2024-05-08 2024-05-08
復習問題

振動波動論第4回復習問題

実施・提出期間

締切: 2024/05/15 (水) 13:30 までに, 下記の問題を実施し, 提出してください.

注意事項

手書きで計算したものを1つのpdfにまとめて提出してください
- 紙に直筆したものを写真 or スキャンする場合は, 中身がハッキリ読めることを確認してください
- タブレット等を用いて電子的に手書きするのもOKです
- 画像ファイルをそのまま何枚も提出したり, zipにまとめて提出したものは受取不可とします
授業資料の解答を丸写しするのではなく, 授業内容を思い出しながら自分の手で計算するようにしてください
授業直後に復習することはもちろん素晴らしいです!! その後, なるべく数日空けてから再学習として本課題を実施し, 提出することを是非試してみてください.

問題

cos型の外力のある場合の振動

下図のような, バネによる単振動に速度に比例する抵抗 (摩擦) と周期的な外力を作用させた系を考える.

spring_damped-forced-oscillation

ここでも前述と同様に

\begin{matrix} F (t) = F_{0} \cos ω_{f} t (F_{0}, ω_{f} : 既 知 の 実 定 数) \end{matrix}

$F(t)$ が加わった場合を考える.

この系の運動方程式を記述せよ
$x_0 (t)$ を求めよ
$X_0 (t)$ を求めよ
$x(t)$ を求めよ

sin型の外力がある場合の振動

$m$ $x$ $k$ $\Gamma$ とする.

simple-harmonic-oscillation_spring

ここで

\begin{matrix} F (t) = F_{0} \sin ω_{f} t (F_{0}, ω_{f} : 既 知 の 実 定 数) \end{matrix}

$F(t)$ が加わった場合を考える.

1. おもりにかかる力を図示せよ
1. この系の運動方程式を記述せよ
1. 外力がない場合について下記の問に解答せよ
- $\gamma = \Gamma/m,~ \omega_0^2 = k/m$ とする
- $x (t) = e^{pt}$ $p$ を求めよ
- $x_0 (t)$ $C_1, C_2 \in 複素数$ とする
- $\gamma /2 < \omega_0$ ) の一般解を導出せよ
1. 外力がある場合について, 下記の問に解答せよ
- $z = y + ix$ と複素数に拡張する. この場合の複素数に拡張した運動方程式を導出せよ
- $Z_0 (t)$ を求めよ
- $X_0 (t)$ を求めよ
- $x(t)$ を求めよ
- $\gamma /2 < \omega_0$ $x(t)$ を求めよ

まとめ

今回の授業内容を100文字以上で自分なりにまとめてください. ただし, 写経のように丸写しすることだけはやめてください.

解答

cos型の外力がある場合の振動

下図のような, バネによる単振動に速度に比例する抵抗 (摩擦) と周期的な外力を作用させた系を考える.

spring_damped-forced-oscillation

ここで

\begin{matrix} F (t) = F_{0} \cos ω_{f} t (F_{0}, ω_{f} : 既 知 の 実 定 数) \end{matrix}

$F(t)$ が加わった場合を考える.

この系の運動方程式を記述せよ

運動方程式は

\begin{aligned} (1) & m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} & = - k x - Γ \frac{d x}{d t} + F (t) \\ (2) & = - k x - Γ \frac{d x}{d t} + F_{0} \cos ω_{f} t \end{aligned}

となる.

$x_0 (t)$ を求めよ

外力がない場合は

\begin{matrix} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + γ \frac{d x}{d t} + ω_{0}^{2} x = 0 \end{matrix}

となり, 抵抗のある場合のバネによる運動 (減衰振動等) の運動方程式に帰着する.

