振動波動論第5回

2024-05-15 2024-05-15
うなり, カオス, 二重振り子, 連成振動

（速度による抵抗がある場合）ωf = ω0の時には振幅は最大にはならないが、共鳴はするということですか？

はい, 共鳴自体はしています.

ReとImの使い分けがわからなかったです。

基本的には実部 (Re) を取ることが多いです.

ただし, 先週の例では, 計算の簡便さを目的として運動方程式を複素化しました. したがって, その複素化の取り方によって, 実部 (Re), 虚部 (Im) のどちらをとるべきかが決まります.

(1) 実部 (Re) の例

$F_0 \cos \omega_f t$ $f_0 e^{i \omega_f t} = f_0 ( \cos \omega_f t + i \sin \omega_f t )$ のようにオイラーの公式を生かした複素化をしたかったため,

$z = x + iy$ $x$ を取り出すために実部 (Re) を取りました.

(2) 虚部 (Im) の例

$F_0 \sin \omega_f t$ $f_0 e^{i \omega_f t} = f_0 ( \cos \omega_f t + i \sin \omega_f t )$ のようにオイラーの公式を生かした複素化をしたかったため,

$z = y + ix$ $x$ を取り出すために虚部 (Im) を取りました.

説明していることはなんとなくわかったが、どこを目指してなにをしているかがよくわからないことが多かった。

話が難しくて途中ぽかんとしてしまった

外力のある場合の運動 (余談. カオスとなる模型の紹介)

前回は, 外力が常にかかり続ける場合の振動現象を紹介した. ここでは, 外力が撃力である場合に, カオス現象が発生する例を紹介する.

1つは, 回転子模型 (KR: Kicked Rotator) :

\begin{matrix} \begin{matrix} H = \frac{p^{2}}{2} + K \cos (x + α) \sum_{j = - \infty}^{+ \infty} δ (t - j T) \\ (x \in R^{1}) \end{matrix} \end{matrix}

chaos_KR

である. さらに, その亜種として, 無限大ポテンシャルに挟まれた中において一定時間間隔でキックを受ける粒子模型 (KPIP: Kicked Particle in Infinite Potential) を例に挙げる.

これは, 「左右に壁に挟まれた中で往復するピンポン玉に対して, 一定時間間隔で撃力を与えるという模型」に相当する. 具体的なハミルトニアンは下記:

\begin{matrix} \begin{matrix} H = \frac{p^{2}}{2} + V_{0} (x) + K \cos (x + α) \sum_{j = - \infty}^{+ \infty} δ (t - j T) \\ (V_{0} (x) = \infty for 0, π) \\ (V_{0} (x) = 0 for elsewhere) \end{matrix} \end{matrix}

$x$ $p$ を縦軸にして, 撃力が当たった瞬間をplotしていくと, 下図のような蜘蛛の巣状を形成する. これをweb of chaosと呼ぶ.

連成振動 (自由度2の振動)

連成振動とは

ここまでの内容は, 孤立した1つの振動子についてであった. しかし現実には, 複数の振動子が相互作用しあうことで複雑な振動を引き起こすことが多い. そのような振動は連成振動と呼ばれる.

すなわち, 「2つ以上の振動子が何らかの機構で相互作用しながら行う振動」を連成振動と呼ぶ.

今回は連成振動の基礎である, 2つの振動子の場合を考える. この場合, それぞれの振動子がそれぞれ自由度を持っていることから, 自由度2の振動となる.

連成振動 (自由度2) の例

バネで繋がれた2つの振り子

2-pendulums-with-spring

片方の振り子だけ振動させるように始めると, その振動がやがてもう片方へと移り, その後, 自らに戻ってくるように振動する.

2重振り子

double-pendulum

微小振動のうちは解析的に解くことができるが, 振動角が大きくなるとカオス的 (予測不可能 [困難] 的) な振る舞いになる.

double-pendulum1

動画例1	動画例2

YouTube:
https://youtu.be/25feOUNQB2Y

バネで繋がれた2つのおもり

2-balls_3-springs_simple

最も基礎的な例の1つ.

その他として,

分子の振動
ねじれ+バネ振動
2重のねじれ振動 (1年次の基礎物理学実験)

なども例に挙げられる.

バネで繋がれた2つのおもりの縦振動 (解法1)

概要

$m$ $k_1$ $k_2$ $k_3$ $x_1$ $x_2$ とする.

2-balls_3-springs_solution

$x_2 - x_1$ だけ伸び縮みするため, その分が真ん中のバネによる力となる.

したがって, 各おもりの運動方程式は

\begin{array}{r} m \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} = - k_{1} x_{1} + k_{2} (x_{2} - x_{1}) \\ m \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}} = - k_{3} x_{2} - k_{2} (x_{2} - x_{1}) \end{array}

となる.

