2024-04-24 2024-04-23
復習問題

振動波動論第3回復習問題

振動波動論第3回復習問題実施・提出期間問題抵抗のある場合の振動まとめ解答抵抗のある場合の振動おもりにかかる力を図示せよ. おもりの運動方程式を記述せよ. $\gamma = \Gamma/m,~ \omega_0^2 = k/m$ として, (2)の運動方程式を書き直せ. 解の概形を $x (t) = e^{pt}$ とした場合の $p$ を求めよ. (4)で求めた結果を用いてこの系の一般解を導出せよ. 未定定数は $C_1, C_2 \in 複素数$ とする. 抵抗力が小さい場合 ( $\gamma /2 < \omega_0$ )の一般解を導出し, どのような物理現象であるか説明せよ. 抵抗力が大きい場合 ( $\gamma /2 > \omega_0$ )の一般解を導出し, どのような物理現象であるか説明せよ.

実施・提出期間

締切: 2024/05/08 (水) 13:30 までに, 下記の問題を実施し, 提出してください.

注意事項

手書きで計算したものを1つのpdfにまとめて提出してください
- 紙に直筆したものを写真 or スキャンする場合は, 中身がハッキリ読めることを確認してください
- タブレット等を用いて電子的に手書きするのもOKです
- 画像ファイルをそのまま何枚も提出したり, zipにまとめて提出したものは受取不可とします
授業資料の解答を丸写しするのではなく, 授業内容を思い出しながら自分の手で計算するようにしてください
授業直後に復習することはもちろん素晴らしいです!! その後, なるべく数日空けてから再学習として本課題を実施し, 提出することを是非試してみてください.

問題

抵抗のある場合の振動

simple-harmonic-oscillation_spring

$m$ $x$ $k$ $\Gamma$ とする.

おもりにかかる力を図示せよ.
おもりの運動方程式を記述せよ.
$\gamma = \Gamma/m,~ \omega_0^2 = k/m$ として, (2)の運動方程式を書き直せ.
$x (t) = e^{pt}$ $p$ を求めよ.
$C_1, C_2 \in 複素数$ とする.
$\gamma /2 < \omega_0$ )の一般解を導出し, どのような物理現象であるか説明せよ.
$\gamma /2 > \omega_0$ )の一般解を導出し, どのような物理現象であるか説明せよ.

まとめ

今回の授業内容を100文字以上で自分なりにまとめてください. ただし, 写経のように丸写しすることだけはやめてください.

解答

抵抗のある場合の振動

simple-harmonic-oscillation_spring

$m$ $x$ $k$ $\Gamma$ とする.

おもりにかかる力を図示せよ.

spring_damped-vibration

おもりの運動方程式を記述せよ.

この系の運動方程式は, 摩擦 (抵抗力) の項を追加して

\begin{matrix} (1) & m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - k x - Γ \frac{d x}{d t} \end{matrix}

となる.

$\gamma = \Gamma/m,~ \omega_0^2 = k/m$ として, (2)の運動方程式を書き直せ.

\begin{matrix} (2) & \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + γ \frac{d x}{d t} + ω_{0}^{2} x = 0 \end{matrix}

$x (t) = e^{pt}$ $p$ を求めよ.

$t$ $t$ の次数が変わらず, 全体でキャンセルして0になるため, 解の概形は

\begin{matrix} (3) & x (t) = C e^{p t} (C, p : 複 素 数 と 考 え て お く) \end{matrix}

とおく.

運動方程式に代入して整理すると

\begin{matrix} (4) & \frac{d^{2}}{d t^{2}} e^{p t} + γ \frac{d}{d t} e^{p t} + ω_{0}^{2} e^{p t} = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & p^{2} e^{p t} + γ p e^{p t} + ω_{0}^{2} e^{p t} = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & p^{2} + γ p + ω_{0}^{2} = 0 \end{matrix}

となる. 二次方程式の解の公式 :

\begin{matrix} (7) & \begin{matrix} a x^{2} + b x + c = 0 \\ \to x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{matrix} \end{matrix}

$p$ について解くと

\begin{matrix} (8) & p = \frac{- γ \pm \sqrt{γ^{2} - 4 ω_{0}^{2}}}{2} \end{matrix}

となり,

\begin{array}{r} (9) & p_{1} = - \frac{γ}{2} + \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}} \\ (10) & p_{2} = - \frac{γ}{2} - \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}} \end{array}

のように, それぞれ独立した解が導かれる.

$C_1, C_2 \in 複素数$ とする.

重ね合わせた解として, 一般解

\begin{matrix} (11) & x (t) = C_{1} e^{p_{1} t} + C_{2} e^{p_{2} t} (C_{1}, C_{2} : 複 素 数 の 任 意 定 数) \end{matrix}

が導出される.

$\gamma /2 < \omega_0$ )の一般解を導出し, どのような物理現象であるか説明せよ.