したがって, この一般解は

\begin{matrix} (3) & \begin{matrix} x_{0} (t) = C_{1} e^{p_{1} t} + C_{2} e^{p_{2} t} (C_{1}, C_{2} : 複 素 数 の 任 意 定 数) \\ p_{1} \equiv - \frac{γ}{2} + \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}} \\ p_{2} \equiv - \frac{γ}{2} - \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}} \end{matrix} \end{matrix}

$\frac{\gamma}{2} < \omega_0$ ) の一般解は

\begin{matrix} (4) & \begin{matrix} x_{0} (t) = e^{- \frac{γ}{2} t} A \cos (\tilde{ω} t + ϕ) \\ \tilde{ω} \equiv \sqrt{ω_{0}^{2} - \frac{γ^{2}}{4}} \end{matrix} \end{matrix}

$X_0 (t)$ を求めよ

複素数に拡張された運動方程式 :

\begin{matrix} \frac{d^{2} z}{d t^{2}} + γ \frac{d z}{d t} + ω_{0}^{2} z = f_{0} e^{i ω_{f} t} \end{matrix}

$e^{ \omega_f t }$ $Z_0 (t)$ を仮に

\begin{matrix} Z_{0} (t) = C_{f} e^{i ω_{f} t} (C_{f} : 複 素 定 数) \end{matrix}

と置くことにする.

この特解を拡張された運動方程式に代入すると,

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} \frac{d^{2} Z_{0}}{d t^{2}} + γ \frac{d Z_{0}}{d t} + ω_{0}^{2} Z_{0} & = f_{0} e^{i ω_{f} t} \\ \leftrightarrow \frac{d^{2}}{d t^{2}} (C_{f} e^{i ω_{f} t}) + γ \frac{d}{d t} (C_{f} e^{i ω_{f} t}) + ω_{0}^{2} (C_{f} e^{i ω_{f} t}) & = f_{0} e^{i ω_{f} t} \\ \leftrightarrow - C_{f} ω_{f}^{2} e^{i ω_{f} t} + i γ C_{f} ω_{f} e^{i ω_{f} t} + ω_{0}^{2} C_{f} e^{i ω_{f} t} & = f_{0} e^{i ω_{f} t} \\ \leftrightarrow C_{f} (- ω_{f}^{2} + i γ ω_{f} + ω_{0}^{2}) e^{i ω_{f} t} & = f_{0} e^{i ω_{f} t} \\ \leftrightarrow C_{f} & = \frac{f_{0}}{ω_{0}^{2} - ω_{f}^{2} + i γ ω_{f}} \end{aligned} \end{matrix}

$C_f$ が求まった. したがって特解は

\begin{matrix} (6) & Z_{0} (t) = \frac{f_{0}}{ω_{0}^{2} - ω_{f}^{2} + i γ ω_{f}} e^{i ω_{f} t} \end{matrix}

として求まった.

$\omega_0^2 - \omega_f^2 + i \gamma \omega_f$ は複素平面で考えると下図のようになる.

spring_damped-forced-oscillation_complex-plane

したがって, 極座標表示と対応させると

\begin{matrix} \begin{matrix} ω_{0}^{2} - ω_{f}^{2} + i γ ω_{f} = \sqrt{(ω_{0}^{2} - ω_{f}^{2})^{2} + γ^{2} ω_{f}^{2}} e^{i θ} \\ \tan θ \equiv \frac{γ ω_{f}}{ω_{0}^{2} - ω_{f}^{2}} \end{matrix} \end{matrix}

となる. これを特解の式に代入すると

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} Z_{0} (t) & = \frac{f_{0}}{\sqrt{(ω_{0}^{2} - ω_{f}^{2})^{2} + γ^{2} ω_{f}^{2}} e^{i θ}} e^{i ω_{f} t} \\ = \frac{f_{0}}{\sqrt{(ω_{0}^{2} - ω_{f}^{2})^{2} + γ^{2} ω_{f}^{2}}} e^{i (ω_{f} t - θ)} \end{aligned} \end{matrix}

となる. ここで

\begin{matrix} (8) & A_{f} \equiv \frac{f_{0}}{\sqrt{(ω_{0}^{2} - ω_{f}^{2})^{2} + γ^{2} ω_{f}^{2}}} \end{matrix}

と置けば,

\begin{matrix} Z_{0} (t) = A_{f} e^{i (ω_{f} t - θ)} \end{matrix}

$X_0 (t)$

\begin{aligned} X_{0} (t) & = Re Z_{0} = Re (A_{f} e^{i (ω_{f} t - θ)}) \\ (9) & = A_{f} \cos (ω_{f} t - θ) \end{aligned}

が求められた.

