振動波動論第6回

2024-05-22 2024-05-21
分散関係, 連成振動

基準振動からの導出は簡単に理解できた。変数変換はpの導出方法がよく分からなかった。

カオスとなる運動とは、無秩序な運動だと勘違いしていたから、運動自体はきれいで規則的なものになっていても、初期値の微小な違いによって変わればカオスと呼ぶと知れてよかった。あと、ｐの要件あたりから難しくて、ついていけなくなった。

式(15)〜(17)の式変形がよく分からなかった。

運動方程式

\begin{array}{r} (1) & m \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} = - k x_{1} + k^{'} (x_{2} - x_{1}) \\ (2) & m \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}} = - k x_{2} - k^{'} (x_{2} - x_{1}) \end{array}

$p$ $式\eqref{eom1} + p \times 式\eqref{eom2}$ を計算すると,

\begin{aligned} m (\frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} + p \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}}) & = - k (x_{1} + p x_{2}) + k^{'} (1 - p) (x_{2} - x_{1}) \\ \leftrightarrow m \frac{d^{2}}{d t^{2}} (x_{1} + p x_{2}) & = - k (x_{1} + p x_{2}) + k^{'} (p - 1) (x_{1} - x_{2}) \\ \leftrightarrow m \frac{d^{2}}{d t^{2}} (x_{1} + p x_{2}) & = - k (x_{1} + p x_{2}) + k^{'} (p - 1) (x_{1} - \frac{p - 1}{p - 1} x_{2}) \\ \leftrightarrow m \frac{d^{2}}{d t^{2}} (x_{1} + p x_{2}) & = - k (x_{1} + p x_{2}) + k^{'} (p - 1) (x_{1} + \frac{1 - p}{p - 1} x_{2}) \end{aligned}

となる.

$p$ が

\begin{aligned} 1 : p & = 1 : \frac{1 - p}{p - 1} \\ \leftrightarrow (内 側 左) \cdot (内 側 右) & = (外 側 左) \cdot (外 側 右) \\ \leftrightarrow p \cdot 1 & = 1 \cdot \frac{1 - p}{p - 1} \\ \leftrightarrow p \cdot (p - 1) & = 1 \cdot (1 - p) \\ \leftrightarrow (内 側 左) \cdot (内 側 右) & = (外 側 左) \cdot (外 側 右) \\ (3) & \leftrightarrow 1 : p & = (p - 1) : (1 - p) \end{aligned}

を満たすようなものであったなら, 上式は

\begin{aligned} m \frac{d^{2}}{d t^{2}} (x_{1} + p x_{2}) & = - k (x_{1} + p x_{2}) + k^{'} (p - 1) (x_{1} + p x_{2}) \\ = - (k + k^{'} (1 - p)) (x_{1} + p x_{2}) \end{aligned}

となる. ここで

\begin{matrix} (4) & \sqrt{2} q \equiv x_{1} + p x_{2} \end{matrix}

$q$ $\sqrt{2}$ をつける意味については後に説明するが, 一般解を求めるだけであれば無くてもよい. この定義式で置き換えてやれば,

\begin{matrix} m \frac{d^{2} q}{d t^{2}} = - (k + k^{'} (1 - p)) q \end{matrix}

となり, 独立な単振動の式に帰着することができる.

最初に話の合ったような余談はテストに入れないという意味で「余談」ということですか。（余談は毎回聞いていて面白いので挿入できる単元の時は積極的に取り入れてほしいです）

はい, 余談はテスト範囲の対象外です.

バネで繋がれた2つのおもりの縦振動で解法が2つあったがどっちの方がわかりやすいですかね。

2つの開放はどう使い分ければよいのかわからない。

わかりやすいかどうかは自分の感覚で良いと思います. 解答としてはどちらでも構いませんが, 他の系でも適用しやすいのは基準座標の解法だと思います.