バネについては, 各ばね定数や各おもりの質量がバラバラであっても計算できるが, 煩雑になる. そこで今回は, 簡単のために,

\begin{matrix} k_{1} = k, k_{2} = k^{'}, k_{3} = k \end{matrix}

という場合 (両端に同じバネを使用) を考えることにする.

$k_1,~k_2,~k_3$ をそのままにして計算しても良い. ここではあくまで計算が面倒なので, 簡単なケースを考えるという意味.

すると, 運動方程式は

\begin{array}{r} (1) & m \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} = - k x_{1} + k^{'} (x_{2} - x_{1}) \\ (2) & m \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}} = - k x_{2} - k^{'} (x_{2} - x_{1}) \end{array}

$\eqref{eom_1-1}$ $\eqref{eom_1-2}$ は連立微分方程式となる.

基準振動の推察とそのふるまい

$\omega$ で振動することもありうると推察しよう. 相互作用項がなければ各々は単振動の運動方程式であることから, 試しに,

\begin{matrix} (3) & \begin{matrix} x_{1} = A_{1} \cos (ω t + ϕ) \\ x_{2} = A_{2} \cos (ω t + ϕ) \\ (A_{1}, A_{2}, ϕ : 任 意 定 数) \end{matrix} \end{matrix}

$A_1$ $A_2$ $\omega$ $\phi$ を決めることができるかどうかを考えてみる.

$\eqref{eom_1-1}$ $\eqref{eom_1-2}$ に代入すると,

\begin{aligned} m \frac{d^{2}}{d t^{2}} (A_{1} \cos (ω t + ϕ)) & = - k A_{1} \cos (ω t + ϕ) + k^{'} (A_{2} \cos (ω t + ϕ) - A_{1} \cos (ω t + ϕ)) \\ m \frac{d^{2}}{d t^{2}} (A_{2} \cos (ω t + ϕ)) & = - k A_{2} \cos (ω t + ϕ) - k^{'} (A_{2} \cos (ω t + ϕ) - A_{1} \cos (ω t + ϕ)) \\ ↕ \\ - m ω^{2} A_{1} \cos (ω t + ϕ) & + k A_{1} \cos (ω t + ϕ) - k^{'} A_{2} \cos (ω t + ϕ) + k^{'} A_{1} \cos (ω t + ϕ) = 0 \\ - m ω^{2} A_{2} \cos (ω t + ϕ) & + k A_{2} \cos (ω t + ϕ) + k^{'} A_{2} \cos (ω t + ϕ) - k^{'} A_{1} \cos (ω t + ϕ) = 0 \\ ↕ \\ (4) & (m ω^{2} & - k - k^{'}) A_{1} + k^{'} A_{2} = 0 \\ (5) & k^{'} A_{1} & + (m ω^{2} - k - k^{'}) A_{2} = 0 \end{aligned}

となる.

$\eqref{eom-condition-1}$ $\eqref{eom-condition-2}$ $A_1$ $A_2$ についての連立方程式と考える. 式を書き直すと

\begin{matrix} \begin{matrix} (\begin{array}{cc} m ω^{2} - k - k^{'} & k^{'} \\ k^{'} & m ω^{2} - k - k^{'} \end{array}) (\begin{array}{cc} A_{1} \\ A_{2} \end{array}) = 0 \end{matrix} \end{matrix}

$A_1=A_2=0$ : 振幅0の無振動解) を除けば, 行列式が

\begin{matrix} \begin{matrix} | \begin{array}{cc} m ω^{2} - k - k^{'} & k^{'} \\ k^{'} & m ω^{2} - k - k^{'} \end{array} | = 0 \end{matrix} \end{matrix}

である必要がある. したがって,

\begin{aligned} (m ω^{2} - k - k^{'})^{2} - k^{' 2} & = 0 \\ \leftrightarrow (m ω^{2} - k - k^{'} + k^{'}) (m ω^{2} - k - k^{'} - k^{'}) & = 0 \\ \leftrightarrow (m ω^{2} - k) (m ω^{2} - k - 2 k^{'}) & = 0 \end{aligned}

$\omega$ は大別して2種類の値をもち,

\begin{matrix} ω_{1} = \pm \sqrt{\frac{k}{m}}, ω_{2} = \pm \sqrt{\frac{k + 2 k^{'}}{m}} \end{matrix}

$\eqref{solution-possiblity}$ $\cos (\omega t + \phi)$ $\phi$ $\omega$ の正負は無視してよく, 実質的に

\begin{matrix} (6) & ω_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}}, ω_{2} = \sqrt{\frac{k + 2 k^{'}}{m}} \end{matrix}

となる.

$\omega$ $\eqref{omega}$ $\eqref{solution-possiblity}$ は実際に今回の系の解となりうる.

$\omega_1$ $\omega_2$ で振動する現象が起こりうるという意味である. このように, 2つ以上の連成振動子の全体が1つの振動数で振動する場合, その振動の様子を基準振動 (normal mode, モード) と呼ぶ.