$x(t)$ を求めよ

$x_0 (t)$ $\ref{x0_damped+periodic}$ $X_0 (t)$ $\ref{X0_damped+periodic}$ ) を足し合わせることで, 一般解

一般解 (単振動+速度に比例する抵抗+周期的な外力 (強制振動) ) :

\begin{matrix} (10) & \begin{matrix} x (t) = C_{1} e^{p_{1} t} + C_{2} e^{p_{2} t} + A_{f} \cos (ω_{f} t - θ) (C_{1}, C_{2} : 複 素 数 の 任 意 定 数) \\ p_{1} \equiv - \frac{γ}{2} + \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}} \\ p_{2} \equiv - \frac{γ}{2} - \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}} \\ A_{f} \equiv \frac{f_{0}}{\sqrt{(ω_{0}^{2} - ω_{f}^{2})^{2} + γ^{2} ω_{f}^{2}}} \\ \tan θ \equiv \frac{γ ω_{f}}{ω_{0}^{2} - ω_{f}^{2}} \end{matrix} \end{matrix}

が導出できた.

$\frac{\gamma}{2} < \omega_0$ ) は

一般解 (減衰振動+周期的な外力 (強制振動) ) :

\begin{matrix} (11) & \begin{matrix} x (t) = e^{- \frac{γ}{2} t} A \cos (\tilde{ω} t + ϕ) + A_{f} \cos (ω_{f} t - θ) (A, ϕ : 任 意 定 数) \\ \tilde{ω} \equiv \sqrt{ω_{0}^{2} - \frac{γ^{2}}{4}} \\ A_{f} \equiv \frac{f_{0}}{\sqrt{(ω_{0}^{2} - ω_{f}^{2})^{2} + γ^{2} ω_{f}^{2}}} \\ \tan θ \equiv \frac{γ ω_{f}}{ω_{0}^{2} - ω_{f}^{2}} \end{matrix} \end{matrix}

となる.

sin型の外力がある場合の振動

$m$ $x$ $k$ $\Gamma$ とする.

simple-harmonic-oscillation_spring

ここで

\begin{matrix} F (t) = F_{0} \sin ω_{f} t (F_{0}, ω_{f} : 既 知 の 実 定 数) \end{matrix}

$F(t)$ が加わった場合を考える.

おもりにかかる力を図示せよ

spring_damped-forced-oscillation

この系の運動方程式を記述せよ

運動方程式は

\begin{aligned} m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} & = - k x - Γ \frac{d x}{d t} + F (t) \\ (12) & = - k x - Γ \frac{d x}{d t} + F_{0} \sin ω_{f} t \end{aligned}

となる.

外力がない場合について下記の問に解答せよ

$\gamma = \Gamma/m,~ \omega_0^2 = k/m$ とする

外力がない場合は

\begin{matrix} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + γ \frac{d x}{d t} + ω_{0}^{2} x = 0 \end{matrix}

となり, 抵抗のある場合のバネによる運動 (減衰振動等) の運動方程式に帰着する.

$x (t) = e^{pt}$ $p$ を求めよ

$t$ $t$ の次数が変わらず, 全体でキャンセルして0になるため, 解の概形は

\begin{matrix} (13) & x (t) = C e^{p t} (C, p : 複 素 数 と 考 え て お く) \end{matrix}

とおく.

運動方程式に代入して整理すると

\begin{aligned} \frac{d^{2}}{d t^{2}} e^{p t} + γ \frac{d}{d t} e^{p t} + ω_{0}^{2} e^{p t} & = 0 \\ p^{2} e^{p t} + γ p e^{p t} + ω_{0}^{2} e^{p t} & = 0 \\ p^{2} + γ p + ω_{0}^{2} & = 0 \end{aligned}

となる. 2次方程式の解の公式 :

\begin{aligned} a x^{2} + b x + c & = 0 \\ \to x & = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{aligned}

$p$ について解くと

\begin{matrix} (14) & p = \frac{- γ \pm \sqrt{γ^{2} - 4 ω_{0}^{2}}}{2} \end{matrix}

となり,

\begin{array}{r} (15) & p_{1} = - \frac{γ}{2} + \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}} \\ (16) & p_{2} = - \frac{γ}{2} - \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}} \end{array}

のように, それぞれ独立した解が導かれる.

