2024-04-24 2024-04-23
ポテンシャル, 減衰振動, 過減衰

振動波動論第3回

線形振動

前回習ったcosの一般解や今日習ったsinは線形振動と教わりましたが、cos関数やsin関数は非線形の関数だと教わりました。線形振動とは運動方程式に累乗や三角関数が含まれていないもののことを言うんですか？少し理解がごちゃついているので、教えて欲しいです。

①線形振動と非線形振動, ②線形項と非線形項, という2点が混ざっているんですね.

①線形振動と非線形振動: ・線形振動 : 振動現象の運動方程式が線形項のみで構成されている場合・非線形振動: 振動現象の運動方程式が非線形項も含んでいる場合

$x$ $\frac{dx}{dt}$ $x^2$ $\sin x$ $\cos x$ $e^{x}$ 等)

声もしっかり聞こえやすく分かりやすかったが、たんたんと100分聞くというのが少しきつかったです。あと、導出の説明も分かりやすいのですがほんの少し早かったのでちょこっと遅めて頂けるとありがたいです、、

スライダクランク機構の実演やペンデュラムウェーブなどが授業を飽きさせない工夫がうれしかった。式変形において第1種完全楕円積分の部分が天下り的でもやもやした。

ポテンシャル中の運動

$f(x)$ の場合のエネルギーの概要

$f(x)$ がかかる運動方程式:

\begin{matrix} m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = f (x) \end{matrix}

について考える.

$\frac{dx}{dt}$ $t$ で積分すると

\begin{aligned} \int m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} \frac{d x}{d t} d t & = \int f (x) \frac{d x}{d t} d t \\ \int \frac{1}{2} m \frac{d}{d t} {(\frac{d x}{d t})}^{2} d t & = \int f (x) d x \\ \frac{1}{2} m \int \frac{d v^{2}}{d t} d t & = \int f (x) d x (∵ v = \frac{d x}{d t}) \\ \frac{1}{2} m v^{2} - C & = \int f (x) d x (∵ C : 積 分 定 数) \end{aligned}

となり,

エネルギー保存則:

\begin{matrix} (1) & \frac{1}{2} m v^{2} - \int f (x) d x = C \end{matrix}

となる. ここで, 左辺第2項を

ポテンシャル:

\begin{matrix} U (x) = - \int f (x) d x \end{matrix}

$U(x)$ を系のポテンシャルエネルギー, あるいはポテンシャル, 位置エネルギーという.

$x$ で微分すれば

ポテンシャルと力:

\begin{matrix} f (x) = - \frac{d U (x)}{d x} \end{matrix}

$\eqref{energy-preservation}$ の左辺第1項を

運動エネルギー:

\begin{matrix} K = \frac{1}{2} m v^{2} \end{matrix}

$\eqref{energy-preservation}$ は

\begin{matrix} K + U (x) = C \end{matrix}

$K$ $U(x)$ の和を

力学的エネルギー:

\begin{matrix} E = K + U \end{matrix}

$E$ $C$ だったので時刻に依らず一定である.

このように, 力が位置だけで決まる1次元の運動においては, 力はポテンシャルから導かれ, 全エネルギーは保存され, エネルギー保存の法則が成り立つ. また, その力を保存力と呼ぶ.

2次元, 3次元の運動では, 保存力は下記のようにもう少し厳密に定義される.

保存力 (より厳密な定義) : $F$ $P_1$ $P_2$ $W$ は

\begin{matrix} W = \int_{P_{1}}^{P_{2}} \vec{F} \cdot d \vec{r} \end{matrix}

$W$ $\vec{F}$ を保存力と呼ぶ.

$U(\vec{r})$ $\vec{F}$ は

\begin{matrix} \vec{F} = - \nabla U (\vec{r}) = (- \frac{\partial U}{\partial x}, - \frac{\partial U}{\partial y}, - \frac{\partial U}{\partial z}) \end{matrix}

と記述できる.

p1p2

例

単振動のポテンシャル

$\begin{aligned} m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} & = - m ω^{2} x \\ m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + m ω^{2} x & = 0 \\ m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} \frac{d x}{d t} + m ω^{2} x \frac{d x}{d t} & = 0 \\ \frac{1}{2} m \frac{d}{d t} ({(\frac{d x}{d t})}^{2}) + \frac{1}{2} m ω^{2} \frac{d x^{2}}{d t} & = 0 \\ \int \frac{1}{2} m \frac{d}{d t} ({(\frac{d x}{d t})}^{2}) d t + \int \frac{1}{2} m ω^{2} \frac{d x^{2}}{d t} d t & = \int 0 d t \\ \frac{1}{2} m {(\frac{d x}{d t})}^{2} + \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2} & = C \\ \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2} & = C (∵ v \equiv \frac{d x}{d t}) \\ K + U & = E \end{aligned}$

単振動のエネルギーは

\begin{aligned} 運 動 エ ネ ル ギ ー & : K = \frac{1}{2} m v^{2} \\ 位 置 エ ネ ル ギ ー & : U = \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2} \end{aligned}

となり, ポテンシャルは下図のような放物線を描く.

energy_simple-oscillation

$x$ においてポテンシャルからかかる力は

\begin{aligned} f (x) & = - \frac{d U (x)}{d x} \\ = - \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} m ω^{2} x^{2}) \\ (2) & = - m ω^{2} x \end{aligned}

$-x$ 方向) の力がかかっている.

一般的なポテンシャル

$x$ の制限なし

$x_0$ を中心に振動自体はする.

energy_general-potential

$U(x)$ $x_0$ 近傍でテイラー展開すると

\begin{aligned} U (x) & = U (x_{0}) + \frac{d U (x_{0})}{d x} (x - x_{0}) + \frac{1}{2!} \frac{d^{2} U (x_{0})}{d x^{2}} (x - x_{0})^{2} + \frac{1}{3!} \frac{d^{3} U (x_{0})}{d x^{3}} (x - x_{0})^{3} + \dots \\ = U (x_{0}) + 0 + \frac{1}{2!} \frac{d^{2} U (x_{0})}{d x^{2}} (x - x_{0})^{2} + \frac{1}{3!} \frac{d^{3} U (x_{0})}{d x^{3}} (x - x_{0})^{3} + \dots \\ (∵ x_{0} は 極 小 点 で 傾 き 0 な の で \frac{d U (x_{0})}{d x} = 0) \end{aligned}

$x$ $f(x) = - \frac{dU(x)}{dx}$ なので,

\begin{aligned} f (x) & = - \frac{d U (x)}{d x} \\ = - 0 - 2 \frac{1}{2!} \frac{d^{2} U (x_{0})}{d x^{2}} (x - x_{0}) - 3 \frac{1}{3!} \frac{d^{3} U (x_{0})}{d x^{3}} (x - x_{0})^{2} - \dots \\ (3) & = - \frac{d^{2} U (x_{0})}{d x^{2}} (x - x_{0}) - \frac{1}{2} \frac{d^{3} U (x_{0})}{d x^{3}} (x - x_{0})^{2} - \dots \end{aligned}

となる.

