2024-05-29 2024-05-26
復習問題

振動波動論第7回復習問題

振動波動論第7回復習問題実施・提出期間問題まとめ解答連続体連続体の運動方程式を求めよ. 基準振動の仮定は何との対応からどのような式に置くとよいか弦の基準振動を求めよ弦の一般解を求めよ一般解の唯一性を確かめよ導入と命題証明

実施・提出期間

締切: 2024/06/05 (水) 13:30 までに, 下記の問題を実施し, 提出してください.

注意事項

手書きで計算したものを1つのpdfにまとめて提出してください
- 紙に直筆したものを写真 or スキャンする場合は, 中身がハッキリ読めることを確認してください
- タブレット等を用いて電子的に手書きするのもOKです
- 画像ファイルをそのまま何枚も提出したり, zipにまとめて提出したものは受取不可とします
授業資料の解答を丸写しするのではなく, 授業内容を思い出しながら自分の手で計算するようにしてください
授業直後に復習することはもちろん素晴らしいです!! その後, なるべく数日空けてから再学習として本課題を実施し, 提出することを是非試してみてください.

問題

下図のような両端が固定された (固定端) の弦の微小横振動を考える.

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$L$ $\sigma$ $\Delta x$ $\Delta m = \sigma ~ \Delta x$ となる.

continum_string_close-up

連続体の運動方程式を求めよ.
基準振動の仮定は何との対応からどのような式に置くとよいか
弦の基準振動を求めよ
弦の一般解を求めよ
一般解の唯一性を確かめよ

まとめ

今回の授業内容を100文字以上で自分なりにまとめてください. ただし, 写経のように丸写しすることだけはやめてください.

解答

連続体

下図のような両端が固定された (固定端) の弦の微小横振動を考える.

continum_string

$L$ $\sigma$ $\Delta x$ $\Delta m = \sigma ~ \Delta x$ となる.

continum_string_close-up

連続体の運動方程式を求めよ.

$T, T'$ で引っ張られている. ただし, 弦の微小横振動であるため, 弦の微小線素は上下にのみ振動している. すなわち,

左右 : 左右方向の力が釣り合って0.
上下 : 加速度ありで運動している

という状況であるから, 運動方程式は,

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} 左 右 : & 0 & = T \cos θ - T^{'} \cos θ^{'} \\ 上 下 : & Δ m \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} & = T \sin θ - T^{'} \sin θ^{'} \end{aligned} \end{matrix}

$t$ $u(x,t)$ が2変数関数のためである.

$|\theta| \ll 1, |\theta'| \ll 1$ であるから,

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} \cos θ \sim 1 & , \cos θ^{'} \sim 1 \\ \sin θ \sim θ & , \sin θ^{'} \sim θ^{'} \end{aligned} \end{matrix}

となる. したがって, 元の運動方程式を整理すると,

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} 左 右 : & T & \sim T^{'} \\ 上 下 : & Δ m \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} & \sim T (θ - θ^{'}) \end{aligned} \end{matrix}

となる.

$\tan \theta$ $t$ $x + \Delta x$ $u (x+\Delta x,t)$ $x$ 方向への傾きに相当するため,

\begin{matrix} \tan θ = \frac{\partial u (x + Δ x, t)}{\partial x} \end{matrix}

$|\theta| \ll 1$ $\tan \theta \sim \theta$ であり, 右辺はテイラー展開をすると

\begin{matrix} (4) & \begin{array}{r} \frac{\partial u (x + Δ x, t)}{\partial x} = \frac{\partial u (x, t)}{\partial x} Δ x^{0} + \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial u (x, t)}{\partial x}) Δ x^{1} + \dots \end{array} \end{matrix}

$\Delta x$ が微小であることから無視できるため,

\begin{matrix} (5) & \begin{array}{r} \frac{\partial u (x + Δ x, t)}{\partial x} \sim \frac{\partial u (x, t)}{\partial x} + \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial x^{2}} Δ x \end{array} \end{matrix}

となる.

$\tan \theta'$ $t$ $x$ $u (x,t)$ $x$ 方向への傾きに相当するため,

\begin{matrix} \tan θ^{'} = \frac{\partial u (x, t)}{\partial x} \end{matrix}

$|\theta'| \ll 1$ $\tan \theta' \sim \theta'$ となる.

