振動波動論第6回復習問題

2024-05-22 2024-05-16
復習問題

実施・提出期間

締切: 2024/05/29 (水) 13:30 までに, 下記の問題を実施し, 提出してください.

注意事項

手書きで計算したものを1つのpdfにまとめて提出してください
- 紙に直筆したものを写真 or スキャンする場合は, 中身がハッキリ読めることを確認してください
- タブレット等を用いて電子的に手書きするのもOKです
- 画像ファイルをそのまま何枚も提出したり, zipにまとめて提出したものは受取不可とします
授業資料の解答を丸写しするのではなく, 授業内容を思い出しながら自分の手で計算するようにしてください
授業直後に復習することはもちろん素晴らしいです!! その後, なるべく数日空けてから再学習として本課題を実施し, 提出することを是非試してみてください.

問題

連成振動 N個

$N$ $m$ $k$ で統一した場合を考えている.

$x_0,~ x_{N+1}$ ) があると考える. 具体的には下図のような場合を考える.

spring-N-virtual

この時, 追加した仮想的なおもりには静止という境界条件 (付帯条件) :

\begin{aligned} x_{0} (t) & = 0 \\ x_{N + 1} (t) & = 0 \end{aligned}

があるものとして考える.

この系の運動方程式を記述せよ
$j$ $\omega_j$ を導出せよ
$j$ $p_j$ を導出せよ
$j$ $A_{n}^{(j)}$ を導出せよ
$j$ $x_n^{(j)}$ を導出せよ
一般解を求めよ

まとめ

今回の授業内容を100文字以上で自分なりにまとめてください. ただし, 写経のように丸写しすることだけはやめてください.

解答

連成振動 N個

$N$ $m$ $k$ で統一した場合を考えている.

$x_0,~ x_{N+1}$ ) があると考える. 具体的には下図のような場合を考える.

spring-N-virtual

この時, 追加した仮想的なおもりには静止という境界条件 (付帯条件) :

\begin{aligned} x_{0} (t) & = 0 \\ x_{N + 1} (t) & = 0 \end{aligned}

があるものとして考える.

この系の運動方程式を記述せよ

仮想的なおもりがある場合, まとめて記述した運動方程式は

\begin{aligned} (1) & m \frac{d^{2} x_{n}}{d t^{2}} & = - k (2 x_{n} - x_{n - 1} - x_{n + 1}) (n = 1, . . ., N) \\ (付 帯 条 件 : x_{0} (t) = 0, x_{N + 1} (t) = 0) \end{aligned}

となる.

$j$ $\omega_j$ を導出せよ

各基準振動の概形はきれいなsin形になる, と予想する.

$x_n^{(j)}$ は

\begin{aligned} (2) & x_{n}^{(j)} & = A_{n}^{(j)} \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) (n = 0, . . ., N + 1. ϕ^{(j)} : 任 意 定 数) \\ (付 帯 条 件 : & x_{0}^{(j)} (t) = 0, x_{N + 1}^{(j)} (t) = 0 \\ \leftrightarrow & A_{0}^{(j)} = 0, A_{N + 1}^{(j)} = 0) \end{aligned}

のように単振動となると考えられる.

$\ref{eom}$ ) に代入すると,

\begin{aligned} m \frac{d^{2}}{d t^{2}} (A_{n}^{(j)} \cos (ω_{j} t + ϕ_{j})) \\ (3) & = - k (2 (A_{n}^{(j)} \cos (ω_{j} t + ϕ_{j})) - (A_{n - 1}^{(j)} \cos (ω_{j} t + ϕ_{j})) - (A_{n + 1}^{(j)} \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}))) \\ (4) & \leftrightarrow - m ω_{j}^{2} A_{n}^{(j)} \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) = - k (2 A_{n}^{(j)} - A_{n - 1}^{(j)} - A_{n + 1}^{(j)}) \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) \\ (5) & \leftrightarrow - m ω_{j}^{2} A_{n}^{(j)} = - k (2 A_{n}^{(j)} - A_{n - 1}^{(j)} - A_{n + 1}^{(j)}) \end{aligned}

$\ref{An}$ ) が得られる.

$A_n^{(j)}$ $j$ 番目の基準振動を上図のようなsin形と予想しているため,

\begin{matrix} (6) & A_{n}^{(j)} = A^{(j)} \sin (p_{j} n + θ) (θ : 任 意 定 数) \end{matrix}

となると考えられる.