$x_0$ $x_0 \equiv 0$ )

\begin{aligned} f (x) & = - \frac{d^{2} U (0)}{d x^{2}} x - \frac{1}{2} \frac{d^{3} U (0)}{d x^{3}} x^{2} - \dots \end{aligned}

となる,

$\eqref{simple-x-force}$ $f(x) = - m \omega^2 x$ $x$ の2次以上の項が出てしまっている. したがって, これは単振動とはならない.

例: 伸び切ったバネによる単振動

$x_0$ 近傍での微小な振動 (単振動)

$x_0$ 近傍での微小な振動として考えてみよう.

$x - x_0$ $x$ $\eqref{f-general}$

\begin{matrix} f (x) = - \frac{d^{2} U (x_{0})}{d x^{2}} (x - x_{0}) - \frac{1}{2} \frac{d^{3} U (x_{0})}{d x^{3}} (x - x_{0})^{2} - \dots \end{matrix}

$x-x_0$ の2次以上の項の寄与は十分小さいとみなすことができる. その結果,

\begin{aligned} (4) & f (x) & \sim - \frac{d^{2} U (x_{0})}{d x^{2}} (x - x_{0}) \\ = - \frac{d^{2} U (0)}{d x^{2}} x (∵ x_{0} \equiv 0) \end{aligned}

$\eqref{simple-x-force}$ $f(x) = - m \omega^2 x$ と同じ形の式となる.

$x_0$ 近傍での微小な振動であれば単振動とみなせることがわかった.

$x_0$ 近傍での微小な振動 (非単振動)

$\eqref{f-small-range}$ $\frac{d^2 U(x_0)}{dx^2} = 0$ となる場合である.

この場合は,

\begin{matrix} f (x) \sim 0 \end{matrix}

$x_0$ 近傍から開始しても力がかかっていないため振動しない. そのため単振動とならない.

$\frac{d^2 U(x_0)}{dx^2} = 0$ というのは, 凹でも凸でもない平坦なポテンシャルであることを意味しているため, 下図のようなポテンシャルの場合に対応する.

energy_general-potential-flat

単振動とならない場合のまとめ

以上から, 単振動とならない場合については

$x$ が大きく, ポテンシャルの概形が放物線ではない場合
$x_0$ $\frac{d^2 U (x_0)}{dx^2} = 0$ のように平坦で, 放物線とならない場合

であることがわかった.

抵抗のある場合の運動 (減衰振動)

概要

ここまでに見たように, 多くの現象が (部分的であったとしても) 単振動として扱うことができる.

一方, 現実世界で何かしらの振動現象を起こしたとしても, 実際には何かしらの振動を妨げる要因が働いて, 振動は減衰してしまう. 以下では, そのような減衰する振動 (減衰振動) の中でも最も簡単な, 速さに比例する抵抗力が作用する場合を考える.

例えば,

摩擦抵抗のあるバネ運動
水中におけるバネ運動 (水の粘性抵抗)

などが挙げられる.

下記では摩擦抵抗がある場合のバネによる運動について, 具体的に見ていく.

例: 抵抗がある場合のバネによる運動

運動方程式

spring_damped-vibration

のような摩擦 (抵抗力) のある系を考える. 摩擦抵抗や空気抵抗は質点の速度に比例する. この系の運動方程式は, 摩擦 (抵抗力) の項を追加して

\begin{matrix} (5) & m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - k x - Γ \frac{d x}{d t} \end{matrix}

となる.

一般解の導出

$m$ で割って, 整理すると

\begin{matrix} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + \frac{Γ}{m} \frac{d x}{d t} + \frac{k}{m} x = 0 \end{matrix}

となる. ここで,

\begin{matrix} (6) & γ \equiv \frac{Γ}{m}, ω_{0}^{2} \equiv \frac{k}{m} \end{matrix}

とおくと,

\begin{matrix} (7) & \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + γ \frac{d x}{d t} + ω_{0}^{2} x = 0 \end{matrix}

$x$ についての線形な微分方程式であるため, 解について重ね合わせの原理が成り立つ.

$t$ $x$ $t$ $x$ と同じ形になるような関数が想定できる (例えば指数関数). ゆえに, 解の概形を

\begin{matrix} (8) & x (t) = C e^{p t} (C, p : 複 素 数 と 考 え て お く) \end{matrix}

$\eqref{spring-resistance-eom}$ に代入して整理すると

\begin{aligned} \frac{d^{2}}{d t^{2}} C e^{p t} + γ \frac{d}{d t} C e^{p t} + ω_{0}^{2} C e^{p t} & = 0 \\ p^{2} e^{p t} + γ p e^{p t} + ω_{0}^{2} e^{p t} & = 0 \\ p^{2} + γ p + ω_{0}^{2} & = 0 \end{aligned}

となるので

二次方程式の解の公式 :
$\begin{matrix} \begin{matrix} a x^{2} + b x + c = 0 \\ \to x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{matrix} \end{matrix}$

$p$ について解くと

\begin{matrix} (9) & p = \frac{- γ \pm \sqrt{γ^{2} - 4 ω_{0}^{2}}}{2} \end{matrix}

となり,

\begin{aligned} p_{1} & = - \frac{γ}{2} + \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}} \\ p_{2} & = - \frac{γ}{2} - \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}} \end{aligned}

のように, それぞれ独立した解が導かれる.

したがって, これらを重ね合わせた解として, 一般解

抵抗がある場合のバネによる運動の一般解:

\begin{matrix} (10) & x (t) = C_{1} e^{p_{1} t} + C_{2} e^{p_{2} t} (C_{1}, C_{2} : 複 素 数 の 任 意 定 数) \end{matrix}

が導出された.

これで一般解が導出できたのだが, 抵抗力の大きさによって, 系の特徴をより捉えることができる. 具体的には

抵抗力がない場合
抵抗力が小さい場合
抵抗力が大きい場合
抵抗力が中間の大きさの場合

の4種類についてそれぞれ見ていく.