実際に各振動数の場合を見てみよう.

$\omega = \omega_1$

$\omega_1 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ $\eqref{eom-condition-1}$ $(m \omega^2 - k - k' ) A_1+ k' A_2 = 0$ から,

\begin{aligned} (m ω_{1}^{2} - k - k^{'}) A_{1} + k^{'} A_{2} & = 0 \\ \leftrightarrow (m \frac{k}{m} - k - k^{'}) A_{1} + k^{'} A_{2} & = 0 \\ \leftrightarrow A_{1} & = A_{2} \end{aligned}

$A_1, A_2, \phi$ を

\begin{matrix} \begin{matrix} A_{1} = A_{2} \equiv A^{'} \\ ϕ \equiv ϕ^{'} \end{matrix} \end{matrix}

$\eqref{solution-possiblity}$ は

\begin{matrix} (7) & \begin{matrix} x_{1} = A^{'} \cos (ω_{1} t + ϕ^{'}) \\ x_{2} = A^{'} \cos (ω_{1} t + ϕ^{'}) \\ (A^{'}, ϕ^{'} : 任 意 定 数) \end{matrix} \end{matrix}

となる.

実際にプロットしたものが下図である.

2-oscillations-with-spring_omega1

結果	アニメ

$x_1, x_2$ ) はそれぞれ同じように振動する.

2-balls-3-springs_motion_omega1

$\omega = \omega_2$

$\omega_2 = \sqrt{\frac{k+2k'}{m}}$ $\eqref{eom-condition-2}$ $k' A_1 + (m \omega^2- k - k')A_2 = 0$ から,

\begin{aligned} k^{'} A_{1} + (m ω_{2}^{2} - k - k^{'}) A_{2} & = 0 \\ \leftrightarrow k^{'} A_{1} + (m \frac{k + 2 k^{'}}{m} - k - k^{'}) A_{2} & = 0 \\ \leftrightarrow A_{1} & = - A_{2} \end{aligned}

$A_1, A_2, \phi$ を

\begin{matrix} \begin{matrix} A_{1} = - A_{2} \equiv A^{″} \\ ϕ \equiv ϕ^{″} \end{matrix} \end{matrix}

$\eqref{solution-possiblity}$ は

\begin{matrix} (8) & \begin{matrix} x_{1} = A^{″} \cos (ω_{2} t + ϕ^{″}) \\ x_{2} = - A^{″} \cos (ω_{2} t + ϕ^{″}) \\ (A^{″}, ϕ^{″} : 任 意 定 数) \end{matrix} \end{matrix}

となる.

実際にプロットしたものが下図である.

2-oscillations-with-spring_omega2

結果	アニメ

$x_1, x_2$ ) は互いに逆向きに振動する.

2-balls-3-springs_motion_omega2

基準振動からの一般解の導出

$\eqref{eom_1-1}$ $\eqref{eom_1-2}$ :

\begin{matrix} \begin{matrix} m \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} = - k x_{1} + k^{'} (x_{2} - x_{1}) \\ m \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}} = - k x_{2} - k^{'} (x_{2} - x_{1}) \end{matrix} \end{matrix}

は線形な微分方程式なので, 解の重ね合わせが成り立つ.

実は, 2つの基準振動の解の重ね合わせが 一般解 :

\begin{matrix} (9) & \begin{matrix} x_{1} (t) = A^{'} \cos (ω_{1} t + ϕ^{'}) + A^{″} \cos (ω_{2} t + ϕ^{″}) \\ x_{2} (t) = A^{'} \cos (ω_{1} t + ϕ^{'}) - A^{″} \cos (ω_{2} t + ϕ^{″}) \\ (A^{'}, A^{″}, ϕ^{'}, ϕ^{″} : 任 意 定 数) \end{matrix} \end{matrix}

となる.

$\eqref{eom_1-1}$ $\eqref{eom_1-2}$ を満たす.

線形微分方程式と一般解の性質として, 「n階の線形微分方程式の一般解はn個の任意定数を含む」というものがある.

$\eqref{eom_1-1}$ $\eqref{eom_1-2}$ $2 \times 2 = 4$ 個の任意定数を持つ必要があるが, この重ね合わせの解も計4つの任意定数を含む解である.

$\eqref{solution}$ $\eqref{eom_1-1}$ $\eqref{eom_1-2}$ の一般解となる.

