネの端が一時的に圧縮される. そして, その圧縮が1つのかたまりとなって他方へ伝搬していく.

ex_spring

音 (縦波)

空気中で物体を振動させると, その周囲の空気の圧力に微小な変化が生じ, その微小変化が空間に伝搬していくものが音である. 圧縮が伝わるという意味でバネと似ている.

ex_sound

電磁波 (横波)

アンテナ等に振動電流が流れると, 周囲の電磁場に振動的な変化が生じる. これが次々と広がって遠方に伝搬していく. これが電磁波である.

animation_Ez-By.mov

共通の性質

上記の例の間には, 「ある場所に生じた振動的変化がだんだんと他方へ移動していく」という共通する性質がある. このような性質を持つ現象を波もしくは波動と呼ぶ. すなわち,

波, 波動 : 空間のある場所に生じた物理状態の振動的変化が, 次々と隣合う部分に影響を与えることにより他の場所へと移動して伝わっていく現象

である. ここで, 波を伝えるものを媒質 (媒体, medium)と呼ぶ. 水面波における水, 音における空気を指す.

波の種類

波には,

媒質の運動を伴うもの (弾性体の波, 水の波等)
場の変化のみが伝わるもの (電磁波等)

という種類がある.

また, 媒質の変位の方向と波が伝わる方向の組み合わせによって縦波, 横波という種類がある. これは, 以前に連成振動の際に扱った縦振動, 横振動と発想は同じで,

縦波 : 媒質の変位の方向と波の伝わる方向とが一致するもの
横波 : 媒質の変位の方向と波の伝わる方向とが互いに垂直なもの

という分類になる.

ただし, 弾性体の中を伝わる波では縦波, 横波の両方が存在するように, どちらか一方のみが存在するわけではない. また, 水の波は横波のように思えるが, 実際には縦波と横波が混ざったような円 (楕円) 運動が起きている.

電磁波は場の変位が伝わる波ではあるが, 変化する電場と磁場が波の進行方向と垂直なので, 横波として扱われる.

横波においては, その振動方向と波の進行方向とが一定の平面内に収まる場合, 特に偏波と呼ばれる.

波の数学的表現

波の性質を理論的に扱うために, まずは波の数学的表現をみていく. 簡単のため, ひものような一直線上を伝わる波を考える.

波の形

$x$ $u(x,t)$ $x$ $t$ の関数となる.

wave

$t_0$ において,

\begin{matrix} u (x, t_{0}) \equiv f (x) \end{matrix}

$f(x)$ $t_0$ における空間的な波の形を表している. 上図は一般的な形の波を記述したが, その波形は大まかに下記の3種類に分類できる.

周期的な波

規則的に繰り返される場合の波. 代表的なものとして正弦波, 矩形波, パルス波, 三角波, のこぎり波などがある.

wave_periodic

不規則な波

全く不規則な場合の波.

wave_random

波束

$f(x)=0$ となっている場合の波.

wave_packet

$f(x)$ が,

一定の形を保ったまま
一定速度で進行

することを考える.

実際には時刻や進行とともに波が弱まったり, 波形が変化することが多いが, その場合でも波形一定の波の性質を理解することが基礎となる.

$\pm x$ 方向に進むという各波動現象を

各時刻でスライスし, 波全体を見る場合
各位置でスライスし, その位置での波の時間変化を見る場合

の2つの視点から見ていく. これら2つの視点は1つの波動現象の視点を変えただけなので, 本質的には同じ結果となる.

各時刻でスライスして見る

先のような一定の波形を保ちつつ, 一定速度で進むという現象について, まずは各時刻でスライスして見ていこう.

この見方は, 波の空間的な概形を俯瞰して見ることができる観測者が, 各時刻におけるその概形を記録していったことに相当する.

$v$ $+x$ 方向に進む場合

$v$ $+x$ 方向に進む場合, その波は下図のように進行していく.

wave_time-slice_+x_t

$t_0-\Delta t,~ t_0,~ t_0 + \Delta t$ $(v \Delta t)$ である.