抵抗力がない場合

一般解

spring_damped-vibration

運動方程式:

\begin{matrix} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + γ \frac{d x}{d t} + ω_{0}^{2} x = 0 (γ \equiv \frac{Γ}{m}, ω_{0}^{2} \equiv \frac{k}{m}) \end{matrix}

$\Gamma=0 \leftrightarrow \gamma = 0$ となり, 摩擦力の項がないという場合に相当する.

$\gamma=0$ $\eqref{2-solution-formula} : {\displaystyle p = \frac{- \gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - 4 \omega_0^2}}{2}}$ は

\begin{aligned} p_{1} & = \frac{- γ + \sqrt{γ^{2} - 4 ω_{0}^{2}}}{2} = \frac{- 0 + \sqrt{0 - 4 ω_{0}^{2}}}{2} = i ω_{0} \\ p_{2} & = \frac{- γ - \sqrt{γ^{2} - 4 ω_{0}^{2}}}{2} = \frac{- 0 - \sqrt{0 - 4 ω_{0}^{2}}}{2} = - i ω_{0} \end{aligned}

$\eqref{damped-vibration-solution} : x(t) = C_1 e^{p_1 t} + C_2 e^{p_2 t}$ は

\begin{aligned} x (t) & = C_{1} e^{i ω_{0} t} + C_{2} e^{- i ω_{0} t} \\ ↓ オ イ ラ ー の 公 式 : e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ \\ = C_{1} (\cos ω_{0} t + i \sin ω_{0} t) + C_{2} (\cos (- ω_{0} t) + i \sin (- ω_{0} t)) \\ = C_{1} (\cos ω_{0} t + i \sin ω_{0} t) + C_{2} (\cos ω_{0} t - i \sin ω_{0} t) \\ = (C_{1} + C_{2}) \cos ω_{0} t + i (C_{1} - C_{2}) \sin ω_{0} t \end{aligned}

$C_1$ $C_2$ $x$ $A_1$ $A_2$

\begin{aligned} A_{1} & = C_{1} + C_{2} \\ A_{2} & = i (C_{1} - C_{2}) \end{aligned}

と置き換えると,

\begin{matrix} x (t) = A_{1} \cos ω_{0} t + A_{2} \sin ω_{0} t \end{matrix}

$A$ $\phi$

\begin{aligned} A_{1} & = A \cos ϕ \\ A_{2} & = - A \sin ϕ \end{aligned}

に置き換えると,

\begin{aligned} x (t) & = A \cos ϕ \cos ω_{0} t - A \sin ϕ \sin ω_{0} t \\ = A (\cos ϕ \cos ω_{0} t - \sin ϕ \sin ω_{0} t) \\ ↓ \cos の 加 法 定 理 : \cos (x_{1} \pm x_{2}) = \cos x_{1} \cos x_{2} \mp \sin x_{1} \sin x_{2} \\ = A \cos (ω_{0} t + ϕ) \end{aligned}

となり, これまでに求めたことのある単振動の一般解に帰着した.

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抵抗力が小さい場合

一般解

$\gamma$ $p$ $\eqref{2-solution-formula}$ :

\begin{matrix} p = \frac{- γ \pm \sqrt{γ^{2} - 4 ω_{0}^{2}}}{2} = - \frac{γ}{2} \pm \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}} \end{matrix}

の第2項の根号の中身が負になる程度」として考える. すなわち,

\begin{aligned} \frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2} & < 0 \\ \frac{γ}{2} & < ω_{0} \end{aligned}

$p$ は

\begin{matrix} p = - \frac{γ}{2} \pm i \sqrt{ω_{0}^{2} - \frac{γ^{2}}{4}} \end{matrix}

のように根号内の正負を明示的に記述できる. さらに, 簡単のため

\begin{matrix} (11) & \tilde{ω} = \sqrt{ω_{0}^{2} - \frac{γ^{2}}{4}} \end{matrix}

とおくと,

\begin{matrix} p = - \frac{γ}{2} \pm i \tilde{ω} \end{matrix}

$\eqref{damped-vibration-solution} : x(t) = C_1 e^{p_1 t} + C_2 e^{p_2 t}$ に代入すると

\begin{aligned} x (t) & = C_{1} e^{(- \frac{γ}{2} + i \tilde{ω}) t} + C_{2} e^{(- \frac{γ}{2} - i \tilde{ω}) t} \\ = e^{- \frac{γ}{2} t} (C_{1} e^{i \tilde{ω} t} + C_{2} e^{- i \tilde{ω} t}) \end{aligned}

となる. この右辺の括弧内を, 抵抗力なしの場合と同様に計算すると

\begin{aligned} C_{1} e^{i \tilde{ω} t} + C_{2} e^{- i \tilde{ω} t} & = C_{1} (\cos \tilde{ω} t + i \sin \tilde{ω} t) + C_{2} (\cos (- \tilde{ω} t) + i \sin (- \tilde{ω} t)) \\ = (C_{1} + C_{2}) \cos \tilde{ω} t + i (C_{1} - C_{2}) \sin \tilde{ω} t \\ = A_{1} \cos \tilde{ω} t + A_{2} \sin \tilde{ω} t (∵ A_{1} \equiv C_{1} + C_{2}, A_{2} \equiv i (C_{1} - C_{2})) \\ = A \cos ϕ \cos \tilde{ω} t - A \sin ϕ \sin \tilde{ω} t (∵ A_{1} \equiv A \cos ϕ, A_{2} \equiv - A \sin ϕ) \\ = A \cos (\tilde{ω} t + ϕ) \end{aligned}

となり, 単振動の一般解に帰着する.

$x(t)$ について書くと

抵抗力が小さい場合の一般解 (減衰振動) :

\begin{matrix} (12) & x (t) = e^{- \frac{γ}{2} t} A \cos (\tilde{ω} t + ϕ) \end{matrix}

となる. この一般解は

$A \cos (\tilde{\omega} t + \phi)$ は単振動を表し
$e^{-\frac{\gamma}{2} t} A$ $t$ についての指数関数のため, 時刻とともに指数的に減少する

ことから, 時刻とともに減衰していく単振動を表す. ゆえに 減衰振動 と呼ばれる.

$\eqref{omega-tilde-definition} : \tilde{\omega} = \sqrt{ \omega_0^2 - \frac{\gamma^2}{4} }$ $\gamma$ $\frac{\gamma^2}{4} < \omega_0^2$ のため,

\begin{matrix} \tilde{ω} < ω_{0} \end{matrix}

となる. これは, 摩擦抵抗があることによって, 通常の単振動よりも遅い振動となっていることを示す.

