2024-05-29 2024-05-28
連成振動, 連続体の運動

振動波動論第7回

振動波動論第7回コメント連成振動 (多自由度の振動) 弦でつながれた $N$ 個の質量 $m$ のおもりの微小横振動の一般解の導出基準振動のプロットアニメ一般解のプロットアニメ連続体の運動導入運動方程式弦の基準振動一般解一般解の唯一性の確認命題証明N個の連成振動と連続体の基準振動の形の対応について

任意性によってθ=0とθ=πが同じでθ=0になる理由があまりわからなかった

境界条件 (付帯条件) を考える.

$A_0^{(j)} = 0$ の場合 (左の壁)

$A_n^{(j)}$ $A_n^{(j)} = A^{(j)} \sin (p_j n + \theta)$ より,

\begin{aligned} A_{0}^{(j)} & = A^{(j)} \sin θ \\ ↓ (∵ 境 界 条 件 : A_{0}^{(j)} = 0) \\ 0 & = A^{(j)} \sin θ \end{aligned}

$A^{(j)}=0$ $\theta = 0, \pi$ となりうる. しかし, $A^{(j)}$ の任意性 $A^{(j)}$ $A^{(j)}$ $j$ $\theta = \pi$ $\theta = 0$ $\theta = \pi$ $\theta = 0$ と同じなので, 結局,

\begin{matrix} θ = 0 \end{matrix}

となる.

今回の内容はこれまでのより難しく感じた。なぜ難しく感じたのか考えてみると、基準振動がいまいち理解できていなかったので、基準振動についてもう一度解説してほしいです。基準振動とはどういうものだったのでしょうか。重りの個数分だけ基準振動があるという解釈で大丈夫ですか。そして基準振動の数だけ固有の振動数と振幅があるということですか

$N$ 個) 分だけ基準振動の種類がある」ことがわかります.

また, ・ここまで取り扱ってきた運動方程式群が, 線形の連立微分方程式であり, ・各基準振動はそれぞれ独立な振動 (それぞれ角振動数が異なる別の振動) であることから, ・各基準振動の解を重ね合わせることで一般解が作れるということになります.

「基準振動の数だけ固有の振動数と振幅がある」という質問については, 基準振動の定義からYESとなります.

ちょっと分かりづらかったです。 nとjの使い分けがよく分からなかったです。

$n = (0,)~ 1, \cdots, N ~(,N+1)$ $j$ と書いています.

普段の授業よりもなぜその操作をしようと思ったのかが分からなかった

前回の自由度２の連成振動はなんとか理解することができたが、数が増えてこんがらがってしまった。

式がとても複雑で、変換が分かりずらく難しく感じた。

よくわからなかった

連成振動 (多自由度の振動)

$N$ $m$ のおもりの微小横振動の一般解の導出

$N$ $m$ のおもりの微小横振動」を考える.

$a$ $x_1, ..., x_n, ... ,x_N$ $T,T'$ $x_0,~ x_{N+1}$ $x_0(t) = 0$ $x_{N+1}(t) = 0$ ) とする.

line-N

この時, 各おもりは上下にのみ振動しており,

左右方向 : 釣り合っている
上下方向 : 加速度を持って運動する

となっている. したがって, この系の運動方程式は

\begin{aligned} 左 右 : & 0 & = T \cos θ - T^{'} \cos θ^{'} \\ 上 下 : & m \frac{d^{2} x_{n} (t)}{d t^{2}} & = T \sin θ - T^{'} \sin θ^{'} \end{aligned}

$|\theta| \ll 1, |\theta'| \ll 1$ であるから,

\begin{aligned} \cos θ \sim 1 & , \cos θ^{'} \sim 1 \\ \sin θ \sim \tan θ & , \sin θ^{'} \sim \tan θ^{'} \end{aligned}

となる. したがって, 元の運動方程式は

\begin{aligned} 左 右 : & 0 & = T - T^{'} \\ 上 下 : & m \frac{d^{2} x_{n} (t)}{d t^{2}} & = T \tan θ - T^{'} \tan θ^{'} \end{aligned}

$T = T'$ であることがわかるので, 上下の運動方程式は

\begin{aligned} 上 下 : & m \frac{d^{2} x_{n} (t)}{d t^{2}} & = T (\tan θ - \tan θ^{'}) \end{aligned}

となる.