以上のことから, 上下についての運動方程式は

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} Δ m \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} & \sim T (θ - θ^{'}) \\ \sim T (\tan θ - \tan θ^{'}) \\ \sim T ((\frac{\partial u (x, t)}{\partial x} + \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial x^{2}} Δ x) - \frac{\partial u (x, t)}{\partial x}) \\ = T \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial x^{2}} Δ x \end{aligned} \end{matrix}

$\Delta m = \sigma ~ \Delta x$ であり, 微小振動による近似を等号で結べば,

連続体の運動方程式

\begin{aligned} (7) & \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} & = \frac{T}{σ} \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial x^{2}} \end{aligned}

が導出できた.

基準振動の仮定は何との対応からどのような式に置くとよいか

$N$ $j$ 番目の基準振動について,

基準振動の仮定

\begin{aligned} (8) & 自 由 度 N & : & x_{n}^{(j)} & = A_{n}^{(j)} & \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) \\ (9) & 連 続 体 & : & u^{(j)} (x, t) & = A^{(j)} (x) & \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) \end{aligned}

という対応関係で置くとよい.

弦の基準振動を求めよ

上記が元の運動方程式を満たすかを確かめていく.

$\ref{eom-cont}$ ) に代入すると,

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} & = \frac{T}{σ} \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial x^{2}} \\ \leftrightarrow \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} (A^{(j)} (x) \cos (ω_{j} t + ϕ_{j})) & = \frac{T}{σ} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} (A^{(j)} (x) \cos (ω_{j} t + ϕ_{j})) \\ \leftrightarrow - A^{(j)} (x) ω_{j}^{2} \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) & = \frac{T}{σ} \frac{\partial^{2} A^{(j)} (x)}{\partial x^{2}} \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) \\ \leftrightarrow - A^{(j)} (x) ω_{j}^{2} & = \frac{T}{σ} \frac{\partial^{2} A^{(j)} (x)}{\partial x^{2}} \\ \leftrightarrow \frac{\partial^{2} A^{(j)} (x)}{\partial x^{2}} & = - \frac{σ ω_{j}^{2}}{T} A^{(j)} (x) \\ \leftrightarrow \frac{d^{2} A^{(j)} (x)}{d x^{2}} & = - \frac{σ ω_{j}^{2}}{T} A^{(j)} (x) \end{aligned} \end{matrix}

$p_j$

\begin{matrix} p_{j}^{2} \equiv \frac{σ ω_{j}^{2}}{T} \leftrightarrow p_{j} = \sqrt{\frac{σ}{T}} ω_{j} \end{matrix}

と置くと,

\begin{matrix} \frac{d^{2} A^{(j)} (x)}{d x^{2}} = - p_{j}^{2} A^{(j)} (x) \end{matrix}

$t$ $x$ $A^{(j)} (x)$ は

$A^{(j)} (x)$

\begin{matrix} (11) & A^{(j)} (x) = A^{(j)} \sin (p_{j} x + θ) \end{matrix}

となる.

ここで, 弦の両端の境界条件 (固定端) を考える. 固定端なので

境界条件 (固定端)

\begin{matrix} \begin{matrix} u (0, t) = 0 \\ u (L, t) = 0 \end{matrix} \end{matrix}

$\ref{mode-cont}$ )

\begin{matrix} u^{(j)} (x, t) = A^{(j)} (x) \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) \end{matrix}

に代入すると,

\begin{matrix} \begin{matrix} 0 = u^{(j)} (0, t) = A^{(j)} (0) \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) \\ 0 = u^{(j)} (L, t) = A^{(j)} (L) \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) \end{matrix} \end{matrix}

となるため, この式が成立するためには

\begin{matrix} \begin{matrix} A^{(j)} (0) = 0 \\ A^{(j)} (L) = 0 \end{matrix} \end{matrix}

$\ref{A}$ )

\begin{matrix} A^{(j)} (x) = A^{(j)} \sin (p_{j} x + θ) \end{matrix}

に代入すると

\begin{matrix} \begin{matrix} 0 = A^{(j)} (0) = A^{(j)} \sin (0 + θ) \\ 0 = A^{(j)} (L) = A^{(j)} \sin (p_{j} L + θ) \end{matrix} \end{matrix}