$\ref{An}$ ) に代入すると,

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} - m ω_{j}^{2} A_{n}^{(j)} & = - k (2 A_{n}^{(j)} - A_{n - 1}^{(j)} - A_{n + 1}^{(j)}) \\ ↕ \\ - m ω_{j}^{2} A^{(j)} \sin (p_{j} n + θ) & = - k (2 A^{(j)} \sin (p_{j} n + θ) - A^{(j)} \sin (p_{j} (n - 1) + θ) - A^{(j)} \sin (p_{j} (n + 1) + θ)) \\ \leftrightarrow - m ω_{j}^{2} A^{(j)} \sin (p_{j} n + θ) & = - k A^{(j)} (2 \sin (p_{j} n + θ) - \sin (p_{j} (n - 1) + θ) - \sin (p_{j} (n + 1) + θ)) \end{aligned} \end{matrix}

$\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$ より

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} \leftrightarrow - m ω_{j}^{2} A \sin (p_{j} n + θ) & = - k A (2 \sin (p_{j} n + θ) - 2 \sin (p_{j} n + θ) \cos p_{j}) \\ \leftrightarrow - m ω_{j}^{2} A \sin (p_{j} n + θ) & = - 2 k A (1 - \cos p_{j}) \sin (p_{j} n + θ) \end{aligned} \end{matrix}

$\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$ より

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} \leftrightarrow - m ω_{j}^{2} A \sin (p_{j} n + θ) & = - 2 k A (2 \sin \frac{p_{j}}{2} \sin \frac{p_{j}}{2}) \sin (p_{j} n + θ) \\ \leftrightarrow - m ω_{j}^{2} A \sin (p_{j} n + θ) & = - 4 k A \sin^{2} \frac{p_{j}}{2} \sin (p_{j} n + θ) \\ \leftrightarrow m ω_{j}^{2} & = 4 k \sin^{2} \frac{p_{j}}{2} \\ \leftrightarrow ω_{j}^{2} & = 4 \frac{k}{m} \sin^{2} \frac{p_{j}}{2} \end{aligned} \end{matrix}

となる.

$x_n$ $\ref{xn-guess}$ $\phi$ は任意定数であることから

\begin{matrix} (10) & ω_{j} = 2 \sqrt{\frac{k}{m}} \sin \frac{p_{j}}{2} \end{matrix}

$\omega_j$ の形が求まった.

$j$ $p_j$ を導出せよ

境界条件 (付帯条件) を考える.

$A_0^{(j)} = 0$ の場合

$A_n^{(j)}$ $\ref{An-shape}$ $A_n^{(j)} = A^{(j)} \sin (p_j n + \theta)$ より,

\begin{matrix} A_{0}^{(j)} = A^{(j)} \sin θ = 0 \end{matrix}

$A^{(j)}=0$ $\theta = 0, \pi$ $A^{(j)}$ $\theta = \pi$ $\theta = 0$ と同じなので, 結局,

\begin{matrix} θ = 0 \end{matrix}

となる.

$A_{N+1}^{(j)} = 0$ の場合

$A_n^{(j)}$ $\ref{An-shape}$ $A_n^{(j)} = A^{(j)} \sin (p_j n + \theta)$ より,

\begin{matrix} A_{N + 1}^{(j)} = A^{(j)} \sin (p_{j} (N + 1) + θ) = A^{(j)} \sin (p_{j} (N + 1)) = 0 \end{matrix}

$A^{(j)}=0$ という無振動な場合を除けば

\begin{matrix} \begin{matrix} p_{j} (N + 1) = j π (j \in 整 数) \\ \leftrightarrow p_{j} = \frac{j}{N + 1} π (j \in 整 数) \end{matrix} \end{matrix}

となる.

$j$ の範囲

$j$ の実質的な範囲についてさらに考える.

$j < 0$ の場合

$p_j < 0$ $A_n^{(j)} = A^{(j)} \sin (p_j n + \theta)$ から

\begin{matrix} A_{n}^{(j)} = - A^{(j)} \sin (| p_{j} | n) \end{matrix}

$A^{(j)}$ $j>0$ の場合に対応する.

$j = 0$ の場合

$p_0 = 0$ $A_n^{(j)} = A^{(j)} \sin (p_j n + \theta)$ から

\begin{matrix} A_{n}^{(j)} = - A^{(j)} \sin 0 = 0 \end{matrix}

となり, 無振動で無意味な解となる.

$j = N+1$ の場合

$p_{N+1} = \pi$ $A_n^{(j)} = A^{(j)} \sin (p_j n + \theta)$ から

\begin{matrix} A_{n}^{(j)} = - A^{(j)} \sin n π = 0 \end{matrix}

となり, 無振動で無意味な解となる.

$j = N+2$ の場合

\begin{matrix} p_{N + 2} = \frac{N + 2}{N + 1} π = \frac{2 N + 2 - N}{N + 1} π = \frac{2 (N + 1)}{N + 1} π - \frac{N}{N + 1} π = 2 π - \frac{N}{N + 1} π \end{matrix}

$A_n^{(j)} = A^{(j)} \sin (p_j n + \theta)$ から

\begin{matrix} A_{n}^{(j)} = A^{(j)} \sin (2 π n - \frac{N}{N + 1} π n) = - A^{(j)} \sin \frac{N}{N + 1} π n = 0 \end{matrix}

$A^{(j)}$ $j=N$ の場合に対応する.