2-oscillations-with-spring_omega

結果	アニメ

初期条件を入れてふるまいを見る

片側のおもりだけ伸ばし, 両者ともに静止した状態からスタートする初期条件を考え, その振る舞いをみてみよう. すなわち,

\begin{matrix} t = 0 : x_{1} = a, x_{2} = 0, \frac{d x_{1}}{d t} = 0, \frac{d x_{2}}{d t} = 0 \end{matrix}

$\eqref{solution}$ とその1階微分に代入すると,

$\begin{matrix} \begin{matrix} x_{1} (t) = A^{'} \cos (ω_{1} t + ϕ^{'}) + A^{″} \cos (ω_{2} t + ϕ^{″}) \\ x_{2} (t) = A^{'} \cos (ω_{1} t + ϕ^{'}) - A^{″} \cos (ω_{2} t + ϕ^{″}) \end{matrix} \end{matrix}$

\begin{aligned} a = x_{1} (0) & = A^{'} \cos (0 + ϕ^{'}) + A^{″} \cos (0 + ϕ^{″}) \\ 0 = x_{2} (0) & = A^{'} \cos (0 + ϕ^{'}) - A^{″} \cos (0 + ϕ^{″}) \\ 0 = {\frac{d x_{1}}{d t} |}_{t = 0} & = - A^{'} ω_{1} \sin (0 + ϕ^{'}) - A^{″} ω_{2} \sin (0 + ϕ^{″}) \\ 0 = {\frac{d x_{2}}{d t} |}_{t = 0} & = - A^{'} ω_{1} \sin (0 + ϕ^{'}) + A^{″} ω_{2} \sin (0 + ϕ^{″}) \\ ↕ \\ (10) & a & = A^{'} \cos ϕ^{'} + A^{″} \cos ϕ^{″} \\ (11) & 0 & = A^{'} \cos ϕ^{'} - A^{″} \cos ϕ^{″} \\ (12) & 0 & = - A^{'} ω_{1} \sin ϕ^{'} - A^{″} ω_{2} \sin ϕ^{″} \\ (13) & 0 & = - A^{'} ω_{1} \sin ϕ^{'} + A^{″} ω_{2} \sin ϕ^{″} \end{aligned}

となる. したがって,

\begin{aligned} 式 (12) + 式 (13) & : 0 = - 2 A^{'} ω_{1} \sin ϕ^{'} \to ϕ^{'} = 0 \\ 式 (12) - 式 (13) & : 0 = - 2 A^{″} ω_{2} \sin ϕ^{″} \to ϕ^{″} = 0 \\ 式 (11) & : 0 = A^{'} \cos 0 - A^{″} \cos 0 \to A^{'} = A^{″} \\ 式 (10) & : a = A^{'} \cos 0 + A^{'} \cos 0 \to A^{'} = \frac{a}{2} \end{aligned}

となる. ゆえに

\begin{aligned} x_{1} (t) & = \frac{a}{2} (\cos ω_{1} t + \cos ω_{2} t) \\ x_{2} (t) & = \frac{a}{2} (\cos ω_{1} t - \cos ω_{2} t) \\ ↓ ∵ \cos の 和 積 の 公 式 1 : \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x - y}{2} \cos \frac{x + y}{2} \\ ↓ ∵ \cos の 和 積 の 公 式 2 : \cos x - \cos y = - 2 \sin \frac{x - y}{2} \sin \frac{x + y}{2} \\ x_{1} (t) & = a \cos \frac{ω_{1} - ω_{2}}{2} t \cos \frac{ω_{1} + ω_{2}}{2} t \\ x_{2} (t) & = - a \sin \frac{ω_{1} - ω_{2}}{2} t \sin \frac{ω_{1} + ω_{2}}{2} t \end{aligned}

$\omega_1$ $\omega_2$ $\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}$ $\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}$ で緩やかに振動することがわかる.

実際にプロットしたものが下図である.

2-oscillations-with-spring_initial-condition

結果	アニメ

図から, 細かい振動と緩やかな振動の共存が見て取れる. また,

$x_1$ $x_2$ が小さく振動し,
$x_1$ $x_2$ が大きく振動する

こともわかる. これは, 2つの振動子 (おもり) 同士でエネルギーをやり取りしていることを意味する.

基準座標と基準振動 (解法2)

概要と導入

ここまででは, バネで繋がれた2つのおもりの縦振動は基準振動の形を仮定して解いていった. ここからは他の系にも適用できる, より一般的な解法を考えていく.

先程と同じ系を考える.

2-balls_3-springs_solution

$k_1 = k ,~ k_2 = k' ,~ k_3 = k$ $\eqref{eom_1-1}, \eqref{eom_1-2}$

\begin{array}{r} (14) & m \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} = - k x_{1} + k^{'} (x_{2} - x_{1}) \\ (15) & m \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}} = - k x_{2} - k^{'} (x_{2} - x_{1}) \end{array}

となる.

$x_1$ $x_2$ について線形である (重ね合わせの原理が成り立つ) ことを利用する. すなわち,

$x_1$ $x_2$ の適当な1次結合を作って変数変換を行う
その変数変換によって, 新しい変数の組に対する方程式が互いに独立になるようにする.
新しい変数による2つの微分方程式を別々に解く
$x_1$ $x_2$ の解を求める

という手順である.