さらに, 上図を拡大させたものが下図である.

line-N_close-up

$\tan \theta ,~ \tan \theta'$ はそれぞれ

\begin{matrix} \begin{matrix} \tan θ = \frac{x_{n + 1} (t) - x_{n} (t)}{a} \\ \tan θ^{'} = \frac{x_{n} (t) - x_{n - 1} (t)}{a} \end{matrix} \end{matrix}

$m \frac{d^2 x_n (t)}{dt^2} = T (\tan \theta - \tan \theta')$ は

\begin{matrix} (1) & m \frac{d^{2} x_{n} (t)}{d t^{2}} = T (\frac{x_{n + 1} (t) - x_{n} (t)}{a} - \frac{x_{n} (t) - x_{n - 1} (t)}{a}) \end{matrix}

となるので, 整理すると

運動方程式

\begin{matrix} (2) & \begin{matrix} \frac{d^{2} x_{n} (t)}{d t^{2}} = - \frac{T}{m a} (2 x_{n} (t) - x_{n + 1} (t) - x_{n - 1} (t)) (n = 1, . . ., N) \\ (付 帯 条 件 : x_{0} (t) = 0, x_{N + 1} (t) = 0) \end{matrix} \end{matrix}

が得られる.

$N$ 個のおもりの微小縦振動についての運動方程式

$\begin{aligned} \frac{d^{2} x_{n}}{d t^{2}} & = - \frac{k}{m} (2 x_{n} - x_{n - 1} - x_{n + 1}) (n = 1, . . ., N) \\ (付帯条件 : x_{0} (t) = 0, x_{N + 1} (t) = 0) \end{aligned}$

と, 係数が異なるだけで本質的には同じ形の式である.

$k \leftrightarrow \frac{T}{a}$ という違いがあるだけなので,

	バネ縦振動	弦横振動
運動方程式	$\frac{d^2 x_{n}}{dt^2} = - \frac{k}{m} (2 x_{n} - x_{n-1} - x_{n+1})$	$\frac{d^2 x_{n}}{dt^2} = - \frac{T}{ma} (2 x_{n} - x_{n-1} - x_{n+1})$
違い	$k$	$\frac{T}{a}$
$\omega_j$	$2 \sqrt{\frac{k}{m}} \sin \frac{j}{2 (N+1)} \pi$	$2 \sqrt{\frac{T}{ma}} \sin \frac{j}{2 (N+1)} \pi$
$p_j$	$\frac{j}{N+1} \pi$	左と同じ
$A_{n}^{(j)}$	$A^{(j)} \sin \frac{j}{N+1} \pi n$	左と同じ
$x_n^{(j)}$	$x_n^{(j)} = A_{n}^{(j)} \cos ( \omega_j t + \phi_j )$	左と同じ
$x_n (t)$	$\sum^N_{j=1} A^{(j)} \sin \left( \frac{j}{N+1} \pi n \right) \cos (\omega_j t + \phi_j)$	左と同じ

$j=1,...,N,~~~~ n=1,...,N$

$N$ $m$ のおもりの微小横振動においても, 同様に一般解が導出できる.

基準振動のプロットアニメ

実際に基準振動をプロットしたアニメが下図である.

おもりの数 N	モード	結果	アニメ
5	1
5	2
5	3
5	4
5	5
15	5

一般解のプロットアニメ

$N=3$ $A^{(j)}$ $[1,0,0] \rightarrow [1,0,1]\rightarrow [1,1,1]$ と変えていく.

$N$	$A^{(j)},~\phi_j$	結果	アニメ
3	$A^{(j)}=[1,0,0]$ $\phi_j=0$
3	$A^{(j)}=[1,0,0.1]$ $\phi_j=0$
3	$A^{(j)}=[1,0,0.5]$ $\phi_j=0$
3	$A^{(j)}=[1,0,1]$ $\phi_j=0$
3	$A^{(j)}=[1,1,1]$ $\phi_j=0$

$A^{(j)}$ $[1,...,1]$ $N=3,~9,~20,~100$ とおもりの数を増やしていく.

おもりの数 N	A(j),φj	結果	アニメ
3	A(j)=1,φj=0
9	A(j)=1,φj=0
20	A(j)=1,φj=0
100	A(j)=1,φj=0

連続体の運動

導入

ここまでは多数の振動子の振動を考えていたが, その数を極限的に増やし, 「無数の振動子の連成振動」を考えたものが連続体の振動に相当する. 具体的には弦, 棒, 膜などの変形する連続物体の弾性振動について考える.

基本的な計算手順はこれまでの連成振動の場合と同じで,

運動方程式を立て,
基準振動を推察して導出し,
その重ね合わせとして一般解を導出する

というものである.

例を挙げて具体的に計算してみよう.

下図のような両端が固定された (固定端) の弦の微小横振動を考える.

continum_string

なお, 弦の振動には

横振動 : 弦の各微小部分が弦の長さの方向と垂直の方向に振動する現象
縦振動 : 弦の各微小部分が弦の長さの方向に振動する現象

の2種類があり, 両方同時に起こる場合もあるが, 今回は横振動のみを取り扱う.