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初期値を設定した場合の解の例

$x_0$ までバネを伸ばし, 静止した状態から手を離す, という場合を考える. すなわち,

$x(t=0) = x_0$
$\left. \frac{dx}{dt} \right|_{t=0} = 0$

という場合の解を考える.

$\eqref{damped-vibration-solution-small-resistance} : {\displaystyle x(t) = e^{-\frac{\gamma}{2} t} A \cos (\tilde{\omega} t + \phi)}$ から

\begin{matrix} x (0) = e^{0} A \cos (0 + ϕ) = A \cos ϕ \end{matrix}

となるので, 初期条件から,

\begin{matrix} (13) & x_{0} = A \cos ϕ \end{matrix}

となる. また, 速度についても同様に計算する. 抵抗の小さい場合の一般解 $\eqref{damped-vibration-solution-small-resistance} : x(t) = e^{-\frac{\gamma}{2} t} A \cos (\tilde{\omega} t + \phi) $ を1階微分し

\begin{aligned} \frac{d x (t)}{d t} & = \frac{d}{d t} (e^{- \frac{γ}{2} t} A \cos (\tilde{ω} t + ϕ)) \\ = - \frac{γ}{2} e^{- \frac{γ}{2} t} A \cos (\tilde{ω} t + ϕ) + e^{- \frac{γ}{2} t} A (- \tilde{ω}) \sin (\tilde{ω} t + ϕ) \end{aligned}

$t=0$ の場合を考えれば

\begin{aligned} {\frac{d x}{d t} |}_{t = 0} & = - \frac{γ}{2} e^{0} A \cos (0 + ϕ) - e^{0} A \tilde{ω} \sin (0 + ϕ) \\ = - \frac{γ}{2} A \cos ϕ - A \tilde{ω} \sin ϕ \end{aligned}

$\left. \frac{dx}{dt} \right|_{t=0} = 0$ から

\begin{matrix} - \frac{γ}{2} A \cos ϕ - A \tilde{ω} \sin ϕ = 0 \end{matrix}

$\cos \phi$ $\sin \phi$ について整理すると,

\begin{matrix} \frac{\sin ϕ}{\cos ϕ} = \frac{- \frac{γ}{2} A}{A \tilde{ω}} = \frac{- \frac{γ}{2} \frac{1}{ω_{0}}}{\tilde{ω} \frac{1}{ω_{0}}} \end{matrix}

となるので,

\begin{matrix} \begin{matrix} \sin ϕ = \frac{- γ}{2 ω_{0}} \\ \cos ϕ = \frac{\tilde{ω}}{ω_{0}} \end{matrix} \end{matrix}

$\phi$ $\eqref{damped-vibration_small-restance_x_0}$ に代入すると

\begin{aligned} x_{0} & = A \frac{\tilde{ω}}{ω_{0}} \\ \to A & = \frac{ω_{0} x_{0}}{\tilde{ω}} \end{aligned}

$A$ についても求めることができた.

$A$ $\phi$ $\eqref{damped-vibration-solution-small-resistance}$ を

\begin{aligned} x (t) & = e^{- \frac{γ}{2} t} A \cos (\tilde{ω} t + ϕ) \\ = e^{- \frac{γ}{2} t} A (\cos \tilde{ω} t \cos ϕ + \sin \tilde{ω} t \sin ϕ) \end{aligned}

と整理して代入すると,

\begin{aligned} x (t) & = e^{- \frac{γ}{2} t} (\frac{ω_{0} x_{0}}{\tilde{ω}}) (\cos \tilde{ω} t (\frac{\tilde{ω}}{ω_{0}}) + \sin \tilde{ω} t (\frac{- γ}{2 ω_{0}})) \\ = x_{0} e^{- \frac{γ}{2} t} (\cos \tilde{ω} t - \frac{γ}{2 \tilde{ω}} \sin \tilde{ω} t) \end{aligned}

となり, 具体的な解が求められた.

抵抗力が大きい場合

一般解

$\gamma$ $p$ $\eqref{2-solution-formula}$ :

\begin{matrix} p = \frac{- γ \pm \sqrt{γ^{2} - 4 ω_{0}^{2}}}{2} = - \frac{γ}{2} \pm \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}} \end{matrix}

の第2項の根号の中身が正になる程度」として考える. すなわち,

\begin{aligned} \frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2} & > 0 \\ \frac{γ}{2} & > ω_{0} \end{aligned}

$p$ は

\begin{matrix} (14) & p = - \frac{γ}{2} \pm \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}} \end{matrix}

$\frac{\gamma}{2} > \omega_0$ であることから

\begin{matrix} 0 < \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}} < \frac{γ}{2} \end{matrix}

$\eqref{damped-vibration_strong-resistance_p}$ $p$ は負になる:

\begin{aligned} p & = - \frac{γ}{2} \pm \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}} < 0 \\ ↓ \\ (15) & p_{1} & = - \frac{γ}{2} + \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}} < 0 \\ (16) & p_{2} & = - \frac{γ}{2} - \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}} < 0 \\ (17) & \to p_{1} - p_{2} & = 2 \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}} > 0 \end{aligned}

したがって, 一般解は

抵抗力が大きい場合の一般解 (過減衰) :

\begin{matrix} (18) & x (t) = C_{1} e^{p_{1} t} + C_{2} e^{p_{2} t} (C_{1}, C_{2} : 実 数 の 任 意 定 数) \end{matrix}

$\eqref{damped-vibration-solution} : x(t) = C_1 e^{p_1 t} + C_2 e^{p_2 t}$ と同じ形のままとなる.

$p_1$ $p_2$ がともに負の実数のため, この解は振動せずに減衰する. したがって, この解は 過減衰 と呼ばれる.

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初期条件との対応

$C_1$ $C_2$ $t=0$ において,

$x(t=0) = x_0$
$\left. \frac{dx}{dt} \right|_{t=0} = v_0$

とする.

$\eqref{over-damping-solution} : x(t) = C_1 e^{p_1 t} + C_2 e^{p_2 t}$ $t=0$ を考えると,

\begin{matrix} x (0) = C_{1} e^{0} + C_{2} e^{0} = C_{1} + C_{2} \end{matrix}

となるので, 初期位置を考えると

\begin{matrix} (19) & C_{1} + C_{2} = x_{0} \end{matrix}

となる.