ばね定数がそれぞれ違うと規則性はなくカオスになるのか少し気になった。

いいえ, カオスにはなりません. まず, ばね定数がそれぞれ異なる場合は計算が面倒なだけで一般解を導出できます. また, カオスの定義は「初期値の小さな差が後々大きな違いを生む (=初期値鋭敏性が高い) 現象」です. ただし, バネで繋がれた2つのおもりの縦振動の場合は, 初期条件をわずかに変えただけでは, 後の軌道も大して変わりません. したがって, ばね定数が全て異なる場合であってもカオスにはなりません.

カオス理論の紹介としての振り子の軌跡動画が教室の明るさに対し暗く、よく見えなかった。

今日の授業は非常に充実していました。連成振動の概念を理解する上で理論的な部分が多く含まれており、特に運動方程式の記述や固有振動数の導出が興味深かったです。ただし、もう少し具体的な数値例やシミュレーションを用いた説明があれば、より理解が深まったと思います。

変数変換を用いて解を求める方法の最終的な目的は分かったけれど、何故その解き方をするに至ったのかいまいち分からなかった。

導出でどの式が何を表しているのか、その後どう繋がるのかが分かりにくかったです

連成振動 (多自由度の振動)

導入

前回は2つの振動子の場合を考えた. 今回はその振動子が多数ある場合を考え, その運動を計算していく. これは後の連続体の運動につながる.

$N$ $m$ $k$ で統一した場合を考えている.

spring-N

この系の運動方程式は,

\begin{aligned} 1 番 目 & : & m \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} & = - k x_{1} & + k (x_{2} - x_{1}) \\ 2 番 目 & : & m \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}} & = - k (x_{2} - x_{1}) & + k (x_{3} - x_{2}) \\ 3 番 目 & : & m \frac{d^{2} x_{3}}{d t^{2}} & = - k (x_{3} - x_{2}) & + k (x_{4} - x_{3}) \\ ⋮ & ⋮ \\ N - 1 番 目 & : & m \frac{d^{2} x_{N - 1}}{d t^{2}} & = - k (x_{N - 1} - x_{N - 2}) & + k (x_{N} - x_{N - 1}) \\ (5) & N 番 目 & : & m \frac{d^{2} x_{N}}{d t^{2}} & = - k (x_{N} - x_{N - 1}) & - k x_{N} \end{aligned}

$x_1, x_N$ $x_0,~ x_{N+1}$ ) があると考えよう. 具体的には下図のような場合を考える.

spring-N-virtual

この時, 追加した仮想的なおもりは本来動かないものなので, 静止という境界条件 (付帯条件) :

固定端条件

\begin{aligned} x_{0} (t) & = 0 \\ x_{N + 1} (t) & = 0 \end{aligned}

があるものとして考える.

なお, 両端が壁に固定されていない系を考える場合は, 境界条件として 自由端条件
$\begin{aligned} x_{0} (t) & = x_{1} (t) \\ x_{N + 1} (t) & = x_{N} (t) \end{aligned}$
と置き, 計算していけば良い.
$N$ 番目のおもりをバネで繋げた系を考える場合は, 境界条件として
$\begin{aligned} x_{0} (t) & = x_{N} (t) \\ x_{N + 1} (t) & = x_{1} (t) \end{aligned}$
と置き, 計算していけば良い.

$x_1$ $-k x_1$ $x_1-x_0$ $-k (x_1 - x_0)$ 」と見直すことができる:

\begin{aligned} - k x_{1} = - k (x_{1} - 0) & \to - k (x_{1} - x_{0}) \end{aligned}

$N$ $x_N$ $-k x_N$ $N+1$ $x_{N+1}-x_{N}$ $-k (x_{N} - x_{N+1})$ 」と見直すことができる:

\begin{aligned} - k x_{N} = - k (x_{N} - 0) \to & - k (x_{N} - x_{N + 1}) \\ = & + k (x_{N + 1} - x_{N}) \end{aligned}