$x_0 (t)$ $C_1, C_2 \in 複素数$ とする

以上より, この一般解は

\begin{matrix} (17) & \begin{matrix} x_{0} (t) = C_{1} e^{p_{1} t} + C_{2} e^{p_{2} t} (C_{1}, C_{2} : 複 素 数 の 任 意 定 数) \\ p_{1} \equiv - \frac{γ}{2} + \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}} \\ p_{2} \equiv - \frac{γ}{2} - \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}} \end{matrix} \end{matrix}

となる.

$\gamma /2 < \omega_0$ ) の一般解を導出せよ

$p$ は

\begin{matrix} p = - \frac{γ}{2} \pm i \sqrt{ω_{0}^{2} - \frac{γ^{2}}{4}} \end{matrix}

のように根号内の正負を明示的に記述できる. さらに, 簡単のため

\begin{matrix} (18) & \tilde{ω} = \sqrt{ω_{0}^{2} - \frac{γ^{2}}{4}} \end{matrix}

とおくと,

\begin{matrix} p = - \frac{γ}{2} \pm i \tilde{ω} \end{matrix}

$\ref{x0_damped+periodic2}$ ) :

\begin{matrix} x_{0} (t) = C_{1} e^{p_{1} t} + C_{2} e^{p_{2} t} \end{matrix}

に代入すると

\begin{aligned} x_{0} (t) & = C_{1} e^{(- \frac{γ}{2} + i \tilde{ω}) t} + C_{2} e^{(- \frac{γ}{2} - i \tilde{ω}) t} \\ = e^{- \frac{γ}{2} t} (C_{1} e^{i \tilde{ω} t} + C_{2} e^{- i \tilde{ω} t}) \end{aligned}

となる.

この右辺の括弧内は, 抵抗力なしの場合と同様に計算すると

\begin{aligned} C_{1} e^{i \tilde{ω} t} + C_{2} e^{- i \tilde{ω} t} & = C_{1} (\cos \tilde{ω} t + i \sin \tilde{ω} t) + C_{2} (\cos (- \tilde{ω} t) + i \sin (- \tilde{ω} t)) \\ = (C_{1} + C_{2}) \cos \tilde{ω} t + i (C_{1} - C_{2}) \sin \tilde{ω} t \\ = A_{1} \cos \tilde{ω} t + A_{2} \sin \tilde{ω} t \\ = A \cos ϕ \cos \tilde{ω} t - A \sin ϕ \sin \tilde{ω} t \\ = A \cos (\tilde{ω} t + ϕ) \end{aligned}

となり, 単振動の一般解に帰着する.

$x_0(t)$ $\frac{\gamma}{2} < \omega_0$ ) の一般解 (減衰振動) は

\begin{matrix} (19) & \begin{matrix} x_{0} (t) = e^{- \frac{γ}{2} t} A \cos (\tilde{ω} t + ϕ) \\ \tilde{ω} \equiv \sqrt{ω_{0}^{2} - \frac{γ^{2}}{4}} \end{matrix} \end{matrix}

が導出できた.

外力がある場合について, 下記の問に解答せよ

$z = y + ix$ と複素数に拡張する. この場合の複素数に拡張した運動方程式を導出せよ

$\eqref{eom-forced2}$ $\frac{d^2 x}{dt^2} + \gamma \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = f_0 \sin \omega_f t$ $x$ を

\begin{matrix} (20) & z = y + i x \end{matrix}

$\eqref{eom-forced2}$ の外力の項 (右辺) が虚数部になるような複素関数

\begin{matrix} (21) & f_{0} e^{i ω_{f} t} = f_{0} (\cos ω_{f} t + i \sin ω_{f} t) \end{matrix}

$\eqref{eom-forced2}$ を

拡張された運動方程式 :

\begin{matrix} \frac{d^{2} z}{d t^{2}} + γ \frac{d z}{d t} + ω_{0}^{2} z = f_{0} e^{i ω_{f} t} \end{matrix}

と拡張することができる.

$Z_0 (t)$ を求めよ

$\eqref{eom-forced2}$ :

\begin{matrix} \frac{d^{2} z}{d t^{2}} + γ \frac{d z}{d t} + ω_{0}^{2} z = f_{0} e^{i ω_{f} t} \end{matrix}

$e^{i \omega_f t }$ $Z_0 (t)$ を仮に

\begin{matrix} Z_{0} (t) = C_{f} e^{i ω_{f} t} (C_{f} : 複 素 定 数) \end{matrix}

と置くことにする.