$\eqref{over-damping-solution} : x(t) = C_1 e^{p_1 t} + C_2 e^{p_2 t}$ $t$ で微分すると,

\begin{matrix} (20) & \frac{d x (t)}{d t} = C_{1} p_{1} e^{p_{1} t} + C_{2} p_{2} e^{p_{2} t} \end{matrix}

$t=0$ において

\begin{matrix} {\frac{d x}{d t} |}_{t = 0} = C_{1} p_{1} e^{0} + C_{2} p_{2} e^{0} = C_{1} p_{1} + C_{2} p_{2} \end{matrix}

$\left. \frac{dx}{dt} \right|_{t=0} = v_0$ を考えると

\begin{matrix} (21) & C_{1} p_{1} + C_{2} p_{2} = v_{0} \end{matrix}

となる.

$\eqref{over-damping_x0}$ $\eqref{over-damping_v0}$ $C_1$ $C_2$ $\eqref{over-damping_x0}$ $C_1 + C_2 = x_0$ は

\begin{matrix} C_{2} = x_{0} - C_{1} \end{matrix}

となるから

\begin{aligned} C_{1} p_{1} + (x_{0} - C_{1}) p_{2} & = v_{0} \\ C_{1} (p_{1} - p_{2}) + x_{0} p_{2} & = v_{0} \\ C_{1} & = \frac{v_{0} - x_{0} p_{2}}{p_{1} - p_{2}} \end{aligned}

となり,

\begin{matrix} C_{2} = x_{0} - \frac{v_{0} - x_{0} p_{2}}{p_{1} - p_{2}} = \frac{x_{0} p_{1} - x_{0} p_{2} - v_{0} + x_{0} p_{2}}{p_{1} - p_{2}} = - \frac{v_{0} - x_{0} p_{1}}{p_{1} - p_{2}} \end{matrix}

となる.

まとめると

\begin{aligned} C_{1} & = \frac{v_{0} - x_{0} p_{2}}{p_{1} - p_{2}} \\ C_{2} & = - \frac{v_{0} - x_{0} p_{1}}{p_{1} - p_{2}} \end{aligned}

$C_1$ $C_2$ が求まった.

$x_0 > 0$ $v_0$ $x(t)$ を考えてみる.

$v_0 > 0$ の場合

$\eqref{p1}$ $\eqref{p2}$ $\eqref{p1-p2}$ から

\begin{aligned} p_{1} & < 0 \\ p_{2} & < 0 \\ p_{1} - p_{2} > 0 & \leftrightarrow | p_{1} | < | p_{2} | \end{aligned}

であり, 条件から

\begin{array}{r} x_{0} > 0 \\ v_{0} > 0 \end{array}

$C_1$ $C_2$ は

\begin{matrix} \begin{matrix} C_{1} = \frac{v_{0} - x_{0} p_{2}}{p_{1} - p_{2}} = \frac{(正) - (正) (負)}{(正)} > 0 \\ C_{2} = - \frac{v_{0} - x_{0} p_{1}}{p_{1} - p_{2}} = - \frac{(正) - (正) (負)}{(正)} < 0 \end{matrix} \end{matrix}

となり,

\begin{matrix} C_{1} - | C_{2} | = \frac{v_{0} - x_{0} p_{2}}{p_{1} - p_{2}} - \frac{v_{0} - x_{0} p_{1}}{p_{1} - p_{2}} = \frac{x_{0} (p_{1} - p_{2})}{p_{1} - p_{2}} = x_{0} > 0 \end{matrix}

となる. したがって, 過減衰の一般解:

\begin{aligned} x (t) & = C_{1} e^{p_{1} t} + C_{2} e^{p_{2} t} \\ = (正 & 大) e^{(負 & 絶 対 値 小) t} + (負 & 絶 対 値 小) e^{(負 & 絶 対 値 大) t} \end{aligned}

$x(t)$ は常に正であることがわかる.

実際にプロットしてみると下図のようになる.

グラフ	アニメ (スクショ)	アニメ

$x=0$ に向かって単調に減少する.

$t_a$ $t_a$ $\eqref{over-damping_v}$ $0$ になる場合を考えると

\begin{matrix} {\frac{d x (t)}{d t} |}_{t = t_{a}} = C_{1} p_{1} e^{p_{1} t_{a}} + C_{2} p_{2} e^{p_{2} t_{a}} = 0 \end{matrix}

$t_a$ について解くと,

\begin{matrix} \begin{matrix} C_{2} p_{2} e^{p_{2} t_{a}} = - C_{1} p_{1} e^{p_{1} t_{a}} \\ \frac{e^{p_{2} t_{a}}}{e^{p_{1} t_{a}}} = - \frac{C_{1} p_{1}}{C_{2} p_{2}} \\ e^{(p_{2} - p_{1}) t_{a}} = - \frac{C_{1} p_{1}}{C_{2} p_{2}} \end{matrix} \end{matrix}

となり,

\begin{matrix} t_{a} = - \frac{1}{p_{1} - p_{2}} \log (- \frac{C_{1} p_{1}}{C_{2} p_{2}}) \end{matrix}

$t_a$ が求められた.

$t_a$ を計算してみると,

\begin{matrix} t_{a} \sim 0.55 \end{matrix}

$t_a$ にて極大になっていることが確かめられる.

$v_0 = 0$ の場合

$\eqref{p1}$ $\eqref{p2}$ $\eqref{p1-p2}$ から

\begin{aligned} p_{1} & < 0 \\ p_{2} & < 0 \\ p_{1} - p_{2} > 0 & \leftrightarrow | p_{1} | < | p_{2} | \end{aligned}

であり, 条件から

\begin{array}{r} x_{0} > 0 \\ v_{0} = 0 \end{array}

$C_1$ $C_2$ は

\begin{matrix} \begin{matrix} C_{1} = \frac{v_{0} - x_{0} p_{2}}{p_{1} - p_{2}} = \frac{0 - (正) (負)}{(正)} > 0 \\ C_{2} = - \frac{v_{0} - x_{0} p_{1}}{p_{1} - p_{2}} = - \frac{0 - (正) (負)}{(正)} < 0 \end{matrix} \end{matrix}

となり,

\begin{matrix} C_{1} - | C_{2} | = \frac{0 - x_{0} p_{2}}{p_{1} - p_{2}} - \frac{0 - x_{0} p_{1}}{p_{1} - p_{2}} = \frac{x_{0} (p_{1} - p_{2})}{p_{1} - p_{2}} = x_{0} > 0 \end{matrix}

となる. したがって, 過減衰の一般解:

\begin{aligned} x (t) & = C_{1} e^{p_{1} t} + C_{2} e^{p_{2} t} \\ = (正 & 大) e^{(負 & 絶 対 値 小) t} + (負 & 絶 対 値 小) e^{(負 & 絶 対 値 大) t} \end{aligned}

$x(t)$ は常に正であることがわかる.