$\eqref{eom-origin}$ は

\begin{aligned} 1 番 目 & : & m \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} & = - k (x_{1} - x_{0}) & + k (x_{2} - x_{1}) \\ 2 番 目 & : & m \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}} & = - k (x_{2} - x_{1}) & + k (x_{3} - x_{2}) \\ 3 番 目 & : & m \frac{d^{2} x_{3}}{d t^{2}} & = - k (x_{3} - x_{2}) & + k (x_{4} - x_{3}) \\ ⋮ & ⋮ \\ N - 1 番 目 & : & m \frac{d^{2} x_{N - 1}}{d t^{2}} & = - k (x_{N - 1} - x_{N - 2}) & + k (x_{N} - x_{N - 1}) \\ N 番 目 & : & m \frac{d^{2} x_{N}}{d t^{2}} & = - k (x_{N} - x_{N - 1}) & + k (x_{N + 1} - x_{N}) \end{aligned}

$n$ $x_n$ については

\begin{matrix} m \frac{d^{2} x_{n}}{d t^{2}} = - k (x_{n} - x_{n - 1}) + k (x_{n + 1} - x_{n}) \end{matrix}

$N$ 番目までのおもりをひとまとめにして記述した運動方程式は

\begin{aligned} (6) & m \frac{d^{2} x_{n}}{d t^{2}} & = - k (2 x_{n} - x_{n - 1} - x_{n + 1}) (n = 1, . . ., N) \\ (付 帯 条 件 : x_{0} (t) = 0, x_{N + 1} (t) = 0) \end{aligned}

となる.

基準振動 (モード) の導出

固有振動数の形を求める

前回, 全てのおもりが同じ角振動数で振動している場合の振動を基準振動と呼ぶことを紹介した.

$m$ $k$ にしたことにより, 各おもりの変位に偏りがなくなっている. すなわち, どれか特定の重りだけが大きく振動しやすい, といったようなことは発生しない.

したがって, 今回の系における基準振動の概形は偏りのないキレイな形 (両端は壁に固定) になると予想できる.

そこで, 前回やった2個のおもりの場合の基準振動を元に, 今回の系における基準振動の概形を予想していく.

2個のおもりの場合 (前回の系)

前回やった2個のおもりの場合の基準振動は,

\begin{aligned} モ ー ド 1 & : & x_{1} & = A^{'} \cos (ω_{1} t + ϕ^{'}), & x_{2} & = A^{'} \cos (ω_{1} t + ϕ^{'}) & (A^{'}, ϕ^{'} : 任 意 定 数) \\ モ ー ド 2 & : & x_{1} & = A^{″} \cos (ω_{2} t + ϕ^{″}), & x_{2} & = - A^{″} \cos (ω_{2} t + ϕ^{″}) & (A^{″}, ϕ^{″} : 任 意 定 数) \end{aligned}

と書くことができ, 下図のようなキレイな形だった.

$k$ $k'$ $\omega_1 = \sqrt{\frac{k}{m}},~~\omega_2 = \sqrt{\frac{k + 2k'}{m}}$ $k$ $k'$ で別物にしても, 基準振動の概形には影響しない

モード	結果	アニメ
1
2

$x_n$ をプロットする図を考えてみる. 実際にプロットしたものが下図である.

モード	結果	アニメ
1
2

基準振動の概形 $\sin$ 形 (モード1は山が1つ, モード2は山が2つ) となっている.

N個のおもりの場合

$x_n$ $j$ $\sin$ 形になる, と予想する.

$n = (0,)~ 1, \cdots, N ~(,N+1)$ $j$ と書いているので, 混同しないように注意.

spring-N-An

$x_n^{(j)}$ も, 2個のおもりの際と同様に

\begin{aligned} (7) & x_{n}^{(j)} & = A_{n}^{(j)} \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) (n = 0, \dots, N + 1. ϕ^{(j)} : 任 意 定 数) \\ (付 帯 条 件 : x_{0}^{(j)} (t) = 0, x_{N + 1}^{(j)} (t) = 0) \\ (8) & \leftrightarrow & (付 帯 条 件 : A_{0}^{(j)} = 0, A_{N + 1}^{(j)} = 0) \end{aligned}

