2024-05-15 2024-05-13
復習問題

振動波動論第5回復習問題

振動波動論第5回復習問題実施・提出期間問題連成振動 2個 (基準振動からの類推)連成振動 2個 (基準座標)まとめ解答連成振動 2個 (基準振動からの類推)各おもりにかかる力を図示せよ各おもりの運動方程式を記述せよ $k_1 = k ,~ k_2 = k' ,~ k_3 = k$ となる場合を考える. この場合の問2の運動方程式を書き直せこの系には2つの基準振動がある. その2種類の振動数 $\omega_1, \omega_2$ を求めよ. 2つの基準振動解を導出せよ $\omega = \omega_1$ $\omega = \omega_2$ この系の一般解を導出せよ連成振動 2個 (基準座標)未定定数 $p$ を用いて, $式(\ref{eom1}) + p \times 式 (\ref{eom2})$ を計算した時, その $p$ が満たすべき値を求めよ. 問1で求めた各 $p$ に対応する運動方程式を $q_1, q_2$ という変数を用いて記述せよ. $q_1, q_2$ についての一般解を求めよ. 元の座標系 $x_1, x_2$ についての一般解を求めよ.

実施・提出期間

締切: 2024/05/22 (水) 13:30 までに, 下記の問題を実施し, 提出してください.

注意事項

手書きで計算したものを1つのpdfにまとめて提出してください
- 紙に直筆したものを写真 or スキャンする場合は, 中身がハッキリ読めることを確認してください
- タブレット等を用いて電子的に手書きするのもOKです
- 画像ファイルをそのまま何枚も提出したり, zipにまとめて提出したものは受取不可とします
授業資料の解答を丸写しするのではなく, 授業内容を思い出しながら自分の手で計算するようにしてください
授業直後に復習することはもちろん素晴らしいです!! その後, なるべく数日空けてから再学習として本課題を実施し, 提出することを是非試してみてください.

問題

連成振動 2個 (基準振動からの類推)

$m$ $k_1$ $k_2$ $k_3$ $x_1$ $x_2$ とする.

2-balls_3-springs

各おもりにかかる力を図示せよ
各おもりの運動方程式を記述せよ
$k_1 = k ,~ k_2 = k' ,~ k_3 = k$ として, 問2の運動方程式を書き直せ
$\omega_1, \omega_2$ を求めよ.
2つの基準振動解を導出せよ
この系の一般解を導出せよ

連成振動 2個 (基準座標)

$m$ $k_1$ $k_2$ $k_3$ $k_1 = k ,~ k_2 = k' ,~ k_3 = k$ $x_1$ $x_2$ とする.

2-balls_3-springs_solution

この場合の運動方程式は

\begin{array}{r} (1) & m \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} = - k x_{1} + k^{'} (x_{2} - x_{1}) \\ (2) & m \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}} = - k x_{2} - k^{'} (x_{2} - x_{1}) \end{array}

となる.

$p$ $式(\ref{eom01}) + p \times 式 (\ref{eom02})$ $p$ が満たすべき値を求めよ.
$p$ $q_1, q_2$ という変数を用いて記述せよ.
$q_1, q_2$ についての一般解を求めよ.
$x_1, x_2$ についての一般解を求めよ.

まとめ

今回の授業内容を100文字以上で自分なりにまとめてください. ただし, 写経のように丸写しすることだけはやめてください.

解答

連成振動 2個 (基準振動からの類推)

$m$ $k_1$ $k_2$ $k_3$ $x_1$ $x_2$ とする.

2-balls_3-springs

各おもりにかかる力を図示せよ

2-balls_3-springs_solution

$x_2 - x_1$ だけ伸び縮みするため, その分が真ん中のバネによる力となる.

各おもりの運動方程式を記述せよ

各おもりの運動方程式は

\begin{matrix} (3) & \begin{array}{r} m \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} = - k_{1} x_{1} + k_{2} (x_{2} - x_{1}) \\ m \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}} = - k_{3} x_{2} - k_{2} (x_{2} - x_{1}) \end{array} \end{matrix}

となる.

$k_1 = k ,~ k_2 = k' ,~ k_3 = k$ となる場合を考える. この場合の問2の運動方程式を書き直せ

簡単のために,

\begin{matrix} k_{1} = k, k_{2} = k^{'}, k_{3} = k \end{matrix}

という場合の系を考える. この場合の運動方程式は

\begin{array}{r} (4) & m \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} = - k x_{1} + k^{'} (x_{2} - x_{1}) \\ (5) & m \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}} = - k x_{2} - k^{'} (x_{2} - x_{1}) \end{array}

となる.

$\omega_1, \omega_2$ を求めよ.