今回のような弦の振動現象は

$t$ : ある時刻,
$x$ : ある位置

という2変数を用いた関数

$u(x,t)$ : 平衡 (釣り合い) 位置からどれくらい変位しているか

によって記述できる.

$x$ $t$ $u(x,t)$ で表現される.

$N$ $m$ のおもりの微小横振動」と似た系であり, 以下の対応関係がある.

	N個のおもりの連成振動	連続体の運動
変位	$x_n (t)$	$u(x,t)$
横軸	$n$ : 各おもりの番号	$x$ : 弦の位置

運動方程式

$L$ $\sigma$ $\Delta x$ $\Delta m = \sigma ~ \Delta x$ となる.

continum_string_close-up

$T, T'$ で引っ張られている. ただし, 弦の微小横振動であるため, 弦の微小線素は上下にのみ振動している. すなわち,

左右 : 左右方向の力が釣り合って0
上下 : 加速度ありで運動している

という状況であるから, 運動方程式は,

\begin{aligned} 左 右 : & 0 & = T \cos θ - T^{'} \cos θ^{'} \\ 上 下 : & Δ m \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} & = T \sin θ - T^{'} \sin θ^{'} \end{aligned}

$t$ $u(x,t)$ が2変数関数のためである.

$|\theta| \ll 1, |\theta'| \ll 1$ であるから,

\begin{aligned} \cos θ \sim 1 & , \cos θ^{'} \sim 1 \\ \sin θ \sim \tan θ & , \sin θ^{'} \sim \tan θ^{'} \end{aligned}

となる. したがって, 元の運動方程式を整理すると,

\begin{aligned} 左 右 : & T & \sim T^{'} \\ 上 下 : & Δ m \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} & \sim T (\tan θ - \tan θ^{'}) \end{aligned}

となる.

$\tan \theta$ $t$ $x + \Delta x$ $u (x+\Delta x,t)$ $x$ 方向への傾きに相当するため,

\begin{matrix} \tan θ = \frac{\partial u (x + Δ x, t)}{\partial x} \end{matrix}

$|\theta| \ll 1$ $\tan \theta \sim \theta$ であり, ) 右辺はテイラー展開をすると

\begin{aligned} \frac{\partial u (x + Δ x, t)}{\partial x} & = \frac{1}{0!} \frac{\partial u (x + 0, t)}{\partial x} Δ x^{0} + \frac{1}{1!} \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial u (x + 0, t)}{\partial x}) Δ x^{1} + \frac{1}{2!} \frac{\partial^{2}}{\partial^{2} x} (\frac{\partial u (x + 0, t)}{\partial x}) Δ x^{2} + \dots \\ = \frac{\partial u (x, t)}{\partial x} + \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial^{2} x} Δ x + \frac{1}{2} \frac{\partial^{3} u (x, t)}{\partial^{3} x} Δ x^{2} + \dots \end{aligned}

$\Delta x$ が微小であることから無視できるため,

\begin{array}{r} \frac{\partial u (x + Δ x, t)}{\partial x} \sim \frac{\partial u (x, t)}{\partial x} + \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial x^{2}} Δ x \end{array}

となる.

$\tan \theta'$ $t$ $x$ $u (x,t)$ $x$ 方向への傾きに相当するため,

\begin{matrix} \tan θ^{'} = \frac{\partial u (x, t)}{\partial x} \end{matrix}

$|\theta'| \ll 1$ $\tan \theta' \sim \theta'$ となる. )

以上のことから, 上下についての運動方程式は

\begin{aligned} Δ m \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} & \sim T (\tan θ - \tan θ^{'}) \\ \sim T ((\frac{\partial u (x, t)}{\partial x} + \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial x^{2}} Δ x) - \frac{\partial u (x, t)}{\partial x}) \\ = T \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial x^{2}} Δ x \end{aligned}

$\Delta m = \sigma ~ \Delta x$ $\sigma$ は線密度) であり, 微小振動による近似を等号で結べば,

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} & = \frac{T Δ x}{Δ m} \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial x^{2}} \\ = \frac{T Δ x}{σ Δ x} \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial x^{2}} \\ = \frac{T}{σ} \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial x^{2}} \end{aligned}

となり,

連続体の運動方程式

\begin{aligned} (3) & \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} & = \frac{T}{σ} \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial x^{2}} \end{aligned}

が導出できた.