$\eqref{eom-forced2}$ に代入すると,

\begin{matrix} (22) & \begin{aligned} \frac{d^{2} Z_{0}}{d t^{2}} + γ \frac{d Z_{0}}{d t} + ω_{0}^{2} Z_{0} & = f_{0} e^{i ω_{f} t} \\ \leftrightarrow \frac{d^{2}}{d t^{2}} (C_{f} e^{i ω_{f} t}) + γ \frac{d}{d t} (C_{f} e^{i ω_{f} t}) + ω_{0}^{2} (C_{f} e^{i ω_{f} t}) & = f_{0} e^{i ω_{f} t} \\ \leftrightarrow - C_{f} ω_{f}^{2} e^{i ω_{f} t} + i γ C_{f} ω_{f} e^{i ω_{f} t} + ω_{0}^{2} C_{f} e^{i ω_{f} t} & = f_{0} e^{i ω_{f} t} \\ \leftrightarrow C_{f} (- ω_{f}^{2} + i γ ω_{f} + ω_{0}^{2}) e^{i ω_{f} t} & = f_{0} e^{i ω_{f} t} \\ \leftrightarrow C_{f} & = \frac{f_{0}}{ω_{0}^{2} - ω_{f}^{2} + i γ ω_{f}} \end{aligned} \end{matrix}

$C_f$ が求まった. したがって特解は

\begin{matrix} (23) & Z_{0} (t) = \frac{f_{0}}{ω_{0}^{2} - ω_{f}^{2} + i γ ω_{f}} e^{i ω_{f} t} \end{matrix}

として求まった.

$\omega_0^2 - \omega_f^2 + i \gamma \omega_f$ は複素平面で考えると下図のようになる.

spring_damped-forced-oscillation_complex-plane

$z = r e^{i \theta}$ ) と対応させると

\begin{matrix} (24) & \begin{array}{r} ω_{0}^{2} - ω_{f}^{2} + i γ ω_{f} = \sqrt{(ω_{0}^{2} - ω_{f}^{2})^{2} + γ^{2} ω_{f}^{2}} e^{i θ} (∵ \tan θ \equiv \frac{γ ω_{f}}{ω_{0}^{2} - ω_{f}^{2}}) \end{array} \end{matrix}

$\eqref{Z0_simple+periodic2}$ $Z_0 (t) = \frac{f_0}{ \omega_0^2 - \omega_f^2 + i \gamma \omega_f } e^{ i \omega_f t }$ の分母に代入すると

\begin{matrix} (25) & \begin{aligned} Z_{0} (t) & = \frac{f_{0}}{\sqrt{(ω_{0}^{2} - ω_{f}^{2})^{2} + γ^{2} ω_{f}^{2}} e^{i θ}} e^{i ω_{f} t} \\ = \frac{f_{0}}{\sqrt{(ω_{0}^{2} - ω_{f}^{2})^{2} + γ^{2} ω_{f}^{2}}} e^{i (ω_{f} t - θ)} \end{aligned} \end{matrix}

となる. ここで

\begin{matrix} (26) & A_{f} \equiv \frac{f_{0}}{\sqrt{(ω_{0}^{2} - ω_{f}^{2})^{2} + γ^{2} ω_{f}^{2}}} \end{matrix}

と置けば,

\begin{matrix} Z_{0} (t) = A_{f} e^{i (ω_{f} t - θ)} \end{matrix}

と書くことができる.

$X_0 (t)$ を求めよ

$X_0 (t)$

\begin{aligned} X_{0} (t) & = Im Z_{0} \\ = Im (A_{f} e^{i (ω_{f} t - θ)}) \\ (27) & = A_{f} \sin (ω_{f} t - θ) \end{aligned}

が求められた.