$\omega$ で振動することもありうる. 相互作用項がなければ各々は単振動の運動方程式であることから, 試しに,

\begin{matrix} (6) & \begin{matrix} x_{1} = A_{1} \cos (ω t + ϕ) \\ x_{2} = A_{2} \cos (ω t + ϕ) \\ (A_{1}, A_{2}, ϕ : 任 意 定 数) \end{matrix} \end{matrix}

$A_1$ $A_2$ $\omega$ $\phi$ を決めることができるかどうかを考えてみる.

$\ref{eom_1-1}$ $\ref{eom_1-2}$ ) に代入すると,

\begin{aligned} m \frac{d^{2}}{d t^{2}} (A_{1} \cos (ω t + ϕ)) & = - k A_{1} \cos (ω t + ϕ) + k^{'} (A_{2} \cos (ω t + ϕ) - A_{1} \cos (ω t + ϕ)) \\ m \frac{d^{2}}{d t^{2}} (A_{2} \cos (ω t + ϕ)) & = - k A_{2} \cos (ω t + ϕ) - k^{'} (A_{2} \cos (ω t + ϕ) - A_{1} \cos (ω t + ϕ)) \\ ↕ \\ - m ω^{2} A_{1} \cos (ω t + ϕ) & + k A_{1} \cos (ω t + ϕ) - k^{'} A_{2} \cos (ω t + ϕ) + k^{'} A_{1} \cos (ω t + ϕ) = 0 \\ - m ω^{2} A_{2} \cos (ω t + ϕ) & + k A_{2} \cos (ω t + ϕ) + k^{'} A_{2} \cos (ω t + ϕ) - k^{'} A_{1} \cos (ω t + ϕ) = 0 \\ ↕ \\ (7) & (m ω^{2} & - k - k^{'}) A_{1} + k^{'} A_{2} = 0 \\ (8) & k^{'} A_{1} & + (m ω^{2} - k - k^{'}) A_{2} = 0 \end{aligned}

となる.

$\ref{eom-condition-1}$ $\ref{eom-condition-2}$ $A_1$ $A_2$ についての連立方程式と考える. 式を書き直すと

\begin{matrix} \begin{matrix} (\begin{array}{cc} m ω^{2} - k - k^{'} & k^{'} \\ k^{'} & m ω^{2} - k - k^{'} \end{array}) (\begin{array}{cc} A_{1} \\ A_{2} \end{array}) = 0 \end{matrix} \end{matrix}

$A_1=A_2=0$ , 無振動の解) を除けば,

\begin{matrix} \begin{matrix} | \begin{array}{cc} m ω^{2} - k - k^{'} & k^{'} \\ k^{'} & m ω^{2} - k - k^{'} \end{array} | = 0 \end{matrix} \end{matrix}

である必要がある. したがって,

\begin{matrix} (m ω^{2} - k - k^{'})^{2} - k^{' 2} = 0 \end{matrix}

となり,

\begin{matrix} \begin{matrix} (m ω^{2} - k - k^{'} + k^{'}) (m ω^{2} - k - k^{'} - k^{'}) = 0 \\ \leftrightarrow (m ω^{2} - k) (m ω^{2} - k - 2 k^{'}) = 0 \end{matrix} \end{matrix}

$\omega$ は2種類の値をもち,

\begin{matrix} \begin{matrix} ω_{1} = \pm \sqrt{\frac{k}{m}} \\ ω_{2} = \pm \sqrt{\frac{k + 2 k^{'}}{m}} \end{matrix} \end{matrix}

$\ref{solution-possiblity}$ $\phi$ $\omega$ の正負は無視してよく,

\begin{matrix} (9) & \begin{matrix} ω_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}} \\ ω_{2} = \sqrt{\frac{k + 2 k^{'}}{m}} \end{matrix} \end{matrix}

となる.

$\omega$ $\ref{omega}$ $\ref{solution-possiblity}$ ) は実際に今回の系の解となりうる.

2つの基準振動解を導出せよ

実際に各振動数の場合を見てみる.

$\omega = \omega_1$

$\omega_1 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ $\ref{eom-condition-1}$ ) から,

\begin{matrix} \begin{matrix} (m \frac{k}{m} - k - k^{'}) A_{1} + k^{'} A_{2} = 0 \\ \leftrightarrow A_{1} = A_{2} \end{matrix} \end{matrix}

$A_1, A_2, \phi$ を

\begin{matrix} \begin{matrix} A_{1} = A_{2} \equiv A^{'} \\ ϕ \equiv ϕ^{'} \end{matrix} \end{matrix}

$\ref{solution-possiblity}$ ) は

\begin{matrix} (10) & \begin{matrix} x_{1} = A^{'} \cos (ω_{1} t + ϕ^{'}) \\ x_{2} = A^{'} \cos (ω_{1} t + ϕ^{'}) \\ (A^{'}, ϕ^{'} : 任 意 定 数) \end{matrix} \end{matrix}

となる.