変数変換を用いて一般解を求める

$\eqref{eom1}$ $\eqref{eom2}$ $p$ $式\eqref{eom1} + p \times 式\eqref{eom2}$ を計算すると,

\begin{aligned} m (\frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} + p \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}}) & = - k (x_{1} + p x_{2}) + k^{'} (1 - p) (x_{2} - x_{1}) \\ \leftrightarrow m \frac{d^{2}}{d t^{2}} (x_{1} + p x_{2}) & = - k (x_{1} + p x_{2}) + k^{'} (p - 1) (x_{1} - x_{2}) \\ \leftrightarrow m \frac{d^{2}}{d t^{2}} (x_{1} + p x_{2}) & = - k (x_{1} + p x_{2}) + k^{'} (p - 1) (x_{1} - \frac{p - 1}{p - 1} x_{2}) \\ \leftrightarrow m \frac{d^{2}}{d t^{2}} (x_{1} + p x_{2}) & = - k (x_{1} + p x_{2}) + k^{'} (p - 1) (x_{1} + \frac{1 - p}{p - 1} x_{2}) \end{aligned}

となる.

$p$ の要件

$p$ が

\begin{matrix} (16) & 1 : p = 1 : \frac{1 - p}{p - 1} \leftrightarrow 1 : p = (p - 1) : (1 - p) \end{matrix}

を満たすようなものであったなら, 上式は

\begin{aligned} m \frac{d^{2}}{d t^{2}} (x_{1} + p x_{2}) & = - k (x_{1} + p x_{2}) + k^{'} (p - 1) (x_{1} + p x_{2}) \\ = - (k + k^{'} (1 - p)) (x_{1} + p x_{2}) \end{aligned}

となる. ここで

\begin{matrix} (17) & \sqrt{2} q \equiv x_{1} + p x_{2} \end{matrix}

$q$ $\sqrt{2}$ をつける意味については後に説明するが, 一般解を求めるだけであれば無くてもよい. この定義式で置き換えてやれば,

\begin{matrix} m \frac{d^{2} q}{d t^{2}} = - (k + k^{'} (1 - p)) q \end{matrix}

となり, 独立な単振動の式に帰着することができる.

$p$ と一般解の導出

$\eqref{p}$ $1 : p = (p-1) : (1-p)$ $p$ は,

\begin{aligned} p (p - 1) & = (1 - p) \\ (p + 1) (p - 1) & = 0 \\ p & = \pm 1 \end{aligned}

$p$ に対して,

\begin{aligned} m \frac{d^{2}}{d t^{2}} (x_{1} + p x_{2}) = - (k + k^{'} (1 - p)) (x_{1} + p x_{2}) \\ ↓ \\ p = + 1 の 場 合 & : m \frac{d^{2}}{d t^{2}} (x_{1} + x_{2}) = - k (x_{1} + x_{2}) \\ p = - 1 の 場 合 & : m \frac{d^{2}}{d t^{2}} (x_{1} - x_{2}) = - (k + 2 k^{'}) (x_{1} - x_{2}) \\ (18) & ↓ ∵ \sqrt{2} q_{1} \equiv x_{1} + x_{2} \\ (19) & ↓ ∵ \sqrt{2} q_{2} \equiv x_{1} - x_{2} \\ p = + 1 の 場 合 & : m \frac{d^{2} \sqrt{2} q_{1}}{d t^{2}} = - k \sqrt{2} q_{1} \\ p = - 1 の 場 合 & : m \frac{d^{2} \sqrt{2} q_{2}}{d t^{2}} = - (k + 2 k^{'}) \sqrt{2} q_{2} \\ ↓ \\ p = + 1 の 場 合 & : m \frac{d^{2} q_{1}}{d t^{2}} = - k q_{1} \\ p = - 1 の 場 合 & : m \frac{d^{2} q_{2}}{d t^{2}} = - (k + 2 k^{'}) q_{2} \end{aligned}

となる. 上述の通り, これらは通常の単振動の運動方程式なので,

\begin{matrix} ω_{1}^{2} \equiv \frac{k}{m}, ω_{2}^{2} \equiv \frac{k + 2 k^{'}}{m} \end{matrix}

$q_1, q_2$ についての一般解は

\begin{matrix} (20) & \begin{matrix} q_{1} = A^{'} \cos (ω_{1} t + ϕ^{'}) \\ q_{2} = A^{″} \cos (ω_{2} t + ϕ^{″}) \\ (A^{'}, A^{″}, ϕ^{'}, ϕ^{″} : 任 意 定 数) \end{matrix} \end{matrix}

$\eqref{q1}$ $\eqref{q2}$ から 一般解 :

\begin{matrix} (21) & \begin{matrix} x_{1} = \frac{q_{1} + q_{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} A^{'} \cos (ω_{1} t + ϕ^{'}) + \frac{1}{\sqrt{2}} A^{″} \cos (ω_{2} t + ϕ^{″}) \\ x_{2} = \frac{q_{1} - q_{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} A^{'} \cos (ω_{1} t + ϕ^{'}) - \frac{1}{\sqrt{2}} A^{″} \cos (ω_{2} t + ϕ^{″}) \end{matrix} \end{matrix}

が導出できた.