$x(t)$ を求めよ

$x_0 (t)$ $\ref{x0_damped+periodic2}$ $X_0 (t)$ $\ref{X0_damped+periodic2}$ ) を足し合わせることで, 一般解

一般解 (単振動+速度に比例する抵抗+周期的な外力 (強制振動) ) :

\begin{matrix} (28) & \begin{matrix} x (t) = C_{1} e^{p_{1} t} + C_{2} e^{p_{2} t} + A_{f} \sin (ω_{f} t - θ) (C_{1}, C_{2} : 複 素 数 の 任 意 定 数) \\ (p_{1} \equiv - \frac{γ}{2} + \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}}, p_{2} \equiv - \frac{γ}{2} - \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}}, A_{f} \equiv \frac{f_{0}}{\sqrt{(ω_{0}^{2} - ω_{f}^{2})^{2} + γ^{2} ω_{f}^{2}}}, \tan θ \equiv \frac{γ ω_{f}}{ω_{0}^{2} - ω_{f}^{2}}) \end{matrix} \end{matrix}

が導出できた.

$\gamma /2 < \omega_0$ $x(t)$ を求めよ

$\frac{\gamma}{2} < \omega_0$ ) は

一般解 (減衰振動+周期的な外力 (強制振動) ) :

\begin{matrix} (29) & \begin{matrix} x (t) = e^{- \frac{γ}{2} t} A \cos (\tilde{ω} t + ϕ) + A_{f} \sin (ω_{f} t - θ) (A, ϕ : 任 意 定 数) \\ (\tilde{ω} \equiv \sqrt{ω_{0}^{2} - \frac{γ^{2}}{4}}, A_{f} \equiv \frac{f_{0}}{\sqrt{(ω_{0}^{2} - ω_{f}^{2})^{2} + γ^{2} ω_{f}^{2}}}, \tan θ \equiv \frac{γ ω_{f}}{ω_{0}^{2} - ω_{f}^{2}}) \end{matrix} \end{matrix}

となる.

振動波動論 第4回 復習問題

実施・提出期間

問題

cos型の外力のある場合の振動

sin型の外力がある場合の振動

まとめ

解答

cos型の外力がある場合の振動

この系の運動方程式を記述せよ

外力がない場合の一般解 x0(t)x_0 (t) を求めよ

外力がある場合の特解 X0(t)X_0 (t) を求めよ

この系の一般解 x(t)x(t) を求めよ

sin型の外力がある場合の振動

おもりにかかる力を図示せよ

この系の運動方程式を記述せよ

外力がない場合について下記の問に解答せよ

外力がない場合の運動方程式を書き直せ. ただし, γ=Γ/m, ω02=k/m\gamma = \Gamma/m,~ \omega_0^2 = k/mとする

解の概形をx(t)=eptx (t) = e^{pt}とした場合のppを求めよ

外力がない場合の一般解 x0(t)x_0 (t) を求めよ. ただし, 未定定数は複素数C1,C2∈複素数C_1, C_2 \in 複素数とする

抵抗力が小さい場合 ( γ/2<ω0\gamma /2 < \omega_0 ) の一般解を導出せよ

外力がある場合について, 下記の問に解答せよ

外力がある場合について, 変位をz=y+ixz = y + ix と複素数に拡張する. この場合の複素数に拡張した運動方程式を導出せよ

外力がある場合の複素数の特解 Z0(t)Z_0 (t) を求めよ

外力がある場合の実数の特解 X0(t)X_0 (t) を求めよ

外力がある場合の一般解 x(t)x(t) を求めよ

外力があり, 抵抗力が小さい場合 ( γ/2<ω0\gamma /2 < \omega_0 ) の一般解 x(t)x(t) を求めよ

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Keywords

復習問題

振動波動論第4回復習問題

$x_0 (t)$ を求めよ

$X_0 (t)$ を求めよ

$x(t)$ を求めよ

$\gamma = \Gamma/m,~ \omega_0^2 = k/m$ とする

$x (t) = e^{pt}$ $p$ を求めよ

$x_0 (t)$ $C_1, C_2 \in 複素数$ とする

$\gamma /2 < \omega_0$ ) の一般解を導出せよ

$z = y + ix$ と複素数に拡張する. この場合の複素数に拡張した運動方程式を導出せよ

$Z_0 (t)$ を求めよ

$X_0 (t)$ を求めよ

$x(t)$ を求めよ

$\gamma /2 < \omega_0$ $x(t)$ を求めよ