$t_0 + \Delta t$ $f(x)$ $v \Delta t$ だけ右に平行移動したものなので,

\begin{matrix} u (x, t_{0} + Δ t) = f (x - v Δ t) \end{matrix}

$t_0 - \Delta t$ $f(x)$ $v \Delta t$ だけ左に平行移動したものなので,

\begin{matrix} u (x, t_{0} - Δ t) = f (x + v Δ t) \end{matrix}

と表すことができる.

したがって,

$t_0 \rightarrow 0$ $t_0$ を時間の原点とし,
$\Delta t \rightarrow t$ $\Delta t$ $t$ と置く

$t_0 + \Delta t$ $t$ となるので,

\begin{matrix} (1) & u (x, t) = f (x - v t) \end{matrix}

と表すことができる.

$v$ $-x$ 方向に進む場合

$v$ $-x$ $+x$ 方向に進む場合と同様で, その進行の様子は下図のようになる.

wave_time-slice_-x_t

$t_0 + \Delta t$ $f(x)$ $v \Delta t$ だけ左に平行移動したものなので,

\begin{matrix} u (x, t_{0} + Δ t) = f (x + v Δ t) \end{matrix}

$t_0 - \Delta t$ $f(x)$ $v \Delta t$ だけ右に平行移動したものなので,

\begin{matrix} u (x, t_{0} - Δ t) = f (x - v Δ t) \end{matrix}

と表すことができる. したがって,

$t_0 \rightarrow 0$ $t_0$ を時間の原点とし,
$\Delta t \rightarrow t$ $\Delta t$ $t$ と置く

という書き直しをすれば,

\begin{matrix} (2) & u (x, t) = f (x + v t) \end{matrix}

と表すことができる.

まとめ (時刻スライス)

$\pm x$ $\eqref{+x},\eqref{-x}$

\begin{aligned} + x 方 向 に 進 む 波 : & u (x, t) & = f (x - v t) \\ - x 方 向 に 進 む 波 : & u (x, t) & = f (x + v t) \end{aligned}

$u(x,t)$ は,

一定波形・一定の速さで進む波を表す関数の形についての必要条件 :

\begin{matrix} (3) & u (x, t) = f (x \mp v t) \end{matrix}

$x \mp vt$ $f$ は波の形に関するものなので, 波の形がどんなものであっても良いということも意味している.

$u(x,t)$ $x, t$ ともに周期的である場合が多い. その場合には,

波長 $x$ についての周期
周期 $t$ についての周期

と呼ぶ.

各位置でスライスして見る

$x_0$ において,

\begin{matrix} u (x_{0}, t) \equiv F (t) \end{matrix}

$F(t)$ $x_0$ における時間的な波の形を表している.

$x$ に固定された観測者がその位置での波の変位の時間変化を記録していったことに相当する.

$v$ $+x$ 方向に進む場合

$v$ $+x$ 方向に進む場合, その波は下図のように進行していく.

wave_time-slice_+x_x

$x_0-\Delta x,~ x_0,~ x_0 + \Delta x$ $(\frac{\Delta x}{v})$ である.

$x_0 + \Delta x$ $F(t)$ $\frac{\Delta x}{v}$ $+t$ 方向) に平行移動したものなので,

\begin{matrix} u (x_{0} + Δ x, t) = F (t - \frac{Δ x}{v}) \end{matrix}

$x_0 - \Delta x$ $F(t)$ $\frac{\Delta x}{v}$ $-t$ 方向) に平行移動したものなので,

\begin{matrix} u (x_{0} - Δ x, t) = F (t + \frac{Δ x}{v}) \end{matrix}

と表すことができる.

したがって,

$x_0 \rightarrow 0$ $x_0$ を位置の原点とし,
$\Delta x \rightarrow x$ $\Delta x$ $x$ と置く

$x_0 + \Delta x$ $x$ となるので,

\begin{matrix} (4) & u (x, t) = F (t - \frac{x}{v}) \end{matrix}

と表すことができる.