$A^{(j)} = 0$ $\sin \theta = 0$ となるため,

\begin{matrix} θ = 0 \end{matrix}

$\theta = \pi$ $A^{(j)} \rightarrow - A^{(j)}$ $\theta=0$ と同一視できる). したがって,

\begin{matrix} \begin{matrix} \sin p_{j} L = 0 \\ \to p_{j} L = j π (j \in 整 数) \\ \to p_{j} = \frac{j π}{L} (j \in 整 数) \end{matrix} \end{matrix}

$j$ については

$j = 0 ~~\rightarrow~~ p_j = 0 ~~\rightarrow~~ A^{(j)} (x) = 0$ となり, 無振動なので無意味
$j < 0 ~~\rightarrow~~ p_j < 0 ~~\rightarrow~~ A^{(j)} (x) = - A^{(j)} \sin (p_j x)$ $A^{(j)} \rightarrow - A^{(j)}$ $j>0$ と同一

$j$ $N$ $j$ $N$ $x$ という連続変数になったため上限はない.

$j$ の範囲がわかったので, 波数

\begin{matrix} p_{j} = \frac{j π}{L} (j = 1, 2, . . .) \end{matrix}

が求まった. これにより, 基準振動の概形も

\begin{matrix} (12) & \begin{aligned} A^{(j)} (x) & = A^{(j)} \sin (p_{j} x) \\ = A^{(j)} \sin (\frac{j π}{L} x) (j = 1, 2, . . .) \end{aligned} \end{matrix}

と求まる.

そして, 基準振動についても

\begin{matrix} \begin{matrix} u^{(j)} (x, t) = A^{(j)} \sin (\frac{j π}{L} x) \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) \\ (未 定 定 数 : A^{(j)}, ϕ_{j}) \end{matrix} \end{matrix}

として求まった.

弦の一般解を求めよ

各基準振動の重ね合わせを考えると,

\begin{matrix} (13) & \begin{aligned} u (x, t) & = \sum_{j = 1}^{\infty} u^{(j)} (x, t) \\ = \sum_{j = 1}^{\infty} A^{(j)} \sin (\frac{j π}{L} x) \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) \\ (未 定 定 数 : A^{(j)}, ϕ_{j}) \\ (j = 1, 2, . . .) \end{aligned} \end{matrix}

となる. 元の方程式が線形なので, この1次結合の式も元の運動方程式を満たす. また, 任意定数の数もちょうどであるため, これが一般解となる.

一般解の唯一性を確かめよ

導入と命題

ここまでで求めた手法は, 元の微分方程式から基準振動という特殊な解を, 推察を利用して求め, その線形結合を作ることで, 与えられた境界条件と初期条件を満たす解 (一般解) を見つける, というものだった.

導出過程に推察を含むことから, もしかすると求めた解以外の解がありうるかもしれない. しかしそれでは一般解が複数存在することになってしまう. したがって, 求めた解の唯一性を確認しておく必要がある.

やるべきことを整理しよう. 今回の証明すべき命題は,

命題

連続体の運動方程式

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} & = \frac{T}{σ} \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial x^{2}} \end{aligned}

の解において, 「与えられた境界条件

\begin{matrix} \begin{matrix} u (0, t) = 0 \\ u (L, t) = 0 \end{matrix} \end{matrix}

と初期条件

\begin{aligned} u (x, t = 0) & = f (x) : 任 意 関 数 \\ (14) & {| \frac{\partial u (x, t)}{\partial t} |}_{t = 0} & = g (x) : 任 意 関 数 \end{aligned}

を満たす解」はただ1つしかないことを証明せよ

である. これを以下で証明していく.

証明

実際に確かめていく.

$u_1 (x, t), u_2 (x, t)$ とし,

\begin{matrix} (15) & D (x, t) \equiv u_{1} (x, t) - u_{2} (x, t) \end{matrix}

$D(x,t)$ を考える.

$u(x,t)$ $D(x,t)$ もまた, 元の運動方程式を満たす. 境界条件についても

$D(x,t)$ の境界条件

\begin{matrix} (16) & \begin{matrix} D (0, t) = u_{1} (0, t) - u_{2} (0, t) = 0 - 0 = 0 \\ D (L, t) = u_{1} (L, t) - u_{2} (L, t) = 0 - 0 = 0 \end{matrix} \end{matrix}

となるため, 境界条件を満たすことが確かめられる.