$N$ $\eqref{eom-N}$ :

$\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{d^{2} x_{n} (t)}{d t^{2}} = - \frac{T}{m a} (2 x_{n} (t) - x_{n + 1} (t) - x_{n - 1} (t)) (n = 1, . . ., N) \\ (付帯条件 : x_{0} (t) = 0, x_{N + 1} (t) = 0) \end{matrix} \end{matrix}$

$\eqref{eom-N-pre}$ :

\begin{matrix} m \frac{d^{2} x_{n} (t)}{d t^{2}} = T (\frac{x_{n + 1} (t) - x_{n} (t)}{a} - \frac{x_{n} (t) - x_{n - 1} (t)}{a}) \end{matrix}

$a$ $m$ $\sigma_N \equiv \frac{m}{a}$ とすれば,

\begin{aligned} \frac{d^{2} x_{n} (t)}{d t^{2}} & = \frac{T}{m} (\frac{x_{n + 1} (t) - x_{n} (t)}{a} - \frac{x_{n} (t) - x_{n - 1} (t)}{a}) \\ = \frac{T}{σ_{N} a} (\frac{x_{n + 1} (t) - x_{n} (t)}{a} - \frac{x_{n} (t) - x_{n - 1} (t)}{a}) \\ = \frac{T}{σ_{N} a} (\frac{(n, n + 1 番 目 の お も り の 変 位 差)}{(n, n + 1 番 目 の お も り の 横 軸 の 距 離 差)} - \frac{(n - 1, n 番 目 の お も り の 変 位 差)}{(n - 1, n 番 目 の お も り の 横 軸 の 距 離 差)}) \\ = \frac{T}{σ_{N} a} ((中 点 \frac{x_{n + 1} (t) + x_{n} (t)}{2} で の 傾 き) - (中 点 \frac{x_{n} (t) + x_{n - 1} (t)}{2} で の 傾 き)) \\ = \frac{T}{σ_{N}} \frac{(中 点 \frac{x_{n + 1} (t) + x_{n} (t)}{2} で の 傾 き) - (中 点 \frac{x_{n} (t) + x_{n - 1} (t)}{2} で の 傾 き)}{a} \\ = \frac{T}{σ_{N}} \frac{(中 点 \frac{x_{n + 1} (t) + x_{n} (t)}{2} で の 横 軸 方 向 へ の 1 階 偏 導 関 数) - (中 点 \frac{x_{n} (t) + x_{n - 1} (t)}{2} で の 横 軸 方 向 へ の 1 階 偏 導 関 数)}{(中 点 同 士 の 横 軸 の 距 離 差)} \\ = \frac{T}{σ_{N}} (x_{n} (t) の 横 軸 方 向 (n 番 目 方 向) へ の 2 階 偏 導 関 数) \end{aligned}

$n$ $x$ $\frac{\partial^2 u (x,t)}{\partial x^2}$ と対応がつく.

$N$ 個のおもりの例を拡張した意味を持つのであれば, 連続体の運動においても, 弦の各部分が同一の角振動数で振動する基準振動が起こるであろうと推察できる.

$u$ について線形の方程式であることから, 解の重ね合わせが成立するため, これまで同様に基準振動の線形結合で一般解を表現することができる.

また, 係数について

\begin{matrix} v^{2} \equiv \frac{T}{σ} \end{matrix}

$v$ を用いれば,

波動方程式

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} & = v^{2} \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial x^{2}} \end{aligned}

が求まる.

弦の基準振動

$N$ $j$ 番目の基準振動について,

基準振動の仮定

\begin{aligned} 自 由 度 N & : & x_{n}^{(j)} & = A_{n}^{(j)} \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) \\ ↕ & (n \leftrightarrow x) \\ (4) & 連 続 体 & : & u^{(j)} (x, t) & = A^{(j)} (x) \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) \end{aligned}

という対応関係で置いてみて, これが先程求めた連続体の運動方程式を満たすかを確かめていく.

$\eqref{eom-cont}$ $\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = \frac{T}{\sigma} \frac{\partial^2 u (x,t)}{\partial x^2}$ に代入すると,

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} & = \frac{T}{σ} \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial x^{2}} \\ \leftrightarrow \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} (A^{(j)} (x) \cos (ω_{j} t + ϕ_{j})) & = \frac{T}{σ} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} (A^{(j)} (x) \cos (ω_{j} t + ϕ_{j})) \\ \leftrightarrow - A^{(j)} (x) ω_{j}^{2} \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) & = \frac{T}{σ} \frac{\partial^{2} A^{(j)} (x)}{\partial x^{2}} \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) \\ \leftrightarrow - A^{(j)} (x) ω_{j}^{2} & = \frac{T}{σ} \frac{\partial^{2} A^{(j)} (x)}{\partial x^{2}} \\ \leftrightarrow \frac{d^{2} A^{(j)} (x)}{d x^{2}} & = - \frac{σ ω_{j}^{2}}{T} A^{(j)} (x) (∵ A^{(j)} (x) は x の み の 関 数 な の で 導 関 数 に 変 更) \\ (5) & = - p_{j}^{2} A^{(j)} (x) (∵ 波 数 p_{j} \equiv \sqrt{\frac{σ}{T}} ω_{j}) \end{aligned}

$t$ $x$ $A^{(j)} (x)$ が

$A^{(j)} (x)$

\begin{matrix} (6) & A^{(j)} (x) = A^{(j)} \sin (p_{j} x + θ) \end{matrix}

となれば, 元の運動方程式を満たすことがわかる.