$\eqref{solution}$

$\begin{matrix} \begin{matrix} x_{1} (t) = A^{'} \cos (ω_{1} t + ϕ^{'}) + A^{″} \cos (ω_{2} t + ϕ^{″}) \\ x_{2} (t) = A^{'} \cos (ω_{1} t + ϕ^{'}) - A^{″} \cos (ω_{2} t + ϕ^{″}) \\ (A^{'}, A^{″}, ϕ^{'}, ϕ^{″} : 任意定数) \end{matrix} \end{matrix}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ $A'$ $A''$ を

\begin{matrix} A^{'} \to \sqrt{2} A^{'}, A^{″} \to \sqrt{2} A^{″} \end{matrix}

$A'$ $A''$ が任意定数であるがゆえに本質ではない.

$q_1, q_2$ 平面)

$\eqref{replacement_x-q}$ $\sqrt{2} q \equiv x_1 + p x_2$ $\eqref{q1}$ $\eqref{q2}$

$\begin{aligned} p = + 1 の場合 & : \sqrt{2} q_{1} \equiv x_{1} + x_{2} \\ p = - 1 の場合 & : \sqrt{2} q_{2} \equiv x_{1} - x_{2} \end{aligned}$

$\eqref{q1}$ $\eqref{q2}$ $q_1$ $q_2$ は

\begin{matrix} \begin{matrix} q_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} x_{1} + \frac{1}{\sqrt{2}} x_{2} = x_{1} \cos \frac{π}{4} + x_{2} \sin \frac{π}{4} \\ q_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} x_{1} - \frac{1}{\sqrt{2}} x_{2} = x_{1} \sin \frac{π}{4} - x_{2} \cos \frac{π}{4} \end{matrix} \end{matrix}

$x_1$ $x_2$ $q_1$ $q_2$ 軸に向かって射影を取った者同士の和 (差) を意味する.

x1-x2-q1-q2

$(q_1, q_2)$ $(x_1, x_2)$ $P$ $q_1, q_2$ $\eqref{q1q2}$

$\begin{matrix} \begin{matrix} q_{1} = A^{'} \cos (ω_{1} t + ϕ^{'}) \\ q_{2} = A^{″} \cos (ω_{2} t + ϕ^{″}) \end{matrix} \end{matrix}$

$P$ $q_1, q_2$ 軸に平行な矩形の中で運動する. ここで描かれるような, 直交する単振動を合成して得られる図形はリサジュー図形と呼ばれる.

実際に描かれる図形の例が下図である.

2-oscillations-with-spring_x1x2_w1p2pi_1.0_w2p2pi_1.0_w1w2ratio_1.0_phidd-phid_1.571

2-oscillations-with-spring_x1x2_w1p2pi_2.0_w2p2pi_1.0_w1w2ratio_2.0_phidd-phid_1.571

$\phi'' - \phi' = \pi / 2$ $\omega_1, \omega_2$ の有理数比の場合のリサジュー図形 (閉軌道).

$\omega_1, \omega_2$ が無理数比の場合は下図のように軌道は閉じず, 開軌道となる.

2-oscillations-with-spring_x1x2_w1p2pi_1.414_w2p2pi_1.0_w1w2ratio_1.414_phidd-phid_1.571

アニメにすると下図の通り:

変数変換の意味 (エネルギー)

次にエネルギーの観点から, この変数変換の意味を捉える.

元の運動方程式が

\begin{array}{r} m \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} = - k x_{1} + k^{'} (x_{2} - x_{1}) \\ m \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}} = - k x_{2} - k^{'} (x_{2} - x_{1}) \end{array}

$\frac{d x_1}{dt}$ $\frac{d x_2}{dt}$ をかけてエネルギー積分をしてやれば,

\begin{aligned} \int m \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} \frac{d x_{1}}{d t} d t + \int (k + k^{'}) x_{1} \frac{d x_{1}}{d t} d t - \int k^{'} x_{2} \frac{d x_{1}}{d t} d t & = (定 数) \\ \int m \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}} \frac{d x_{2}}{d t} d t + \int (k + k^{'}) x_{2} \frac{d x_{2}}{d t} d t - \int k^{'} x_{1} \frac{d x_{2}}{d t} d t & = (定 数) \\ ↕ \\ \frac{1}{2} m {(\frac{d x_{1}}{d t})}^{2} + \frac{1}{2} (k + k^{'}) x_{1}^{2} - \int k^{'} x_{2} \frac{d x_{1}}{d t} d t & = (定 数) \\ \frac{1}{2} m {(\frac{d x_{2}}{d t})}^{2} + \frac{1}{2} (k + k^{'}) x_{2}^{2} - \int k^{'} x_{1} \frac{d x_{2}}{d t} d t & = (定 数) \end{aligned}