実際にプロットしてみると下図のようになる.

グラフ	アニメ (スクショ)	アニメ

$t=0$ $x$ $x=0$ に近づく.

$v_0 < 0$ の場合

$\eqref{p1}$ $\eqref{p2}$ $\eqref{p1-p2}$ から

\begin{aligned} p_{1} & < 0 \\ p_{2} & < 0 \\ p_{1} - p_{2} > 0 \leftrightarrow - p_{1} & < - p_{2} \leftrightarrow | p_{1} | < | p_{2} | \end{aligned}

であり, 条件から

\begin{array}{r} x_{0} > 0 \\ v_{0} < 0 \end{array}

$C_1$ $C_2$ は

\begin{matrix} (22) & \begin{matrix} C_{1} = \frac{v_{0} - p_{2} x_{0}}{p_{1} - p_{2}} = \frac{(負) - (負) (正)}{(正)} = \frac{(負) + (正)}{(正)} \\ C_{2} = - \frac{v_{0} - p_{1} x_{0}}{p_{1} - p_{2}} = - \frac{(負) - (負) (正)}{(正)} = - \frac{(負) + (正)}{(正)} \end{matrix} \end{matrix}

となる.

$- p_1 x_0$ $- p_2 x_0$ の正負は下図:

over-damping_v0-less-0-pattern

$|v_0|$ はその大きさによって

$|v_0| \leqq - p_1 x_0$ の場合
$- p_1 x_0 < |v_0| \leqq - p_2 x_0$ の場合
$- p_2 x_0 < |v_0|$ の場合

の3つの場合が考えられる.

$|v_0| \leqq - p_1 x_0$ の場合

\begin{matrix} \begin{matrix} | v_{0} | ≦ - p_{1} x_{0} \\ \leftrightarrow - v_{0} ≦ - p_{1} x_{0} \end{matrix} \end{matrix}

なので,

\begin{aligned} v_{0} & ≧ p_{1} x_{0} \\ \leftrightarrow v_{0} - p_{2} x_{0} & ≧ p_{1} x_{0} - p_{2} x_{0} \\ \leftrightarrow \frac{v_{0} - p_{2} x_{0}}{p_{1} - p_{2}} & ≧ \frac{p_{1} x_{0} - p_{2} x_{0}}{p_{1} - p_{2}} \\ \leftrightarrow C_{1} & ≧ \frac{p_{1} x_{0} - p_{2} x_{0}}{p_{1} - p_{2}} = x_{0} > 0 \\ \leftrightarrow C_{1} & > 0 \end{aligned}

や

\begin{aligned} - v_{0} & ≦ - p_{1} x_{0} \\ \leftrightarrow - v_{0} + p_{1} x_{0} & ≦ - p_{1} x_{0} + p_{1} x_{0} \\ \leftrightarrow \frac{- v_{0} + p_{1} x_{0}}{p_{1} - p_{2}} & ≦ 0 \\ \leftrightarrow C_{2} & ≦ 0 \end{aligned}

や

\begin{aligned} C_{1} - | C_{2} | & = C_{1} - (- C_{2}) \\ = \frac{v_{0} - p_{2} x_{0}}{p_{1} - p_{2}} - (+ \frac{v_{0} - p_{1} x_{0}}{p_{1} - p_{2}}) \\ = x_{0} > 0 \\ \leftrightarrow C_{1} & > | C_{2} | \end{aligned}

となる. 以上をまとめると

\begin{aligned} p_{1} & < 0 \\ p_{2} & < 0 \\ p_{1} > p_{2} & \leftrightarrow | p_{1} | < | p_{2} | \\ C_{1} & > 0 \\ C_{2} & ≦ 0 \\ C_{1} & > | C_{2} | \end{aligned}

$\eqref{over-damping-solution}$ :

\begin{matrix} x (t) = C_{1} e^{p_{1} t} + C_{2} e^{p_{2} t} \end{matrix}

に当てはめると,

\begin{matrix} x (t) = (正 & 大) e^{(負 & 絶 対 値 小) t} + (負 & 絶 対 値 小) e^{(負 & 絶 対 値 大) t} \end{matrix}

$x(t)$ は常に正であることがわかる.

また,

\begin{aligned} C_{1} | p_{1} | - | C_{2} | | p_{2} | & = C_{1} (- p_{1}) - (- C_{2}) (- p_{2}) \\ = - \frac{v_{0} - p_{2} x_{0}}{p_{1} - p_{2}} p_{1} + (+ \frac{v_{0} - p_{1} x_{0}}{p_{1} - p_{2}}) p_{2} \\ = - v_{0} \frac{p_{1} - p_{2}}{p_{1} - p_{2}} \\ = - v_{0} > 0 \\ \leftrightarrow C_{1} | p_{1} | & > | C_{2} | | p_{2} | \end{aligned}

$\eqref{over-damping_v}$ は

\begin{aligned} \frac{d x (t)}{d t} & = C_{1} p_{1} e^{p_{1} t} + C_{2} p_{2} e^{p_{2} t} \\ = (負 & 絶 対 値 大) e^{(負 & 絶 対 値 小) t} + (正 & 絶 対 値 小) e^{(負 & 絶 対 値 大) t} \\ < 0 \end{aligned}

のように常に負となるため, 単調減少であるとわかる.

実際にプロットしてみると下図のようになる.

グラフ	アニメ (スクショ)	アニメ

$x=0$ に近づくことが確かめられた.