ここで, 弦の両端の境界条件 (固定端) を考える. 固定端なので

境界条件 (固定端)

\begin{matrix} \begin{matrix} 左 端 は 固 定 し て い る の で 静 止 : u (0, t) = 0 \\ 右 端 は 固 定 し て い る の で 静 止 : u (L, t) = 0 \end{matrix} \end{matrix}

$\eqref{mode-cont}$ $u^{(j)} (x, t) = A^{(j)} (x) \cos ( \omega_j t + \phi_j )$ に代入すると,

\begin{matrix} \begin{matrix} 0 = u^{(j)} (0, t) = A^{(j)} (0) \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) \\ 0 = u^{(j)} (L, t) = A^{(j)} (L) \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) \end{matrix} \end{matrix}

$t$ で成立するためには

\begin{matrix} \begin{matrix} A^{(j)} (0) = 0 \\ A^{(j)} (L) = 0 \end{matrix} \end{matrix}

$\eqref{A}$ $A^{(j)} (x) = A^{(j)} \sin (p_j x + \theta)$ に代入すると

\begin{aligned} 0 = A^{(j)} (0) & = A^{(j)} \sin (0 + θ) \\ 0 = A^{(j)} (L) & = A^{(j)} \sin (p_{j} L + θ) \end{aligned}

$A^{(j)} = 0$ $\sin \theta = 0$ となるため,

\begin{matrix} θ = 0 \end{matrix}

$\theta = \pi$ $A^{(j)} \rightarrow - A^{(j)}$ $\theta=0$ と本質的には同一視できる). したがって, 第2式は

\begin{aligned} \sin (p_{j} L + 0) & = 0 \\ \to \sin p_{j} L & = 0 \\ \to p_{j} L & = j π (j \in 整 数) \\ \to p_{j} & = \frac{j π}{L} (j \in 整 数) \end{aligned}

$j$ $A^{(j)} (x) = A^{(j)} \sin (p_j x + \theta) = A^{(j)} \sin (p_j x )$ から

$j = 0 ~~\rightarrow~~ p_j = 0 ~~\rightarrow~~ A^{(j)} (x) = 0$ となり, 無振動なので無意味
$j < 0 ~~\rightarrow~~ p_j < 0 ~~\rightarrow~~ A^{(j)} (x) = - A^{(j)} \sin (p_j x)$ $A^{(j)} \rightarrow - A^{(j)}$ $j>0$ と同一

$j$ $N$ $j$ $N$ $x$ という連続変数になったため上限はない.

$j$ の範囲がわかったので, 波数は

波数

\begin{matrix} p_{j} = \frac{j π}{L} (j = 1, 2, . . .) \end{matrix}

が求まった. これにより, 基準振動の概形も

基準振動の概形

\begin{aligned} A^{(j)} (x) & = A^{(j)} \sin (p_{j} x) \\ = A^{(j)} \sin (\frac{j π}{L} x) (j = 1, 2, . . .) \end{aligned}

と求まる.

$p_j x$ $2 \pi$ $p_j \lambda_j = 2 \pi \rightarrow \lambda_j = \frac{2 \pi}{p_j}$

そして, 基準振動についても

基準振動

\begin{matrix} \begin{matrix} u^{(j)} (x, t) = A^{(j)} \sin (\frac{j π}{L} x) \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) \\ (未 定 定 数 : A^{(j)}, ϕ_{j}) \end{matrix} \end{matrix}

として求まった. これは固有振動とも呼ばれる.

各基準振動での結果を表にしたものが下記である.

$p_j$ $\eqref{pj-omegaj}$ $p_j \equiv \sqrt{\frac{\sigma}{T}} \omega_j$ $\omega_j = \sqrt{\frac{T}{\sigma}} p_j$ と表せる