両式を足し合わせて

\begin{aligned} \frac{1}{2} m {(\frac{d x_{1}}{d t})}^{2} + \frac{1}{2} m {(\frac{d x_{2}}{d t})}^{2} + \frac{1}{2} (k + k^{'}) x_{1}^{2} + \frac{1}{2} (k + k^{'}) x_{2}^{2} - k^{'} \int (x_{2} \frac{d x_{1}}{d t} + x_{1} \frac{d x_{2}}{d t}) d t & = (定 数) \\ \leftrightarrow \frac{1}{2} m {(\frac{d x_{1}}{d t})}^{2} + \frac{1}{2} m {(\frac{d x_{2}}{d t})}^{2} + \frac{1}{2} (k + k^{'}) x_{1}^{2} + \frac{1}{2} (k + k^{'}) x_{2}^{2} - k^{'} \int \frac{d}{d t} (x_{1} x_{2}) d t & = (定 数) \\ \leftrightarrow \frac{1}{2} m {(\frac{d x_{1}}{d t})}^{2} + \frac{1}{2} m {(\frac{d x_{2}}{d t})}^{2} + \frac{1}{2} (k + k^{'}) x_{1}^{2} + \frac{1}{2} (k + k^{'}) x_{2}^{2} - k^{'} x_{1} x_{2} & = (定 数) \end{aligned}

となる. したがって, 運動エネルギーと位置エネルギーは

\begin{aligned} (運 動 エ ネ ル ギ ー) & = \frac{1}{2} m {(\frac{d x_{1}}{d t})}^{2} + \frac{1}{2} m {(\frac{d x_{2}}{d t})}^{2} \\ (位 置 エ ネ ル ギ ー) & = \frac{1}{2} (k + k^{'}) x_{1}^{2} + \frac{1}{2} (k + k^{'}) x_{2}^{2} - k^{'} x_{1} x_{2} \end{aligned}

$x_1 x_2$ というクロスタームが出てきている.

$q_1, q_2$ $\eqref{q1}$ $\eqref{q2}$ を式変形した

\begin{matrix} x_{1} = \frac{q_{1} + q_{2}}{\sqrt{2}}, x_{2} = \frac{q_{1} - q_{2}}{\sqrt{2}} \end{matrix}

を代入すると

\begin{aligned} (運 動 エ ネ ル ギ ー) & = \frac{1}{2} m \frac{1}{2} {(\frac{d q_{1}}{d t} + \frac{d q_{2}}{d t})}^{2} + \frac{1}{2} m \frac{1}{2} {(\frac{d q_{1}}{d t} - \frac{d q_{2}}{d t})}^{2} \\ = \frac{1}{2} m {(\frac{d q_{1}}{d t})}^{2} + \frac{1}{2} m {(\frac{d q_{2}}{d t})}^{2} \\ (位 置 エ ネ ル ギ ー) & = \frac{1}{2} k x_{1}^{2} + \frac{1}{2} k x_{2}^{2} - \frac{1}{2} k^{'} (x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) \\ = \frac{1}{2} k x_{1}^{2} + \frac{1}{2} k x_{2}^{2} - \frac{1}{2} k^{'} (x_{1} - x_{2})^{2} \\ = \frac{1}{2} k {(\frac{q_{1} + q_{2}}{\sqrt{2}})}^{2} + \frac{1}{2} k {(\frac{q_{1} - q_{2}}{\sqrt{2}})}^{2} - \frac{1}{2} k^{'} {(\frac{q_{1} + q_{2}}{\sqrt{2}} - \frac{q_{1} - q_{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \\ = \frac{1}{2} k \frac{(q_{1} + q_{2})^{2}}{2} + \frac{1}{2} k \frac{(q_{1} - q_{2})^{2}}{2} - \frac{1}{2} k^{'} \frac{(2 q_{2})^{2}}{2} \\ = \frac{1}{2} k \frac{(q_{1}^{2} + 2 q_{1} q_{2} + q_{2}^{2})}{2} + \frac{1}{2} k \frac{(q_{1}^{2} - 2 q_{1} q_{2} + q_{2}^{2})}{2} - \frac{1}{2} k^{'} \frac{4 q_{2}^{2}}{2} \\ = \frac{1}{2} k q_{1}^{2} + \frac{1}{2} (k + 2 k^{'}) q_{2}^{2} \end{aligned}

$q_1 q_2, \frac{d q_1}{dt} \frac{d q_2}{dt}$ $q_1, q_2$ という座標系はそれぞれ独立な単振動であることが確認できた.

$q_1, q_2$ を見つけ出し, その新たな座標軸への射影成分が, 互いに単振動となっている場合, その新たな座標系に沿った運動が, 基準振動 に相当し, その新たな座標系そのものを, 基準座標と呼ぶ.