$x_1, x_2$ ) はそれぞれ同じように振動する.

2-balls-3-springs_motion_omega1

$\omega = \omega_2$

$\omega_2 = \sqrt{\frac{k+2k'}{m}}$ $\ref{eom-condition-2}$ ) から,

\begin{matrix} \begin{matrix} k^{'} A_{1} + (m \frac{k + 2 k^{'}}{m} - k - k^{'}) A_{2} = 0 \\ \leftrightarrow A_{1} = - A_{2} \end{matrix} \end{matrix}

$A_1, A_2, \phi$ を

\begin{matrix} \begin{matrix} A_{1} = - A_{2} \equiv A^{″} \\ ϕ \equiv ϕ^{″} \end{matrix} \end{matrix}

$\ref{solution-possiblity}$ ) は

\begin{matrix} (11) & \begin{matrix} x_{1} = A^{″} \cos (ω_{2} t + ϕ^{″}) \\ x_{2} = - A^{″} \cos (ω_{2} t + ϕ^{″}) \\ (A^{″}, ϕ^{″} : 任 意 定 数) \end{matrix} \end{matrix}

となる.

$x_1, x_2$ ) は互いに逆向きに振動する.

2-balls-3-springs_motion_omega2

この系の一般解を導出せよ

$\ref{eom_1-1}$ $\ref{eom_1-2}$ ) :

\begin{matrix} \begin{matrix} m \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} = - k x_{1} + k^{'} (x_{2} - x_{1}) \\ m \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}} = - k x_{2} - k^{'} (x_{2} - x_{1}) \end{matrix} \end{matrix}

は線形な微分方程式なので, 解の重ね合わせが成り立つ.

実は, 2つの基準振動の解の重ね合わせが一般解

\begin{matrix} (12) & \begin{matrix} x_{1} (t) = A^{'} \cos (ω_{1} t + ϕ^{'}) + A^{″} \cos (ω_{2} t + ϕ^{″}) \\ x_{2} (t) = A^{'} \cos (ω_{1} t + ϕ^{'}) - A^{″} \cos (ω_{2} t + ϕ^{″}) \\ (A^{'}, A^{″}, ϕ^{'}, ϕ^{″} : 任 意 定 数) \end{matrix} \end{matrix}

となる.

$\ref{eom_1-1}$ $\ref{eom_1-2}$ $\ref{eom_1-1}$ $\ref{eom_1-2}$ $2 \times 2 = 4$ 個の任意定数を持つ必要があるが, この重ね合わせの解も計4つの任意定数を含む解である.

$\ref{solution-0}$ $\ref{eom_1-1}$ $\ref{eom_1-2}$ ) の一般解となる.

連成振動 2個 (基準座標)

$m$ $k_1$ $k_2$ $k_3$ $k_1 = k ,~ k_2 = k' ,~ k_3 = k$ $x_1$ $x_2$ とする.

2-balls_3-springs_solution

この場合の運動方程式は

\begin{array}{r} (13) & m \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} = - k x_{1} + k^{'} (x_{2} - x_{1}) \\ (14) & m \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}} = - k x_{2} - k^{'} (x_{2} - x_{1}) \end{array}

となる.

$p$ $式(\ref{eom1}) + p \times 式 (\ref{eom2})$ $p$ が満たすべき値を求めよ.

$\ref{eom1}$ $\ref{eom2}$ $p$ $式(\ref{eom1}) + p \times (\ref{eom2})$ を計算すると,

\begin{matrix} (15) & \begin{aligned} m (\frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} + p \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}}) & = - k (x_{1} + p x_{2}) + k^{'} (1 - p) (x_{2} - x_{1}) \\ \leftrightarrow m \frac{d^{2}}{d t^{2}} (x_{1} + p x_{2}) & = - k (x_{1} + p x_{2}) + k^{'} ((p - 1) x_{1} + (1 - p) x_{2}) \end{aligned} \end{matrix}

$p$ が

\begin{matrix} (16) & 1 : p = (p - 1) : (1 - p) \end{matrix}

を満たすようなものであったなら, 上式は

\begin{matrix} (17) & \begin{aligned} m \frac{d^{2}}{d t^{2}} (x_{1} + p x_{2}) & = - k (x_{1} + p x_{2}) + k^{'} (p - 1) (x_{1} + p x_{2}) \\ = - (k + k^{'} (1 - p)) (x_{1} + p x_{2}) \end{aligned} \end{matrix}

となる. ここで

\begin{matrix} (18) & \sqrt{2} q \equiv x_{1} + p x_{2} \end{matrix}

$q$ を定義する. この定義式で置き換えてやれば,

\begin{matrix} m \frac{d^{2} q}{d t^{2}} = - (k + k^{'} (1 - p)) q \end{matrix}

$p$ $\ref{p}$ ) から

\begin{matrix} \begin{matrix} p (p - 1) = (1 - p) \\ (p + 1) (p - 1) = 0 \\ p = \pm 1 \end{matrix} \end{matrix}

となる.