$j$	$p_j$	$\lambda_j \equiv \frac{2 \pi}{p_j}$	$\omega_j$
1	$p_1 = \frac{\pi}{L}$	$\lambda_1 = 2 L$	$\omega_1 = \sqrt{\frac{T}{\sigma}} p_1$
2	$p_2 = \frac{2 \pi}{L} = 2p_1$	$\lambda_2 = L = \frac{\lambda_j}{2}$	$\omega_2 = \sqrt{\frac{T}{\sigma}} 2 p_1 = 2 \omega_1$
3	$p_3 = \frac{3 \pi}{L} = 3p_1$	$\lambda_3 = \frac{2}{3} L = \frac{\lambda_j}{3}$	$\omega_3 = \sqrt{\frac{T}{\sigma}} 3 p_1 = 3 \omega_1$
4	$p_4 = \frac{4 \pi}{L} = 4p_1$	$\lambda_4 = \frac{2}{4} L = \frac{\lambda_j}{4}$	$\omega_4 = \sqrt{\frac{T}{\sigma}} 4 p_1 = 4 \omega_1$
5	$p_5 = \frac{5 \pi}{L} = 5p_1$	$\lambda_5 = \frac{2}{5} L = \frac{\lambda_j}{5}$	$\omega_5 = \sqrt{\frac{T}{\sigma}} 5 p_1 = 5 \omega_1$

各モードのアニメは下図

animation_oscillations-continuum_mode1.mov

一般解

各基準振動の重ね合わせを考えると,

\begin{aligned} u (x, t) & = \sum_{j = 1}^{\infty} u^{(j)} (x, t) \\ = \sum_{j = 1}^{\infty} A^{(j)} \sin (\frac{j π}{L} x) \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) \\ (未 定 定 数 : A^{(j)}, ϕ_{j}) \\ (j = 1, 2, . . .) \end{aligned}

となる. 元の方程式が線形なので, この1次結合の式も元の運動方程式を満たす. また, 任意定数の数もちょうどであるため, これが一般解となる.

改めて書くと

一般解

\begin{aligned} u (x, t) & = \sum_{j = 1}^{\infty} A^{(j)} \sin (\frac{j π}{L} x) \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) \\ (未 定 定 数 : A^{(j)}, ϕ_{j}) \\ (j = 1, 2, . . .) \end{aligned}

である.

したがって, 多自由度の連成振動と同様に, 実際に弦を振動させた場合, 1つの基準振動が単独で起こることは特別な場合であって, 一般には, 多くの基準振動が重なり合った振動が起こる.

$A^{(j)}, \phi_j$ $t=0$ $x$ の関数として与えればよい.

このようにして与えられた初期条件から各未定定数を決定する手続きは, フーリエ展開の係数を求めることに相当する.

animation_oscillations-continuum_general_jmax5_1-0-0-0-0.mov

$j_{max}$	未定定数	結果	アニメ
5	$A^{(j)}=[1,0,0,0,0]$ $\phi_j=0$
5	$A^{(j)}=[1,0,0,0,0.1]$ $\phi_j=0$
5	$A^{(j)}=[1,0,0,0,0.5]$ $\phi_j=0$
5	$A^{(j)}=[1,0,0,0,1]$ $\phi_j=0$
5	$A^{(j)}=[1,1,1,1,1]$ $\phi_j=0$
10	$A^{(j)}=[1,...,1]$ $\phi_j=0$
100	$A^{(j)}=[1,...,1]$ $\phi_j=0$

一般解の唯一性の確認

命題

ここまでで求めた手法は, 元の微分方程式から基準振動という特殊な解を, 推察を利用して求め, その線形結合を作ることで, 与えられた境界条件と初期条件を満たす解 (一般解) を見つける, というものだった.

導出過程に推察を含むことから, もしかすると求めた解以外の解がありうるかもしれない. しかしそれでは一般解が複数存在することになってしまう. したがって, 求めた解の唯一性を確認しておく必要がある.

やるべきことを整理しよう. 今回の証明すべき命題は,

命題

連続体の運動方程式

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} & = \frac{T}{σ} \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial x^{2}} \end{aligned}

の解において, 「与えられた境界条件

\begin{matrix} \begin{matrix} u (0, t) = 0 \\ u (L, t) = 0 \end{matrix} \end{matrix}

と初期条件

\begin{aligned} u (x, t = 0) & = f (x) : 任 意 関 数 \\ (7) & {| \frac{\partial u (x, t)}{\partial t} |}_{t = 0} & = g (x) : 任 意 関 数 \end{aligned}

を満たす解」はただ1つしかないことを証明せよ

である. これを以下で証明していく.

証明

実際に確かめていく.

$u_1 (x, t), u_2 (x, t)$ とし,

\begin{matrix} (8) & D (x, t) \equiv u_{1} (x, t) - u_{2} (x, t) \end{matrix}

$D(x,t)$ を考える.

$u(x,t)$ $D(x,t)$ もまた, 元の運動方程式を満たす:

\begin{matrix} (9) & \frac{\partial^{2} D (x, t)}{\partial t^{2}} = \frac{T}{σ} \frac{\partial^{2} D (x, t)}{\partial x^{2}} \end{matrix}

境界条件についても

$D(x,t)$ の境界条件

\begin{matrix} (10) & \begin{matrix} D (0, t) = u_{1} (0, t) - u_{2} (0, t) = 0 - 0 = 0 \\ D (L, t) = u_{1} (L, t) - u_{2} (L, t) = 0 - 0 = 0 \end{matrix} \end{matrix}

となるため, 境界条件を満たすことが確かめられる.