$v$ $-x$ 方向に進む場合

$v$ $-x$ 方向に進む場合, その波は下図のように進行していく.

wave_time-slice_-x_x

$x_0 + \Delta x$ $F(t)$ $\frac{\Delta x}{v}$ $-t$ 方向) に平行移動したものなので,

\begin{matrix} u (x_{0} + Δ x, t) = F (t + \frac{Δ x}{v}) \end{matrix}

$x_0 - \Delta x$ $F(t)$ $\frac{\Delta x}{v}$ $+t$ 方向) に平行移動したものなので,

\begin{matrix} u (x_{0} - Δ x, t) = F (t - \frac{Δ x}{v}) \end{matrix}

と表すことができる.

したがって,

$x_0 \rightarrow 0$ $x_0$ を位置の原点とし,
$\Delta x \rightarrow x$ $\Delta x$ $x$ と置く

$x_0 + \Delta x$ $x$ となるので,

\begin{matrix} (5) & u (x, t) = F (t + \frac{x}{v}) \end{matrix}

と表すことができる.

まとめ (位置スライス)

$\pm x$ $\eqref{+x_x},\eqref{-x_x}$

\begin{aligned} + x 方 向 に 進 む 波 : & u (x, t) & = F (t - \frac{x}{v}) \\ - x 方 向 に 進 む 波 : & u (x, t) & = F (t + \frac{x}{v}) \end{aligned}

$u(x,t)$ は,

一定波形・一定の速さで進む波を表す関数の形についての必要条件 :

\begin{matrix} (6) & u (x, t) = F (t \mp \frac{x}{v}) \end{matrix}

$\eqref{pmx}$ $u(x,t) = f (x \mp vt)$ と意味は同様である.

まとめ

時刻スライス, 位置スライスのまとめが下記である.

\begin{aligned} 時 刻 ス ラ イ ス 位 置 ス ラ イ ス \\ + x 方 向 に 進 む 波 : & u (x, t) & = f (x - v t) = F (t - \frac{x}{v}) \\ - x 方 向 に 進 む 波 : & u (x, t) & = f (x + v t) = F (t + \frac{x}{v}) \end{aligned}

正弦波

上述したように, 波の種類には, 周期的な波, 不規則的な波, 波束などがあるが, その中で特に数学的に簡単, 且つ, 重要なものが正弦波

正弦波 :

\begin{aligned} (7) & 一 定 の 速 さ v で + x 方 向 に 進 む 波 & : u (x, t) = A \sin k (x - v t) (A, k, v は 定 数) \\ 一 定 の 速 さ v で - x 方 向 に 進 む 波 & : u (x, t) = A \sin k (x + v t) (A, k, v は 定 数) \end{aligned}

$A$ 振幅 $k(x \mp vt)$ 位相 $\cos$ を用いた余弦関数で表現しても良い.

wave-sin_x-t

$T$ $\lambda$ との対応は上図の通りである.

$t$ $x$ 平面上に描いたものが下図である.

wave-sin_x-t-plane

$u(x,t)$ $u(x,t)$ の変化の様子も全く等しい.

$t$ $\Delta t$ $x$ $\Delta x$ とすると,

\begin{matrix} \frac{Δ x}{Δ t} = \pm v \end{matrix}

$v$ $v$ は位相速度と呼ばれる.

$+x$ $\eqref{u-sin+x}$ $u(x, t) = A \sin k(x-vt)$ は

\begin{aligned} u (x, t) & = A \sin k (x - v t) \\ = A \sin (k (x - v t) + 2 π) \\ = A \sin k (x + \frac{2 π}{k} - v t) \\ = u (x + \frac{2 π}{k}, t) \end{aligned}

$\lambda$ は

\begin{matrix} λ = \frac{2 π}{k} \end{matrix}

$k$ について書き直すと

\begin{aligned} k & = \frac{2 π}{λ} \\ = 2 π \times (単 位 長 さ 当 た り の 空 間 的 な 波 の 数) \end{aligned}

$k$ $2\pi$ の区間の中にある波の数」に相当し, 波数と呼ばれる.

$\frac{1}{\lambda}$ を波数と呼ぶこともある.