$j = N+3$ の場合

\begin{matrix} p_{N + 3} = \frac{N + 3}{N + 1} π = \frac{2 N + 2 - N + 1}{N + 1} π = \frac{2 (N + 1)}{N + 1} π - \frac{N - 1}{N + 1} π = 2 π - \frac{N - 1}{N + 1} π \end{matrix}

$A_n^{(j)} = A^{(j)} \sin (p_j n + \theta)$ から

\begin{matrix} A_{n}^{(j)} = A^{(j)} \sin (2 π n - \frac{N - 1}{N + 1} π n) = - A^{(j)} \sin \frac{N - 1}{N + 1} π n = 0 \end{matrix}

$A^{(j)}$ $j=N-1$ の場合に対応する.

：

$1 < j < N$ の範囲に実質的に収まり,

\begin{matrix} (11) & p_{j} = \frac{j}{N + 1} π (j = 1, . . ., N) \end{matrix}

となることがわかる.

$j$ $A_{n}^{(j)}$ を導出せよ

$A_n^{(j)}$ $\ref{An-shape}$ $A_{n}^{(j)} = A^{(j)} \sin (p_j n + \theta)$ $j$ 番目の基準振動の振幅 (概形) が

基準振動の振幅 (概形)

\begin{matrix} A_{n}^{(j)} = A^{(j)} \sin \frac{j}{N + 1} π n (j = 1, . . ., N . n = 1, . . ., N) \end{matrix}

と導出できた.

$j$ $x_n^{(j)}$ を導出せよ

$\ref{xn-guess}$ $x_n^{(j)} = A_{n}^{(j)} \cos ( \omega_j t + \phi_j )$ を用いて

\begin{matrix} \begin{matrix} x_{n}^{(j)} (t) = A_{n}^{(j)} \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) \\ (A_{n}^{(j)} = A^{(j)} \sin \frac{j}{N + 1} π n, ω_{j} = 2 \sqrt{\frac{k}{m}} \sin \frac{1}{2 (N + 1)} π) \end{matrix} \end{matrix}

となる.

一般解を求めよ

$x_n$ は, 一般には基準振動を重ね合わせたもので

\begin{aligned} x_{n} (t) & = \sum_{j = 1}^{N} x_{n}^{(j)} (t) \\ = \sum_{j = 1}^{N} A_{n}^{(j)} \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) \\ (12) & = \sum_{j = 1}^{N} A^{(j)} \sin (\frac{j}{N + 1} π n) \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) \\ (任 意 定 数 : A^{(j)}, ϕ_{j}) \end{aligned}

$\ref{eom}$ ) の解であり, 2N個の任意定数を持っていることから, この解が一般解である.

改めて一般解を書くと

一般解

\begin{aligned} (13) & x_{n} (t) & = \sum_{j = 1}^{N} A^{(j)} \sin (\frac{j}{N + 1} π n) \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) \\ (14) & (ω_{j} = 2 \sqrt{\frac{k}{m}} \sin \frac{j}{2 (N + 1)} π (j = 1, . . ., N)) \\ (任 意 定 数 : A^{(j)}, ϕ_{j}) \end{aligned}

である.

振動波動論 第6回 復習問題

実施・提出期間

問題

連成振動 N個

まとめ

解答

連成振動 N個

この系の運動方程式を記述せよ

jj 番目の基準振動の固有振動数 ωj\omega_j を導出せよ

jj 番目の基準振動の波数 pjp_j を導出せよ

A0(j)=0A_0^{(j)} = 0 の場合

AN+1(j)=0A_{N+1}^{(j)} = 0 の場合

jj の範囲

■ j<0j < 0 の場合

■ j=0j = 0 の場合

■ j=N+1j = N+1 の場合

■ j=N+2j = N+2 の場合

■ j=N+3j = N+3 の場合

jj 番目の基準振動の振幅 (概形) An(j)A_{n}^{(j)} を導出せよ

jj 番目の基準振動 xn(j)x_n^{(j)}を導出せよ

一般解を求めよ

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Keywords

復習問題

振動波動論第6回復習問題

$j$ $\omega_j$ を導出せよ

$j$ $p_j$ を導出せよ

$A_0^{(j)} = 0$ の場合

$A_{N+1}^{(j)} = 0$ の場合

$j$ の範囲

$j < 0$ の場合

$j = 0$ の場合

$j = N+1$ の場合

$j = N+2$ の場合

$j = N+3$ の場合

$j$ $A_{n}^{(j)}$ を導出せよ

$j$ $x_n^{(j)}$ を導出せよ