$D(x,t)$ $u(x,t)$ $\eqref{init-fg}$ $u(x,0)=f(x) ,~ \left| \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} \right|_{t=0} = g (x)$ を用いれば $D(x,t)$ の初期条件

\begin{aligned} D (x, 0) & = u_{1} (x, 0) - u_{2} (x, 0) \\ = f (x) - f (x) \\ (11) & = 0 \\ {| \frac{\partial D (x, t)}{\partial t} |}_{t = 0} & = {| \frac{\partial u_{1} (x, t)}{\partial t} |}_{t = 0} - {| \frac{\partial u_{2} (x, t)}{\partial t} |}_{t = 0} \\ = g (x) - g (x) \\ (12) & = 0 \end{aligned}

となる.

$D(x,t)$ $x, t$ $x$ についての或る積分

\begin{matrix} (13) & J (t) \equiv \frac{1}{2} \int_{0}^{L} {{(\frac{\partial D (x, t)}{\partial t})}^{2} + \frac{T}{σ} {(\frac{\partial D (x, t)}{\partial x})}^{2}} d x \end{matrix}

を考えてみよう.

$u(x,t)=D(x,t)$ $\frac{\partial^2 D(x,t)}{\partial t^2} = \frac{T}{\sigma} \frac{\partial^2 D (x,t)}{\partial x^2}$ の両辺の和に関する積分である.

$J(t)$ $t$ で微分すると,

\begin{aligned} \frac{d J (t)}{d t} & = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} {\frac{d}{d t} {(\frac{\partial D (x, t)}{\partial t})}^{2} + \frac{T}{σ} \frac{d}{d t} {(\frac{\partial D (x, t)}{\partial x})}^{2}} d x \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} {2 \frac{\partial D (x, t)}{\partial t} \frac{\partial^{2} D (x, t)}{\partial t^{2}} + \frac{T}{σ} 2 \frac{\partial D (x, t)}{\partial x} \frac{\partial^{2} D (x, t)}{\partial t \partial x}} d x \\ = \int_{0}^{L} {\frac{\partial D (x, t)}{\partial t} \frac{\partial^{2} D (x, t)}{\partial t^{2}} + \frac{T}{σ} \frac{\partial D (x, t)}{\partial x} \frac{\partial^{2} D (x, t)}{\partial t \partial x}} d x \\ = \int_{0}^{L} {\frac{\partial D (x, t)}{\partial t} \frac{\partial^{2} D (x, t)}{\partial t^{2}} + \frac{T}{σ} \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial D (x, t)}{\partial x} \frac{\partial D (x, t)}{\partial t}) - \frac{T}{σ} \frac{\partial^{2} D (x, t)}{\partial x^{2}} \frac{\partial D (x, t)}{\partial t}} d x \\ = \int_{0}^{L} {\frac{\partial D (x, t)}{\partial t} (\frac{\partial^{2} D (x, t)}{\partial t^{2}} - \frac{T}{σ} \frac{\partial^{2} D (x, t)}{\partial x^{2}}) + \frac{T}{σ} \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial D (x, t)}{\partial x} \frac{\partial D (x, t)}{\partial t})} d x \\ ↓ ∵ 連 続 体 の 運 動 方 程 式 : \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} = \frac{T}{σ} \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial x^{2}} \\ = \int_{0}^{L} \frac{T}{σ} \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial D (x, t)}{\partial x} \frac{\partial D (x, t)}{\partial t}) d x \\ = \frac{T}{σ} {[\frac{\partial D (x, t)}{\partial x} \frac{\partial D (x, t)}{\partial t}]}_{0}^{L} \end{aligned}

$x=0,~L$ $u(x,t)$ は時刻経過で変化しないため,

\begin{aligned} {| \frac{\partial D (x, t)}{\partial t} |}_{x = 0} & = {| \frac{\partial u_{1} (x, t)}{\partial t} |}_{x = 0} - {| \frac{\partial u_{2} (x, t)}{\partial t} |}_{x = 0} \\ = 0 - 0 \\ = 0 \\ {| \frac{\partial D (x, t)}{\partial t} |}_{x = L} & = {| \frac{\partial u_{1} (x, t)}{\partial t} |}_{x = L} - {| \frac{\partial u_{2} (x, t)}{\partial t} |}_{x = L} \\ = 0 - 0 \\ = 0 \end{aligned}