$D(x,t)$ $u(x,t)$ $\eqref{init-fg}$ $u(x,0)=f(x) ,~ \left| \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} \right|_{t=0} = g (x)$ を用いれば $D(x,t)$ の初期条件

\begin{aligned} D (x, 0) & = u_{1} (x, 0) - u_{2} (x, 0) \\ = f (x) - f (x) \\ (17) & = 0 \\ {| \frac{\partial D (x, t)}{\partial t} |}_{t = 0} & = {| \frac{\partial u_{1} (x, t)}{\partial t} |}_{t = 0} - {| \frac{\partial u_{2} (x, t)}{\partial t} |}_{t = 0} \\ = g (x) - g (x) \\ (18) & = 0 \end{aligned}

となる.

$D(x,t)$ $x, t$ $x$ についての或る積分

\begin{matrix} (19) & J (t) \equiv \frac{1}{2} \int_{0}^{L} {{(\frac{\partial D (x, t)}{\partial t})}^{2} + \frac{T}{σ} {(\frac{\partial D (x, t)}{\partial x})}^{2}} d x \end{matrix}

$J(t)$ $t$ で微分すると,

\begin{aligned} \frac{d J (t)}{d t} & = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} {\frac{d}{d t} {(\frac{\partial D (x, t)}{\partial t})}^{2} + \frac{T}{σ} \frac{d}{d t} {(\frac{\partial D (x, t)}{\partial x})}^{2}} d x \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} {2 \frac{\partial D (x, t)}{\partial t} \frac{\partial^{2} D (x, t)}{\partial t^{2}} + \frac{T}{σ} 2 \frac{\partial D (x, t)}{\partial x} \frac{\partial^{2} D (x, t)}{\partial t \partial x}} d x \\ = \int_{0}^{L} {\frac{\partial D (x, t)}{\partial t} \frac{\partial^{2} D (x, t)}{\partial t^{2}} + \frac{T}{σ} \frac{\partial D (x, t)}{\partial x} \frac{\partial^{2} D (x, t)}{\partial t \partial x}} d x \\ = \int_{0}^{L} {\frac{\partial D (x, t)}{\partial t} \frac{\partial^{2} D (x, t)}{\partial t^{2}} + \frac{T}{σ} \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial D (x, t)}{\partial x} \frac{\partial D (x, t)}{\partial t}) - \frac{T}{σ} \frac{\partial^{2} D (x, t)}{\partial x^{2}} \frac{\partial D (x, t)}{\partial t}} d x \\ = \int_{0}^{L} {\frac{\partial D (x, t)}{\partial t} (\frac{\partial^{2} D (x, t)}{\partial t^{2}} - \frac{T}{σ} \frac{\partial^{2} D (x, t)}{\partial x^{2}}) + \frac{T}{σ} \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial D (x, t)}{\partial x} \frac{\partial D (x, t)}{\partial t})} d x \\ ↓ ∵ 連 続 体 の 運 動 方 程 式 : \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} = \frac{T}{σ} \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial x^{2}} \\ = \int_{0}^{L} \frac{T}{σ} \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial D (x, t)}{\partial x} \frac{\partial D (x, t)}{\partial t}) d x \\ = \frac{T}{σ} {[\frac{\partial D (x, t)}{\partial x} \frac{\partial D (x, t)}{\partial t}]}_{0}^{L} \end{aligned}

$x=0,~L$ $u(x,t)$ は時刻経過で変化しないため,

\begin{aligned} {| \frac{\partial D (x, t)}{\partial t} |}_{x = 0} & = {| \frac{\partial u_{1} (x, t)}{\partial t} |}_{x = 0} - {| \frac{\partial u_{2} (x, t)}{\partial t} |}_{x = 0} \\ = 0 - 0 \\ = 0 \\ {| \frac{\partial D (x, t)}{\partial t} |}_{x = L} & = {| \frac{\partial u_{1} (x, t)}{\partial t} |}_{x = L} - {| \frac{\partial u_{2} (x, t)}{\partial t} |}_{x = L} \\ = 0 - 0 \\ = 0 \end{aligned}