$+x$ $\eqref{u-sin+x}$ $u(x, t) = A \sin k(x-vt)$ に対して

\begin{aligned} u (x, t) & = A \sin k (x - v t) \\ = A \sin (k (x - v t) - 2 π) \\ = A \sin k (x - v (t + \frac{2 π}{k v})) \\ = u (x, t + \frac{2 π}{k v}) \end{aligned}

$\frac{2\pi}{kv}$ 周期 $T$ は

\begin{matrix} T = \frac{2 π}{k v} = \frac{λ}{v} \end{matrix}

となる. また, その逆数

\begin{aligned} ν & = \frac{1}{T} \\ = (単 位 時 間 当 た り の 時 間 的 な 波 の 数 [Hz]) \end{aligned}

振動数 $\text{Hz}$ で表される.

$2\pi$ 時間当たりの時間的な波の数

\begin{matrix} ω = 2 π \times ν = \frac{2 π}{T} \end{matrix}

$\omega$ はこれまでと同様に角振動数と呼ばれる.

以上をまとめると, 正弦波は

\begin{aligned} u (x, t) & = A \sin k (x - v t) \\ = A \sin (k x - k v t) \\ = A \sin (k x - \frac{2 π}{T} t) \\ = A \sin (k x - ω t) \end{aligned}

$\phi$ を加えたものが

進行波 (正弦波)

\begin{matrix} u (x, t) = A \sin (k x - ω t - ϕ) \end{matrix}

である.

実際にプロットしたアニメが下図である.

波動方程式

$\eqref{pmx}$ $u(x,t) = f (x \mp vt)$ より

\begin{aligned} (8) & 一 定 の 速 さ v で + x 方 向 に 進 む 波 & : u (x, t) = f (x - v t) \\ (9) & 一 定 の 速 さ v で - x 方 向 に 進 む 波 & : u (x, t) = f (x + v t) \end{aligned}

のように書くことができる.

これらの関数から, 一定波形・一定の速さで進む波についての重要な関係式 (波動方程式) が導かれることを示す.

一定波形・一定の速さで進む波を表す関数 → 関係式

$\eqref{f+x}$ $x,t$ $f$ の変数部分を

\begin{matrix} s \equiv x - v t \end{matrix}

$x$ についての1階の偏導関数は

\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} & = \frac{d u}{d s} \frac{\partial s}{\partial x} (∵ 合 成 関 数 の 微 分) \\ = \frac{d u}{d s} \times 1 \\ = \frac{d u}{d s} \end{aligned}

$x$ についての2階の偏導関数は

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} & = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial u}{\partial x}) \\ = \frac{d}{d s} (\frac{\partial u}{\partial x}) \frac{\partial s}{\partial x} \\ = \frac{d}{d s} (\frac{d u}{d s}) \times 1 \\ (10) & = \frac{d^{2} u}{d s^{2}} \end{aligned}

となる.

$t$ についての1階の偏導関数は

\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial t} & = \frac{d u}{d s} \frac{\partial s}{\partial t} \\ = \frac{d u}{d s} \times (- v) \\ = - v \frac{d u}{d s} \end{aligned}

$t$ についての2階の偏導関数は

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} & = \frac{\partial}{\partial t} (\frac{\partial u}{\partial t}) \\ = \frac{d}{d s} (\frac{\partial u}{\partial t}) \frac{\partial s}{\partial t} \\ = \frac{d}{d s} (- v \frac{d u}{d s}) \times (- v) \\ (11) & = v^{2} \frac{d^{2} u}{d s^{2}} \end{aligned}

となる.

$\eqref{u_del-x2}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{d^2 u}{d s^2}$ $\eqref{u_del-t2}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{d^2 u}{d s^2}$ から,

\begin{matrix} (12) & \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = v^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \end{matrix}

という関係式が導かれた.

$v$ $-x$ $\eqref{f-x}$ $u(x,t) = f (x + vt)$ $\eqref{f+x}$ $\eqref{f-x}$ の線形結合 :

\begin{matrix} (13) & u (x, t) = f_{1} (x - v t) + f_{2} (x + v t) \end{matrix}

であっても, 計算すれば同じ関係式が得られる.