$\frac{\partial D}{\partial t} = 0$ となる. したがって, 先の1回微分は

\begin{aligned} \frac{d J (t)}{d t} & = \frac{T}{σ} {[\frac{\partial D (x, t)}{\partial x} \frac{\partial D (x, t)}{\partial t}]}_{0}^{L} \\ = \frac{T}{σ} {{| \frac{\partial D (x, t)}{\partial x} \frac{\partial D (x, t)}{\partial t} |}_{x = L} - {| \frac{\partial D (x, t)}{\partial x} \frac{\partial D (x, t)}{\partial t} |}_{x = 0}} \\ = \frac{T}{σ} {{| \frac{\partial D (x, t)}{\partial x} |}_{x = L} {| \frac{\partial D (x, t)}{\partial t} |}_{x = L} - {| \frac{\partial D (x, t)}{\partial x} |}_{x = 0} {| \frac{\partial D (x, t)}{\partial t} |}_{x = 0}} \\ = \frac{T}{σ} {{| \frac{\partial D (x, t)}{\partial x} |}_{x = L} \times 0 - {| \frac{\partial D (x, t)}{\partial x} |}_{x = 0} \times 0} \\ = 0 \end{aligned}

となる. したがって,

\begin{matrix} (14) & J (t) = 一 定 \end{matrix}

$t=0$ $J(t=0)$ $\eqref{init-D}$ $D (x, 0)=0$ $\eqref{init-Dt}$ ${\displaystyle \left| \frac{\partial D(x,t)}{\partial t} \right|_{t=0} = 0}$ を用いれば

\begin{aligned} J (0) & = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} {{({| \frac{\partial D (x, t)}{\partial t} |}_{t = 0})}^{2} + \frac{T}{σ} {({| \frac{\partial D (x, t)}{\partial x} |}_{t = 0})}^{2}} d x \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} {0^{2} + \frac{T}{σ} {(\frac{\partial D (x, 0)}{\partial x})}^{2}} d x \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} {\frac{T}{σ} {(\frac{\partial 0}{\partial x})}^{2}} d x \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} {\frac{T}{σ} 0^{2}} d x \\ = 0 (∵ 0 の 定 積 分 な の で 積 分 値 は 0) \end{aligned}

$\eqref{J-const}$ $J(t) = 一定$ と合わせれば

\begin{matrix} J (t) = 0 \end{matrix}

$J(t)$ は恒等的に0であることがわかる.

$J(t)$ $\eqref{J}$

\begin{matrix} J (t) = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} {{(\frac{\partial D (x, t)}{\partial t})}^{2} + \frac{T}{σ} {(\frac{\partial D (x, t)}{\partial x})}^{2}} d x \end{matrix}

$\left( \frac{\partial D(x,t)}{\partial t} \right)^2 + \frac{T}{\sigma} \left( \frac{\partial D (x,t)}{\partial x} \right)^2$ は, 連続関数であり, 且つ, 各項が2乗項で係数も正であることから非負である.

$J(t)$ $0 \le x \le L$ において, 被積分関数内の各項も0 :

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{\partial D (x, t)}{\partial t} = 0 \\ \frac{\partial D (x, t)}{\partial x} = 0 \end{matrix} \end{matrix}

$dD (x,t)$ も0 :

\begin{aligned} d D (x, t) & = \frac{\partial D (x, t)}{\partial t} d t + \frac{\partial D (x, t)}{\partial x} d x \\ = 0 + 0 \\ = 0 \end{aligned}

となる. したがって,

\begin{matrix} D (x, t) = 一 定 \end{matrix}

$D(t)$ $\eqref{init-D}$ $D (x, 0) = 0$ であることを踏まえると

\begin{matrix} D (x, t) = 0 \end{matrix}

$D(x,t)$ $\eqref{D}$ $D (x, t) = u_1 (x, t) - u_2 (x, t)$ なので

\begin{matrix} u_{1} (x, t) = u_{2} (x, t) \end{matrix}

が成り立つ. すなわち, 解はただ1つしかなく, 命題が成立することが証明できた.

したがって, 今回求めた解が唯一の解であり, その他の解は存在しないのである.

N個の連成振動と連続体の基準振動の形の対応について

	$N$ 個の連成振動	連続体
固有振動数	$2 \sqrt{\frac{T}{ma}} \sin \frac{j}{2 (N+1)} \pi$	$\sqrt{\frac{T}{\sigma}} \frac{j \pi}{L}$
基準振動の概形	$A_{n}^{(j)} = A^{(j)} \sin \frac{j}{N+1} \pi n$	$A^{(j)} (x) = A^{(j)} \sin \left(\frac{j \pi}{L} x \right)$
基準振動	$x_n^{(j)} = A_{n}^{(j)} \cos ( \omega_j t + \phi_j )$	$u^{(j)} (x, t) = A^{(j)} (x) \cos ( \omega_j t + \phi_j )$