うなり

現象

一般に, 2つの異なる振動数を持った単振動の重ね合わせは うなり (beat) という現象を引き起こす.

わかりやすい例は, 前節でやった片側のおもりだけ伸ばし両者ともに静止した状態からスタートする初期条件 :

\begin{matrix} t = 0 : x_{1} = a, x_{2} = 0, \frac{d x_{1}}{d t} = 0, \frac{d x_{2}}{d t} = 0 \end{matrix}

での振る舞いである. このとき, 各おもりの位置は

\begin{aligned} x_{1} (t) & = a \cos \frac{ω_{1} - ω_{2}}{2} t \cos \frac{ω_{1} + ω_{2}}{2} t \\ x_{2} (t) & = - a \sin \frac{ω_{1} - ω_{2}}{2} t \sin \frac{ω_{1} + ω_{2}}{2} t \end{aligned}

$\omega_1$ $\omega_2$ $\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}$ $\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}$ で緩やかに振動することを確認した.

2-oscillations-with-spring_initial-condition

$\Delta \omega \equiv \omega_2 - \omega_1$ が相対的に非常に小さい場合であるから,

\begin{aligned} Δ ω & ≪ ω_{1} \\ \leftrightarrow \sqrt{\frac{k + 2 k^{'}}{m}} - \sqrt{\frac{k}{m}} & ≪ \sqrt{\frac{k}{m}} \\ \leftrightarrow \sqrt{\frac{k + 2 k^{'}}{m}} & ≪ 2 \sqrt{\frac{k}{m}} \\ \leftrightarrow \frac{k + 2 k^{'}}{m} & ≪ 4 \frac{k}{m} \\ \leftrightarrow \frac{2 k^{'}}{m} & ≪ 3 \frac{k}{m} \\ \leftrightarrow k^{'} & ≪ \frac{3}{2} k \end{aligned}

$k'$ $k$ に比べて非常に弱い場合に起こる現象であることがわかる.

例

また, うなり現象は音の調律などにも利用されている. 音叉と楽器を同時に鳴らし, 音程 (振動数) が微妙にずれていればうなりが発生するため, うなりが完全に消える (振動数が完全に一致する) ように調整する作業である.

$x_1$

\begin{matrix} x_{1} (t) = a \cos \frac{ω_{1} - ω_{2}}{2} t \cos \frac{ω_{1} + ω_{2}}{2} t \end{matrix}

を参考に, 合わせたい音程とうなりの振動数を計算してみる.

$f \sim 261.626 ~\text{[Hz]}$ $\omega \sim 2 \pi f$ $f$ $f'=1.01 f$ ) とを考える. すなわち, 角振動数においては

\begin{aligned} ω_{2} & = 2 π f \\ ω_{1} & = 2 π f^{'} = 2 π \times (1.01 f) = 1.01 \times ω_{2} \end{aligned}

$x_1$ $\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}$ なので,

\begin{matrix} (う な り の 角 振 動 数) = \frac{ω_{1} - ω_{2}}{2} \end{matrix}

となる. ただし, 人間の耳は振幅の絶対値によって音の強弱を感知しているので, 音として聞こえる振動数はその倍となり,

\begin{aligned} (う な り と し て 聞 こ え る 振 動 数) & = 2 \times (う な り の 振 動 数) \\ = 2 \times (う な り の 角 振 動 数) \times \frac{1}{2 π} \\ = 2 \frac{ω_{1} - ω_{2}}{2} \frac{1}{2 π} \\ = (ω_{1} - ω_{2}) \frac{1}{2 π} \\ = 0.01 \times ω_{2} \frac{1}{2 π} \\ = 0.01 \times 2 π f \frac{1}{2 π} \\ = 0.01 f \\ \sim 0.01 \times 261.626 \\ \sim 2.6 [Hz] \end{aligned}

となる. すなわち, 約2.6 [Hz] のうなりとして聞こえるはずである.

実際にプロットしてみたものが下図である.

beat

確かに約2.6 [Hz] の振動 (1秒間に2.6回の振動) をしていることがわかる.

$f$ ) : 約261.626 Hz
$f'=1.01 f$ ) : 約264.242 Hz
うなり : 約2.6 Hz

$\omega_2$	$\omega_1 = 2 \pi$	$\omega_1 = 4 \pi$	$\omega_1 = 6 \pi$
$2 \pi$
$4 \pi$
$6 \pi$

$\omega_1:\omega_2$	結果	アニメ
$2\pi : 2\pi$
$2\pi : 4\pi$
$2\pi : 6\pi$
$4\pi : 2\pi$
$4\pi : 4\pi$
$4\pi : 6\pi$
$6\pi : 2\pi$
$6\pi : 4\pi$
$6\pi : 6\pi$
$2 \sqrt{2} \pi : 2\pi$

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