$\frac{\partial D}{\partial t} = 0$ となる. したがって, 先の1回微分は

\begin{aligned} \frac{d J (t)}{d t} & = \frac{T}{σ} {[\frac{\partial D (x, t)}{\partial x} \frac{\partial D (x, t)}{\partial t}]}_{0}^{L} \\ = \frac{T}{σ} {{| \frac{\partial D (x, t)}{\partial x} \frac{\partial D (x, t)}{\partial t} |}_{x = L} - {| \frac{\partial D (x, t)}{\partial x} \frac{\partial D (x, t)}{\partial t} |}_{x = 0}} \\ = \frac{T}{σ} {{| \frac{\partial D (x, t)}{\partial x} |}_{x = L} {| \frac{\partial D (x, t)}{\partial t} |}_{x = L} - {| \frac{\partial D (x, t)}{\partial x} |}_{x = 0} {| \frac{\partial D (x, t)}{\partial t} |}_{x = 0}} \\ = \frac{T}{σ} {{| \frac{\partial D (x, t)}{\partial x} |}_{x = L} \times 0 - {| \frac{\partial D (x, t)}{\partial x} |}_{x = 0} \times 0} \\ = 0 \end{aligned}

となる. したがって,

\begin{matrix} (20) & J (t) = 一 定 \end{matrix}

$t=0$ $J(t=0)$ $\eqref{init-D}$ $D (x, 0)=0$ $\eqref{init-Dt}$ $\left| \frac{\partial D(x,t)}{\partial t} \right|_{t=0} = 0$ を用いれば

\begin{aligned} J (0) & = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} {{({| \frac{\partial D (x, t)}{\partial t} |}_{t = 0})}^{2} + \frac{T}{σ} {({| \frac{\partial D (x, t)}{\partial x} |}_{t = 0})}^{2}} d x \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} {0^{2} + \frac{T}{σ} {(\frac{\partial D (x, 0)}{\partial x})}^{2}} d x \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} {\frac{T}{σ} {(\frac{\partial 0}{\partial x})}^{2}} d x \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} {\frac{T}{σ} 0^{2}} d x \\ = 0 (∵ 0 の 定 積 分 な の で 積 分 値 は 0) \end{aligned}

$\eqref{J-const}$ $J(t) = 一定$ と合わせれば

\begin{matrix} J (t) = 0 \end{matrix}

$J(t)$ は恒等的に0であることがわかる.

$J(t)$ $\eqref{J}$

\begin{matrix} J (t) = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} {{(\frac{\partial D (x, t)}{\partial t})}^{2} + \frac{T}{σ} {(\frac{\partial D (x, t)}{\partial x})}^{2}} d x \end{matrix}

$\left( \frac{\partial D(x,t)}{\partial t} \right)^2 + \frac{T}{\sigma} \left( \frac{\partial D (x,t)}{\partial x} \right)^2$ は, 連続関数であり, 且つ, 各項が2乗項で係数も正であることから非負である.

$J(t)$ $0 \le x \le L$ において, 被積分関数内の各項も0 :

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{\partial D (x, t)}{\partial t} = 0 \\ \frac{\partial D (x, t)}{\partial x} = 0 \end{matrix} \end{matrix}

$dD (x,t)$ も0 :

\begin{aligned} d D (x, t) & = \frac{\partial D (x, t)}{\partial t} d t + \frac{\partial D (x, t)}{\partial x} d x \\ = 0 + 0 \\ = 0 \end{aligned}

となる. したがって,

\begin{matrix} D (x, t) = 一 定 \end{matrix}

$D(t)$ $\eqref{init-D}$ $D (x, 0) = 0$ であることを踏まえると

\begin{matrix} D (x, t) = 0 \end{matrix}

$D(x,t)$ $\eqref{D}$ $D (x, t) = u_1 (x, t) - u_2 (x, t)$ なので

\begin{matrix} u_{1} (x, t) = u_{2} (x, t) \end{matrix}

が成り立つ. すなわち, 解はただ1つしかなく, 命題が成立することが証明できた.

したがって, 今回求めた解が唯一の解であり, その他の解は存在しないのである.

振動波動論 第7回 復習問題

実施・提出期間

問題

まとめ

解答

連続体

連続体の運動方程式を求めよ.

基準振動の仮定は何との対応からどのような式に置くとよいか

弦の基準振動を求めよ

弦の一般解を求めよ

一般解の唯一性を確かめよ

導入と命題

証明

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復習問題

振動波動論第7回復習問題