$p$ は

\begin{matrix} (12) & p = - \frac{γ}{2} \pm i \sqrt{ω_{0}^{2} - \frac{γ^{2}}{4}} \end{matrix}

のように根号内の正負を明示的に記述できる. さらに, 簡単のため

\begin{matrix} (13) & \tilde{ω} = \sqrt{ω_{0}^{2} - \frac{γ^{2}}{4}} \end{matrix}

とおくと,

\begin{matrix} (14) & p = - \frac{γ}{2} \pm i \tilde{ω} \end{matrix}

$\ref{damped-vibration-solution0}$ ) :

\begin{matrix} x (t) = C_{1} e^{p_{1} t} + C_{2} e^{p_{2} t} \end{matrix}

に代入すると

\begin{aligned} (15) & x (t) & = C_{1} e^{(- \frac{γ}{2} + i \tilde{ω}) t} + C_{2} e^{(- \frac{γ}{2} - i \tilde{ω}) t} \\ (16) & = e^{- \frac{γ}{2} t} (C_{1} e^{i \tilde{ω} t} + C_{2} e^{- i \tilde{ω} t}) \end{aligned}

となる.

この右辺の括弧内は, 抵抗力なしの場合と同様に計算すると

\begin{aligned} (17) & C_{1} e^{i \tilde{ω} t} + C_{2} e^{- i \tilde{ω} t} & = C_{1} (\cos \tilde{ω} t + i \sin \tilde{ω} t) + C_{2} (\cos (- \tilde{ω} t) + i \sin (- \tilde{ω} t)) \\ (18) & = (C_{1} + C_{2}) \cos \tilde{ω} t + i (C_{1} - C_{2}) \sin \tilde{ω} t \\ (19) & = A_{1} \cos \tilde{ω} t + A_{2} \sin \tilde{ω} t \\ (20) & = A \cos ϕ \cos \tilde{ω} t - A \sin ϕ \sin \tilde{ω} t \\ (21) & = A \cos (\tilde{ω} t + ϕ) \end{aligned}

となり, 単振動の一般解に帰着する.

$x(t)$ について書くと

抵抗力が小さい場合の一般解 (減衰振動) :

\begin{matrix} (22) & x (t) = e^{- \frac{γ}{2} t} A \cos (\tilde{ω} t + ϕ) \end{matrix}

が導出できた.

この一般解は

$A \cos (\tilde{\omega} t + \phi)$ は単振動を表し
$e^{-\frac{\gamma}{2} t} A$ $t$ についての指数関数のため, 時刻とともに指数的に減少する

ことから, 時刻とともに減衰していく単振動を表す. ゆえに 減衰振動 と呼ばれる.

$\gamma /2 > \omega_0$ )の一般解を導出し, どのような物理現象であるか説明せよ.

$p$ は

\begin{matrix} (23) & p = - \frac{γ}{2} \pm \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}} \end{matrix}

$\frac{\gamma}{2} > \omega_0$ であることから

\begin{matrix} (24) & 0 < \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}} < \frac{γ}{2} \end{matrix}

$\ref{damped-vibration_strong-resistance_p0}$ $p$ は負になる:

\begin{matrix} (25) & p = - \frac{γ}{2} \pm \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}} < 0 \end{matrix}

\begin{array}{r} (26) & p_{1} = - \frac{γ}{2} + \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}} < 0 \\ (27) & p_{2} = - \frac{γ}{2} - \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}} < 0 \\ (28) & p_{1} - p_{2} = 2 \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}} > 0 \end{array}

したがって,

抵抗力が大きい場合の一般解 (過減衰) :

\begin{matrix} (29) & x (t) = C_{1} e^{p_{1} t} + C_{2} e^{p_{2} t} (C_{1}, C_{2} : 実 数 の 任 意 定 数) \end{matrix}

が導出できた.

$p_1$ $p_2$ がともに負の実数のため, この解は振動せずに減衰する. したがって, この解は 過減衰 と呼ばれる.

振動波動論 第3回 復習問題

実施・提出期間

問題

抵抗のある場合の振動

まとめ

解答

抵抗のある場合の振動

おもりにかかる力を図示せよ.

おもりの運動方程式を記述せよ.

γ=Γ/m, ω02=k/m\gamma = \Gamma/m,~ \omega_0^2 = k/mとして, (2)の運動方程式を書き直せ.

解の概形をx(t)=eptx (t) = e^{pt}とした場合のppを求めよ.

(4)で求めた結果を用いてこの系の一般解を導出せよ. 未定定数は複素数C1,C2∈複素数C_1, C_2 \in 複素数とする.

抵抗力が小さい場合 ( γ/2<ω0\gamma /2 < \omega_0 )の一般解を導出し, どのような物理現象であるか説明せよ.

抵抗力が大きい場合 ( γ/2>ω0\gamma /2 > \omega_0 )の一般解を導出し, どのような物理現象であるか説明せよ.

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Keywords

復習問題

振動波動論第3回復習問題

$\gamma = \Gamma/m,~ \omega_0^2 = k/m$ として, (2)の運動方程式を書き直せ.

$x (t) = e^{pt}$ $p$ を求めよ.

$C_1, C_2 \in 複素数$ とする.

$\gamma /2 < \omega_0$ )の一般解を導出し, どのような物理現象であるか説明せよ.

$\gamma /2 > \omega_0$ )の一般解を導出し, どのような物理現象であるか説明せよ.