$\eqref{eom}$ $m \frac{d^2 x_{n}}{dt^2} = - k (2 x_{n} - x_{n-1} - x_{n+1}) ~~~~(n = 1, \cdots, N) \\$ に代入すると,

\begin{aligned} m \frac{d^{2}}{d t^{2}} (A_{n}^{(j)} \cos (ω_{j} t + ϕ_{j})) & = - k (2 (A_{n}^{(j)} \cos (ω_{j} t + ϕ_{j})) - (A_{n - 1}^{(j)} \cos (ω_{j} t + ϕ_{j})) - (A_{n + 1}^{(j)} \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}))) \\ \leftrightarrow - m ω_{j}^{2} A_{n}^{(j)} \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) & = - k (2 A_{n}^{(j)} - A_{n - 1}^{(j)} - A_{n + 1}^{(j)}) \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) \\ (9) & \leftrightarrow ∴ - m ω_{j}^{2} A_{n}^{(j)} & = - k (2 A_{n}^{(j)} - A_{n - 1}^{(j)} - A_{n + 1}^{(j)}) \end{aligned}

$\eqref{An}$ $A_n^{(j)}$ $j$ $\sin$ 形と予想しているため,

\begin{matrix} (10) & A_{n}^{(j)} = A^{(j)} \sin (p_{j} n + θ) (θ : 任 意 定 数, p_{j} は 基 準 振 動 ご と に 決 ま る 定 数) \end{matrix}

$\eqref{An}$ に代入すると,

\begin{aligned} - m ω_{j}^{2} A_{n}^{(j)} & = - k (2 A_{n}^{(j)} - A_{n - 1}^{(j)} - A_{n + 1}^{(j)}) \\ ↕ \\ - m ω_{j}^{2} A^{(j)} \sin (p_{j} n + θ) & = - k (2 A^{(j)} \sin (p_{j} n + θ) - A^{(j)} \sin (p_{j} (n - 1) + θ) - A^{(j)} \sin (p_{j} (n + 1) + θ)) \\ = - k A^{(j)} (2 \sin (p_{j} n + θ) - \sin (p_{j} (n - 1) + θ) - \sin (p_{j} (n + 1) + θ)) \\ ↓ \sin の 和 積 の 公 式 : \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2} \\ = - k A^{(j)} (2 \sin (p_{j} n + θ) - 2 \sin \frac{(p_{j} (n - 1) + θ) + (p_{j} (n + 1) + θ)}{2} \cos \frac{(p_{j} (n - 1) + θ) - (p_{j} (n + 1) + θ)}{2}) \\ = - k A^{(j)} (2 \sin (p_{j} n + θ) - 2 \sin (p_{j} n + θ) \cos p_{j}) \\ = - 2 k A^{(j)} (1 - \cos p_{j}) \sin (p_{j} n + θ) \\ = - 2 k A^{(j)} (\cos 0 - \cos p_{j}) \sin (p_{j} n + θ) \\ ↓ \cos の 和 積 の 公 式 : \cos x - \cos y = - 2 \sin \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2} \\ = - 2 k A^{(j)} (- 2 \sin \frac{0 + p_{j}}{2} \sin \frac{0 - p_{j}}{2}) \sin (p_{j} n + θ) \\ = - 2 k A^{(j)} (2 \sin \frac{p_{j}}{2} \sin \frac{p_{j}}{2}) \sin (p_{j} n + θ) \\ = - 4 k A^{(j)} \sin^{2} \frac{p_{j}}{2} \sin (p_{j} n + θ) \\ \leftrightarrow m ω_{j}^{2} & = 4 k \sin^{2} \frac{p_{j}}{2} \\ \leftrightarrow ω_{j}^{2} & = 4 \frac{k}{m} \sin^{2} \frac{p_{j}}{2} \\ \leftrightarrow ω_{j} & = \pm 2 \sqrt{\frac{k}{m}} \sin \frac{p_{j}}{2} \end{aligned}

となる.

$x_n$ $\eqref{xn-guess}$ $x_{n}^{(j)} = A_{n}^{(j)} \cos ( \omega_j t + \phi_j )$ $\cos$ $\phi_j$ $\omega_j$ は正の場合だけを考えればよく,

\begin{matrix} (11) & ω_{j} = 2 \sqrt{\frac{k}{m}} \sin \frac{p_{j}}{2} \end{matrix}

となる.

$\omega_j$ $p_j$ を具体的に求めていく.

$p_j$ を求める

境界条件 (付帯条件) を考える.