$- p_1 x_0 < |v_0| \leqq - p_2 x_0$ の場合

\begin{matrix} \begin{matrix} - p_{1} x_{0} < | v_{0} | ≦ - p_{2} x_{0} \\ \leftrightarrow - p_{1} x_{0} < - v_{0} ≦ - p_{2} x_{0} \end{matrix} \end{matrix}

なので,

\begin{aligned} v_{0} & ≧ p_{2} x_{0} \\ \leftrightarrow v_{0} - p_{2} x_{0} & ≧ p_{2} x_{0} - p_{2} x_{0} \\ \leftrightarrow \frac{v_{0} - p_{2} x_{0}}{p_{1} - p_{2}} & ≧ 0 \\ \leftrightarrow C_{1} & ≧ 0 \end{aligned}

や

\begin{aligned} - p_{1} x_{0} & < - v_{0} \\ \leftrightarrow - p_{1} x_{0} + p_{1} x_{0} & < - v_{0} + p_{1} x_{0} \\ \leftrightarrow 0 & < \frac{- v_{0} + p_{1} x_{0}}{p_{1} - p_{2}} \\ \leftrightarrow C_{2} & > 0 \end{aligned}

となる. 以上をまとめると

\begin{aligned} p_{1} & < 0 \\ p_{2} & < 0 \\ p_{1} > p_{2} & \leftrightarrow | p_{1} | < | p_{2} | \\ C_{1} & ≧ 0 \\ C_{2} & > 0 \end{aligned}

$\eqref{over-damping-solution}$ :

\begin{matrix} x (t) = C_{1} e^{p_{1} t} + C_{2} e^{p_{2} t} \end{matrix}

に当てはめると,

\begin{matrix} x (t) = (正) e^{(負 & 絶 対 値 小) t} + (正) e^{(負 & 絶 対 値 大) t} \end{matrix}

$x(t)$ は常に正であることがわかる.

$\eqref{over-damping_v}$ は

\begin{aligned} \frac{d x (t)}{d t} & = C_{1} p_{1} e^{p_{1} t} + C_{2} p_{2} e^{p_{2} t} \\ = (負) e^{(負 & 絶 対 値 小) t} + (負) e^{(負 & 絶 対 値 大) t} \\ < 0 \end{aligned}

のように常に負となるため, 単調減少であるとわかる.

実際にプロットしてみると下図のようになる.

グラフ	アニメ (スクショ)	アニメ

$x=0$ に近づくことが確かめられた.

$- p_2 x_0 < |v_0|$ の場合

\begin{matrix} \begin{matrix} - p_{2} x_{0} < | v_{0} | \\ \leftrightarrow - p_{2} x_{0} < - v_{0} \end{matrix} \end{matrix}

なので,

\begin{aligned} v_{0} & < p_{2} x_{0} \\ \leftrightarrow v_{0} - p_{2} x_{0} & < p_{2} x_{0} - p_{2} x_{0} \\ \leftrightarrow \frac{v_{0} - p_{2} x_{0}}{p_{1} - p_{2}} & < 0 \\ \leftrightarrow C_{1} & < 0 \end{aligned}

や

\begin{aligned} - p_{2} x_{0} & < - v_{0} \\ \leftrightarrow - p_{2} x_{0} + p_{1} x_{0} & < - v_{0} + p_{1} x_{0} \\ \leftrightarrow \frac{- p_{2} x_{0} + p_{1} x_{0}}{p_{1} - p_{2}} & < \frac{- v_{0} + p_{1} x_{0}}{p_{1} - p_{2}} \\ \leftrightarrow 0 < x_{0} & < C_{2} \\ \leftrightarrow 0 & < C_{2} \end{aligned}

や

\begin{aligned} C_{2} - | C_{1} | & = C_{2} - (- C_{1}) \\ = \frac{- v_{0} + p_{1} x_{0}}{p_{1} - p_{2}} - (- \frac{v_{0} - p_{2} x_{0}}{p_{1} - p_{2}}) \\ = x_{0} > 0 \\ \leftrightarrow C_{2} & > | C_{1} | \end{aligned}

となる. 以上をまとめると

\begin{aligned} p_{1} & < 0 \\ p_{2} & < 0 \\ p_{1} > p_{2} & \leftrightarrow | p_{1} | < | p_{2} | \\ C_{1} & < 0 \\ C_{2} & > 0 \\ C_{2} & > | C_{1} | \end{aligned}

である.

実際にプロットしてみると下図のようになる.

グラフ	アニメ (スクショ)	アニメ

$x=0$ に近づくことが確かめられた.

抵抗力が中間の大きさの場合

一般解

最後に, 抵抗力が中間の大きさ, すなわち,

\begin{matrix} \frac{γ}{2} = ω_{0} \end{matrix}

という場合を考える.

$p$ $\eqref{2-solution-formula}$ :

\begin{matrix} p = \frac{- γ \pm \sqrt{γ^{2} - 4 ω_{0}^{2}}}{2} = - \frac{γ}{2} \pm \sqrt{\frac{γ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}} \end{matrix}

$0$ になるので,

\begin{matrix} p = - \frac{γ}{2} \end{matrix}

$\eqref{solution-shape}$ から,

\begin{matrix} x (t) = C e^{p t} = C e^{- \frac{γ}{2} t} \end{matrix}

$\eqref{damped-vibration-solution}$ :

\begin{matrix} x (t) = C_{1} e^{p_{1} t} + C_{2} e^{p_{2} t} \end{matrix}

のように一般解を作ることができない.

$t$ $u(t)$ を考え, 仮に

\begin{matrix} x (t) = u (t) e^{- \frac{γ}{2} t} \end{matrix}

$\eqref{spring-resistance-eom}$ :

\begin{matrix} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + γ \frac{d x}{d t} + ω_{0}^{2} x = 0 \end{matrix}

$u(t)$ を決められるかどうか試してみる.

実際,

\begin{aligned} \frac{d x}{d t} & = \frac{d}{d t} (u (t) e^{- \frac{γ}{2} t}) \\ = \frac{d u (t)}{d t} e^{- \frac{γ}{2} t} - \frac{γ}{2} u (t) e^{- \frac{γ}{2} t} \\ = (\frac{d u (t)}{d t} - \frac{γ}{2} u (t)) e^{- \frac{γ}{2} t} \end{aligned}

であり,

\begin{aligned} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} & = \frac{d}{d t} (\frac{d u (t)}{d t} e^{- \frac{γ}{2} t} - \frac{γ}{2} u (t) e^{- \frac{γ}{2} t}) \\ = \frac{d^{2} u (t)}{d t^{2}} e^{- \frac{γ}{2} t} - \frac{γ}{2} \frac{d u (t)}{d t} e^{- \frac{γ}{2} t} - \frac{γ}{2} \frac{d u (t)}{d t} e^{- \frac{γ}{2} t} + \frac{γ^{2}}{2^{2}} u (t) e^{- \frac{γ}{2} t} \\ = (\frac{d^{2} u (t)}{d t^{2}} - γ \frac{d u (t)}{d t} + \frac{γ^{2}}{2^{2}} u (t)) e^{- \frac{γ}{2} t} \end{aligned}