$p$ $q_1, q_2$ という変数を用いて記述せよ.

$p$ に対して,

\begin{matrix} (19) & \begin{aligned} p = 1 の 場 合 & : m \frac{d^{2}}{d t^{2}} (x_{1} + x_{2}) = - k (x_{1} + x_{2}) \\ p = - 1 の 場 合 & : m \frac{d^{2}}{d t^{2}} (x_{1} - x_{2}) = - (k + 2 k^{'}) (x_{1} - x_{2}) \end{aligned} \end{matrix}

$p$ を

\begin{aligned} (20) & p = 1 の 場 合 & : \sqrt{2} q_{1} \equiv x_{1} + x_{2} \\ (21) & p = - 1 の 場 合 & : \sqrt{2} q_{2} \equiv x_{1} - x_{2} \end{aligned}

とおけば,

\begin{matrix} (22) & \begin{aligned} p = 1 の 場 合 & : m \frac{d^{2} q_{1}}{d t^{2}} = - k q_{1} \\ p = - 1 の 場 合 & : m \frac{d^{2} q_{2}}{d t^{2}} = - (k + 2 k^{'}) q_{2} \end{aligned} \end{matrix}

となる.

$q_1, q_2$ についての一般解を求めよ.

上述の通り, これらは通常の単振動の運動方程式なので,

\begin{matrix} ω_{1}^{2} \equiv \frac{k}{m}, ω_{2}^{2} \equiv \frac{k + 2 k^{'}}{m} \end{matrix}

$q_1, q_2$ についての一般解は

\begin{matrix} (23) & \begin{matrix} q_{1} = A^{'} \cos (ω_{1} t + ϕ^{'}) \\ q_{2} = A^{″} \cos (ω_{2} t + ϕ^{″}) \\ (A^{'}, A^{″}, ϕ^{'}, ϕ^{″} : 任 意 定 数) \end{matrix} \end{matrix}

となる.

$x_1, x_2$ についての一般解を求めよ.

$\ref{q1}$ $\ref{q2}$ ) から

一般解 :

\begin{matrix} (24) & \begin{matrix} x_{1} = \frac{q_{1} + q_{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} A^{'} \cos (ω_{1} t + ϕ^{'}) + \frac{1}{\sqrt{2}} A^{″} \cos (ω_{2} t + ϕ^{″}) \\ x_{2} = \frac{q_{1} - q_{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} A^{'} \cos (ω_{1} t + ϕ^{'}) - \frac{1}{\sqrt{2}} A^{″} \cos (ω_{2} t + ϕ^{″}) \end{matrix} \end{matrix}

が導出できた.

振動波動論 第5回 復習問題

実施・提出期間

問題

連成振動 2個 (基準振動からの類推)

連成振動 2個 (基準座標)

まとめ

解答

連成振動 2個 (基準振動からの類推)

各おもりにかかる力を図示せよ

各おもりの運動方程式を記述せよ

k1=k, k2=k′, k3=kk_1 = k ,~ k_2 = k' ,~ k_3 = kとなる場合を考える. この場合の問2の運動方程式を書き直せ

この系には2つの基準振動がある. その2種類の振動数 ω1,ω2\omega_1, \omega_2を求めよ.

2つの基準振動解を導出せよ

ω=ω1\omega = \omega_1

ω=ω2\omega = \omega_2

この系の一般解を導出せよ

連成振動 2個 (基準座標)

未定定数pp を用いて, 式式式(13)+p×式(14)式(\ref{eom1}) + p \times 式 (\ref{eom2}) を計算した時, そのpp が満たすべき値を求めよ.

問1で求めた各 pp に対応する運動方程式を q1,q2q_1, q_2 という変数を用いて記述せよ.

q1,q2q_1, q_2 についての一般解を求めよ.

元の座標系 x1,x2x_1, x_2 についての一般解を求めよ.

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Keywords

復習問題

振動波動論第5回復習問題

$k_1 = k ,~ k_2 = k' ,~ k_3 = k$ となる場合を考える. この場合の問2の運動方程式を書き直せ

$\omega_1, \omega_2$ を求めよ.

$\omega = \omega_1$

$\omega = \omega_2$

$p$ $式(\ref{eom1}) + p \times 式 (\ref{eom2})$ $p$ が満たすべき値を求めよ.

$p$ $q_1, q_2$ という変数を用いて記述せよ.

$q_1, q_2$ についての一般解を求めよ.

$x_1, x_2$ についての一般解を求めよ.