$A_0^{(j)} = 0$ の場合 (左の壁)

$A_n^{(j)}$ $\eqref{An-shape}$ $A_n^{(j)} = A^{(j)} \sin (p_j n + \theta)$ より,

\begin{aligned} A_{0}^{(j)} & = A^{(j)} \sin θ \\ ↓ (∵ 境 界 条 件 (8) : A_{0}^{(j)} = 0) \\ 0 & = A^{(j)} \sin θ \end{aligned}

$A^{(j)}=0$ $\theta = 0, \pi$ $A^{(j)}$ $\theta = \pi$ $\theta = 0$ と同じなので, 結局,

\begin{matrix} (12) & θ = 0 \end{matrix}

となる.

$A_{N+1}^{(j)} = 0$ の場合 (右の壁)

$A_n^{(j)}$ $\eqref{An-shape}$ $A_n^{(j)} = A^{(j)} \sin (p_j n + \theta)$ より,

\begin{aligned} A_{N + 1}^{(j)} & = A^{(j)} \sin (p_{j} (N + 1) + θ) \\ = A^{(j)} \sin (p_{j} (N + 1)) (∵ 式 (12)) \\ ↓ (∵ 境 界 条 件 (8) : A_{N + 1}^{(j)} = 0) \\ 0 & = A^{(j)} \sin (p_{j} (N + 1)) \end{aligned}

$A^{(j)}=0$ という無振動な場合を除けば

\begin{aligned} p_{j} (N + 1) & = j π (j \in 整 数) \\ \leftrightarrow p_{j} & = \frac{j}{N + 1} π (j \in 整 数) \end{aligned}

$p_j$ が求まった.

$j$ は実際に整数個分だけバリエーションがあるわけではなく, 実質的な範囲がある.

$j$ の実質的な範囲を求めてみる.

$j$ の実質的な範囲

$j$ $1, \cdots , N$ だと予想して, その周辺

$j<0$ : 確認
$j=0$ : 確認
$1 \le j \le N$ $j$ の実質的な範囲?)
$j=N+1$ : 確認
$j=N+2$ : 確認
$j=N+3$ : 確認

を実際に確認してみる.

$j < 0$ の場合

$A_n^{(j)}$ $\eqref{An-shape}$ $A_n^{(j)} = A^{(j)} \sin (p_j n + \theta)$ $\theta=0$ $A_n^{(j)} = A^{(j)} \sin (p_j n) = A^{(j)} \sin (\frac{j}{N+1} \pi n)$ .

$p_j < 0$ なので,

\begin{matrix} A_{n}^{(j)} = - A^{(j)} \sin (| p_{j} | n) \end{matrix}

なり, $j>0$ の場合の正負が反転した場合に対応する.

$j = 0$ の場合

$p_0 = 0$ $A_n^{(j)} = A^{(j)} \sin (p_j n) = A^{(j)} \sin (\frac{j}{N+1} \pi n)$ から

\begin{aligned} A_{n}^{(j)} & = A^{(j)} \sin 0 \\ = 0 \end{aligned}

となり, 無振動で無意味な解となる.

$j = N+1$ の場合

$p_{N+1} = \pi$ $A_n^{(j)} = A^{(j)} \sin (p_j n) = A^{(j)} \sin (\frac{j}{N+1} \pi n)$ から

\begin{aligned} A_{n}^{(j)} & = A^{(j)} \sin n π \\ = 0 \end{aligned}

となり, 無振動で無意味な解となる.

$j = N+2$ の場合

\begin{matrix} p_{N + 2} = \frac{N + 2}{N + 1} π = \frac{2 N + 2 - N}{N + 1} π = \frac{2 (N + 1)}{N + 1} π - \frac{N}{N + 1} π = 2 π - \frac{N}{N + 1} π \end{matrix}

$A_n^{(j)} = A^{(j)} \sin (p_j n) = A^{(j)} \sin (\frac{j}{N+1} \pi n)$ から

\begin{aligned} A_{n}^{(j)} & = A^{(j)} \sin (2 π n - \frac{N}{N + 1} π n) \\ = - A^{(j)} \sin \frac{N}{N + 1} π n \\ = - A^{(j)} \sin \frac{N}{N + 1} π n \end{aligned}

となり, $j=N$ の場合の正負が反転した場合に対応する.