関係式 → 一定波形・一定の速さで進む波を表す関数

$\eqref{wave-eq-pre}$

\begin{matrix} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = v^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \end{matrix}

$\eqref{f+x}$ $\eqref{f-x}$ $\eqref{f-x+x}$

\begin{aligned} 一 定 の 速 さ v で + x 方 向 に 進 む 波 & : u (x, t) = f (x - v t) \\ 一 定 の 速 さ v で - x 方 向 に 進 む 波 & : u (x, t) = f (x + v t) \\ 線 形 結 合 & : u (x, t) = f_{1} (x - v t) + f_{2} (x + v t) \end{aligned}

のような形であることを示す.

まず,

\begin{matrix} \begin{matrix} s_{-} \equiv x - v t \\ s_{+} \equiv x + v t \end{matrix} \end{matrix}

$x, t$ の式に書き直すと

\begin{matrix} \begin{matrix} x = \frac{1}{2} (s_{-} + s_{+}) \\ t = \frac{1}{2 v} (s_{+} - s_{-}) \end{matrix} \end{matrix}

$u$ を

\begin{matrix} u (x, t) = u (s_{-}, s_{+}) \end{matrix}

$s_-, s_+$ の関数として見直すことができる.

$\eqref{wave-eq-pre}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ の両辺をそれぞれ計算してみる.

\begin{aligned} (左 辺) = \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} & = \frac{\partial}{\partial t} (\frac{\partial u}{\partial t}) \\ = \frac{\partial}{\partial t} (\frac{\partial u}{\partial s_{-}} \frac{\partial s_{-}}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial s_{+}} \frac{\partial s_{+}}{\partial t}) \\ = \frac{\partial}{\partial t} (\frac{\partial u}{\partial s_{-}} \times (- v) + \frac{\partial u}{\partial s_{+}} \times (v)) \\ = \frac{\partial}{\partial s_{-}} (- v \frac{\partial u}{\partial s_{-}} + v \frac{\partial u}{\partial s_{+}}) \frac{\partial s_{-}}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial s_{+}} (- v \frac{\partial u}{\partial s_{-}} + v \frac{\partial u}{\partial s_{+}}) \frac{\partial s_{+}}{\partial t} \\ = \frac{\partial}{\partial s_{-}} (- v \frac{\partial u}{\partial s_{-}} + v \frac{\partial u}{\partial s_{+}}) \times (- v) + \frac{\partial}{\partial s_{+}} (- v \frac{\partial u}{\partial s_{-}} + v \frac{\partial u}{\partial s_{+}}) \times (v) \\ = v^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial s_{-}^{2}} - v^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial s_{-} \partial s_{+}} - v^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial s_{+} \partial s_{-}} + v^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial s_{+}^{2}} \\ = v^{2} (\frac{\partial^{2} u}{\partial s_{-}^{2}} - 2 \frac{\partial^{2} u}{\partial s_{-} \partial s_{+}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial s_{+}^{2}}) \end{aligned}

\begin{aligned} (右 辺) = v^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} & = v^{2} \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial u}{\partial x}) \\ = v^{2} \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial u}{\partial s_{-}} \frac{\partial s_{-}}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial s_{+}} \frac{\partial s_{+}}{\partial x}) \\ = v^{2} \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial u}{\partial s_{-}} \times 1 + \frac{\partial u}{\partial s_{+}} \times 1) \\ = v^{2} \frac{\partial}{\partial s_{-}} (\frac{\partial u}{\partial s_{-}} + \frac{\partial u}{\partial s_{+}}) \frac{\partial s_{-}}{\partial x} + v^{2} \frac{\partial}{\partial s_{+}} (\frac{\partial u}{\partial s_{-}} + \frac{\partial u}{\partial s_{+}}) \frac{\partial s_{+}}{\partial x} \\ = v^{2} \frac{\partial}{\partial s_{-}} (\frac{\partial u}{\partial s_{-}} + \frac{\partial u}{\partial s_{+}}) \times 1 + v^{2} \frac{\partial}{\partial s_{+}} (\frac{\partial u}{\partial s_{-}} + \frac{\partial u}{\partial s_{+}}) \times 1 \\ = v^{2} (\frac{\partial^{2} u}{\partial s_{-}^{2}} + 2 \frac{\partial^{2} u}{\partial s_{-} \partial s_{+}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial s_{+}^{2}}) \end{aligned}

$\eqref{wave-eq-pre}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ に代入すると,

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} & = v^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \\ \leftrightarrow v^{2} (\frac{\partial^{2} u}{\partial s_{-}^{2}} - 2 \frac{\partial^{2} u}{\partial s_{-} \partial s_{+}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial s_{+}^{2}}) & = v^{2} (\frac{\partial^{2} u}{\partial s_{-}^{2}} + 2 \frac{\partial^{2} u}{\partial s_{-} \partial s_{+}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial s_{+}^{2}}) \\ \leftrightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial s_{-} \partial s_{+}} & = 0 \end{aligned}

となる.