$j = N+3$ の場合

\begin{matrix} p_{N + 3} = \frac{N + 3}{N + 1} π = \frac{2 N + 2 - N + 1}{N + 1} π = \frac{2 (N + 1)}{N + 1} π - \frac{N - 1}{N + 1} π = 2 π - \frac{N - 1}{N + 1} π \end{matrix}

$A_n^{(j)} = A^{(j)} \sin (p_j n) = A^{(j)} \sin (\frac{j}{N+1} \pi n)$ から

\begin{aligned} A_{n}^{(j)} & = A^{(j)} \sin (2 π n - \frac{N - 1}{N + 1} π n) \\ = - A^{(j)} \sin \frac{N - 1}{N + 1} π n \end{aligned}

となり, $j=N-1$ の場合の正負が反転した場合に対応する.

$1 \le j \le N$ の範囲に実質的に収まり,

\begin{matrix} (13) & p_{j} = \frac{j}{N + 1} π (j = 1, . . ., N) \end{matrix}

となることがわかる.

j-region

$j$ $p_j$ の具体的な表式も求まった.

$p_j$ $j$ 番目の基準振動の概形として波形がいくつの山 (谷) を持っているか」に関係しているため, 波数と呼ばれる.

基準振動の固有振動数と振幅 (概形)

$p_j$ $\eqref{pj}$ $p_j = \frac{j}{N+1} \pi$ $j$ $\omega_j$ $\eqref{bunsan0}$ $\omega_j= 2 \sqrt{\frac{k}{m}}\sin \frac{p_j}{2}$ は,

固有振動数

\begin{matrix} ω_{j} = 2 \sqrt{\frac{k}{m}} \sin \frac{j}{2 (N + 1)} π (j = 1, \dots, N) \end{matrix}

と導出できた.

$A_n^{(j)}$ $\eqref{An-shape}$ $A_{n}^{(j)} = A^{(j)} \sin (p_j n + \theta)$ $j$ 番目の基準振動の振幅 (概形) が

基準振動の振幅 (概形)

\begin{matrix} A_{n}^{(j)} = A^{(j)} \sin \frac{j}{N + 1} π n (j = 1, \dots, N . n = 1, \dots, N) \end{matrix}

と導出できた.

$L$ $\frac{L}{N+1}$ $u_n$ は

\begin{matrix} u_{n} = \frac{L}{N + 1} n \end{matrix}

なので,

\begin{aligned} A_{n}^{(j)} & = A^{(j)} \sin \frac{j}{N + 1} π n \\ = A^{(j)} \sin \frac{j}{L} \frac{L}{N + 1} n π \\ = A^{(j)} \sin \frac{j}{L} u_{n} π \\ = A^{(j)} \sin \frac{j π}{L} u_{n} \end{aligned}

と書ける.

$N \to \infty$ $A_{n}^{(j)}$ $u$ の連続関数のように考えることができ,

\begin{matrix} A_{n}^{(j)} = A^{(j)} \sin \frac{j π}{L} u \end{matrix}

$\frac{j \pi}{L} u = 2 \pi$ $\frac{2L}{j}$ $A^{(j)}$ $\sin$ $\sin$ 関数が前述の2個のおもりの図における緑の包絡線に相当する:

モード1 モード2

$N=5$ $A_{n}^{(j)}$ をプロットしたものが下図である.