$s_+,~ s_-$ $u(x,t)$ $s_+$ で積分すると

\begin{aligned} \int \frac{\partial^{2} u}{\partial s_{-} \partial s_{+}} d s_{+} & = \int 0 \times d s_{+} \\ \leftrightarrow \int \frac{\partial}{\partial s_{+}} (\frac{\partial u}{\partial s_{-}}) d s_{+} & = \int 0 \times d s_{+} \\ \frac{\partial u}{\partial s_{-}} & = f_{1}^{'} (s_{-}) (f_{1}^{'} (s_{-}) : s_{+} を 含 ま な い 任 意 関 数) \end{aligned}

となる.

$s_-$ で積分すると

\begin{aligned} \int \frac{\partial u}{\partial s_{-}} d s_{-} & = \int f_{1}^{'} (s_{-}) d s_{-} + \int 0 \times d s_{-} \\ \leftrightarrow u & = f_{1} (s_{-}) + f_{2} (s_{+}) (f_{1} (s_{-}) : s_{+} を 含 ま な い 任 意 関 数, f_{2} (s_{+}) : s_{-} を 含 ま な い 任 意 関 数) \\ (14) & \leftrightarrow u & = f_{1} (x - v t) + f_{2} (x + v t) \end{aligned}

$\eqref{f-x+x}$ $u(x,t) = f_1 (x - vt) + f_2 (x + vt)$ である.

$f_1 (x-vt) ,~ f_2 (x+vt)$ $\eqref{f1f2}$ $v$ $\pm x$ $\eqref{f+x} ~ f (x - vt)$ $\eqref{f-x} ~ f (x + vt)$ を含んでいる.

$\eqref{wave-eq-pre}$

\begin{matrix} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = v^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \end{matrix}

$\eqref{f+x}$ $\eqref{f-x}$ $\eqref{f-x+x}$

\begin{aligned} 一 定 の 速 さ v で + x 方 向 に 進 む 波 & : u (x, t) = f (x - v t) \\ 一 定 の 速 さ v で - x 方 向 に 進 む 波 & : u (x, t) = f (x + v t) \\ 線 形 結 合 & : u (x, t) = f_{1} (x - v t) + f_{2} (x + v t) \end{aligned}

のような一定波形・一定の速さで進む波を表す関数形であることを示せた.

関係式の意味 : 波動方程式

以上より,

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ を満たし,
$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ を満たす関数は, 一直線上を一定の波形・一定の速さで伝わる波を表現するものとなりうる

ということがわかった.

このような関係式を

波動方程式

\begin{matrix} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = v^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \end{matrix}

と呼ぶ. これは, 連続体の際に求めた運動方程式と同じ形である.

$u$ について線形の方程式なので, 重ね合わせの原理が成り立つ. 実際, ある時刻, ある位置に2つ以上の波が到達した場合, そこで引き起こされる現象は, 各波による変化を足し合わせたものとなる.

$j$	$N=3$	$N=5$
1
2
3
4	(無振動)
5	(反転)
6	(反転)	(無振動)
7	(反転)	(反転)
8	(無振動)	(反転)
9	(反転)	(反転)
10	(反転)	(反転)

j	$N=3$	$N=5$	$N=10$	$N=100$ (10倍速)
1
2
3

	$k=1$	$k=2$
$\omega=1$
$\omega=10$

振動波動論 第8回

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一定波形・一定速さvvで+x+x方向に進む場合

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まとめ

正弦波

波動方程式

一定波形・一定の速さで進む波を表す関数 → 関係式

関係式 → 一定波形・一定の速さで進む波を表す関数

関係式の意味 : 波動方程式

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