実質的な範囲内か?	$j$	図
範囲外 (モード1の反転)	-1
範囲外 (各おもりは無振動)	0
範囲内	1
範囲内	2
範囲内	3
範囲内	4
範囲内	5
範囲外 (各おもりは無振動)	6
範囲外 (モード5の反転)	7

基準振動 (まとめ)

$\omega_j$ $A_n^{(j)}$ $\eqref{xn-guess}$ $x_n^{(j)} = A_{n}^{(j)} \cos ( \omega_j t + \phi_j )$ を用いて

$j$ (何番目の基準振動か?)	$n$ $x_n^{(j)}$	$\omega_j$	$A_n^{(j)}$
1	$x_n^{(1)} (t) = A_{n}^{(1)} \cos (\omega_1 t + \phi_1)$	$\omega_1 = 2 \sqrt{\frac{k}{m}} \sin \frac{1}{2 (N+1)} \pi$	$A_{n}^{(1)} = A^{(1)} \sin \frac{1}{N+1} \pi n$
2	$x_n^{(2)} (t) = A_{n}^{(2)} \cos (\omega_2 t + \phi_2)$	$\omega_2 = 2 \sqrt{\frac{k}{m}} \sin \frac{2}{2 (N+1)} \pi$	$A_{n}^{(2)} = A^{(2)} \sin \frac{2}{N+1} \pi n$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
N	$x_n^{(N)} (t) = A_{n}^{(N)} \cos (\omega_N t + \phi_N)$	$\omega_N = 2 \sqrt{\frac{k}{m}} \sin \frac{N}{2 (N+1)} \pi$	$A_{n}^{(N)} = A^{(N)} \sin \frac{N}{N+1} \pi n$

と書ける.

一般解

$x_n$ $x_n^{(j)}$ を重ね合わせたもので

\begin{aligned} x_{n} (t) & = \sum_{j = 1}^{N} x_{n}^{(j)} (t) \\ = \sum_{j = 1}^{N} A_{n}^{(j)} \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) \\ (14) & = \sum_{j = 1}^{N} A^{(j)} \sin (\frac{j}{N + 1} π n) \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) \\ (任 意 定 数 : A^{(j)}, ϕ_{j}) \end{aligned}

となる.

$2N$ $A^{(j)},~\phi_j ~~~~ \leftrightarrow ~~~~ A^{(1)},~A^{(2)},~...,~A^{(N)},~\phi_1,~\phi_2,...,~\phi_N$
$2N$ $x_n,~ \frac{dx_n}{dt} ~~~~\leftrightarrow~~~~ x_1,~x_2,~...,~x_N,~\frac{dx_1}{dt},~\frac{dx_2}{dt},...,~\frac{dx_N}{dt}$ の初期値を与えれば決定される.

$x_n^{(j)} (t)$ $\eqref{eom}$ の特殊解を推察によって求めたことに相当する.

$\eqref{eom}$ $m \frac{d^2 x_{n}}{dt^2} = - k (2 x_{n} - x_{n-1} - x_{n+1})$ $\eqref{solution2}$ $\eqref{eom}$ $2N$ $\eqref{solution2}$ が一般解であることを示す.

したがって, 改めて一般解を書くと

一般解

\begin{aligned} (15) & x_{n} (t) & = \sum_{j = 1}^{N} A^{(j)} \sin (\frac{j}{N + 1} π n) \cos (ω_{j} t + ϕ_{j}) \\ (ω_{j} = 2 \sqrt{\frac{k}{m}} \sin \frac{j}{2 (N + 1)} π (j = 1, . . ., N)) \\ (任 意 定 数 : A^{(j)}, ϕ_{j}) \end{aligned}

となる.

$N = 5$ $n = 1$ $A^{(j)}=1,~\phi_j=0$ ) をプロットしたものが下図である.

oscillations-with-spring_solution_N5_n1_k1_m1

アニメにしたものが下図:

animation_N-osc_lateral-representation_general_N5_A1-0-0-0-0.mov

$N$	$A^{(j)},~\phi_j$	結果	アニメ
5	$A^{(j)}=[1,0,0,0,0]$ $\phi_j=0$
5	$A^{(j)}=[0,1,0,0,0]$ $\phi_j=0$
5	$A^{(j)}=[0,0,1,0,0]$ $\phi_j=0$
5	$A^{(j)}=[0,0,0,1,0]$ $\phi_j=0$
5	$A^{(j)}=[0,0,0,0,1]$ $\phi_j=0$
5	$A^{(j)}=[1,0,0,0,0.3]$ $\phi_j=0$
5	$A^{(j)}=[1,1,1,1,1]$ $\phi_j=0$
10	$A^{(j)}=1$ $\phi_j=0$