$\eqref{spring-resistance-eom}$ に代入すると,

\begin{matrix} (\frac{d^{2} u (t)}{d t^{2}} - γ \frac{d u (t)}{d t} + \frac{γ^{2}}{2^{2}} u (t)) e^{- \frac{γ}{2} t} + γ (\frac{d u (t)}{d t} - \frac{γ}{2} u (t)) e^{- \frac{γ}{2} t} + ω_{0}^{2} u (t) e^{- \frac{γ}{2} t} = 0 \end{matrix}

から,

\begin{matrix} (\frac{d^{2} u (t)}{d t^{2}} - \frac{γ^{2}}{4} u (t) + ω_{0}^{2} u (t)) e^{- \frac{γ}{2} t} = 0 \end{matrix}

$\frac{\gamma}{2} = \omega_0$ なので,

\begin{matrix} \frac{d^{2} u (t)}{d t^{2}} = 0 \end{matrix}

$u(t)$ は

\begin{matrix} u (t) = C_{1} t + C_{2} (C_{1}, C_{2} : 任 意 定 数) \end{matrix}

となるため, 一般解:

抵抗力が中間の大きさの場合の一般解 (臨界減衰) :

\begin{matrix} (23) & x (t) = (C_{1} t + C_{2}) e^{- \frac{γ}{2} t} \end{matrix}

が導出できた. これは振動解ではなく, 臨界減衰と呼ばれる.

初期条件との対応

$C_1$ $C_2$ $t=0$ において,

$x(t=0) = x_0$
$\left.\frac{dx}{dt} \right|_{t=0} = v_0$

とする.

$\eqref{critical-damping-solution}$ $t=0$ を考えると,

\begin{matrix} x (0) = (C_{1} 0 + C_{2}) e^{0} = C_{2} \end{matrix}

となるので, 初期位置を考えると

\begin{matrix} C_{2} = x_{0} \end{matrix}

となる.

$\eqref{critical-damping-solution}$ $t$ で微分すると,

\begin{aligned} \frac{d x (t)}{d t} & = C_{1} e^{- \frac{γ}{2} t} - \frac{γ}{2} (C_{1} t + C_{2}) e^{- \frac{γ}{2} t} \\ = (C_{1} - \frac{γ}{2} C_{2} - \frac{γ}{2} C_{1} t) e^{- \frac{γ}{2} t} \end{aligned}

$t=0$ において

\begin{aligned} {\frac{d x}{d t} |}_{t = 0} & = (C_{1} - \frac{γ}{2} C_{2} - \frac{γ}{2} C_{1} 0) e^{- \frac{γ}{2} 0} \\ = C_{1} - \frac{γ}{2} C_{2} \end{aligned}

となるので, 初速度を考えると

\begin{matrix} \begin{matrix} C_{1} - \frac{γ}{2} C_{2} = v_{0} \\ \leftrightarrow C_{1} = v_{0} + \frac{γ}{2} x_{0} \end{matrix} \end{matrix}

となる.

ゆえに一般解とその速度は

\begin{matrix} \begin{matrix} x (t) = ((v_{0} + \frac{γ}{2} x_{0}) t + x_{0}) e^{- \frac{γ}{2} t} \\ \frac{d x (t)}{d t} = (v_{0} - \frac{γ}{2} (v_{0} + \frac{γ}{2} x_{0}) t) e^{- \frac{γ}{2} t} \end{matrix} \end{matrix}

となる.

初速度によって,

$v_0 > 0$
$v_0 = 0$
$v_0 < 0$ $|v_0| \leqq \frac{\gamma}{2} x_0$
$v_0 < 0$ $|v_0| > \frac{\gamma}{2} x_0$

の4パターンに分かれる.

具体的な計算は省くが, 実際にプロットすると下図のようになる.

エネルギーの散逸

概要

今回の系では, 抵抗力の大小で変化の仕方は異なるとはいえ, 元々, 大きく運動していたものがだんだんと動かなくなっていく点は共通である.

すると, 元々動いていたエネルギーはどこへいったのか? → 摩擦 (抵抗力) が熱に変換され, 外界へとエネルギーが放出されることで, バネとおもりの部分のエネルギーが減少している. (もちろん, 熱として放出された部分も含めた全体の系なら, エネルギーは保存している)

このような現象を エネルギーの散逸 と呼ぶ.

具体例

上記の, 摩擦のある場合のバネによる運動において, 抵抗力が非常に小さい場合:

\begin{matrix} \frac{γ}{2} ≪ ω_{0} \end{matrix}

に, どのようにエネルギーが散逸していくかをみていく.

運動方程式は, 同じで

\begin{matrix} m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - k x - Γ \frac{d x}{d t} \end{matrix}

である.

$\frac{dx}{dt}$ をかけ

\begin{matrix} m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} \frac{d x}{d t} + k x \frac{d x}{d t} + Γ {(\frac{d x}{d t})}^{2} = 0 \end{matrix}

$t$ で積分をすると

\begin{matrix} \int m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} \frac{d x}{d t} d t + \int k x \frac{d x}{d t} d t + \int Γ {(\frac{d x}{d t})}^{2} d t = \int 0 d t \end{matrix}

から, エネルギー保存の式

\begin{matrix} \frac{1}{2} m {(\frac{d x}{d t})}^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} + \int Γ {(\frac{d x}{d t})}^{2} d t = C (C : 積 分 定 数) \end{matrix}

が導出できる. 各項はそれぞれ

$\frac{1}{2} m \left( \frac{dx}{dt} \right)^2$ : おもりの運動エネルギー
$\frac{1}{2} kx^2$ : バネの弾性エネルギー
$\int \Gamma \left(\frac{dx}{dt} \right)^2 dt$ : 抵抗によって熱として散逸するエネルギー

を意味する. 抵抗を含む全体系としてはエネルギーが保存していることがわかる.

$E(t)$ を

\begin{matrix} E (t) \equiv \frac{1}{2} m {(\frac{d x}{d t})}^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} \end{matrix}

とすれば, この部分からエネルギーが段々と減っていくはずである.

具体的に計算してみる.

$E(t)$ $\frac{\gamma}{2} < \omega_0$ $\eqref{damped-vibration-solution-small-resistance}$ :

\begin{matrix} x (t) = e^{- \frac{γ}{2} t} A \cos (\tilde{ω} t + ϕ) \end{matrix}

を代入すると,

\begin{aligned} E (t) & = \frac{1}{2} m {(\frac{d}{d t} (e^{- \frac{γ}{2} t} A \cos (\tilde{ω} t + ϕ)))}^{2} + \frac{1}{2} k {(e^{- \frac{γ}{2} t} A \cos (\tilde{ω} t + ϕ))}^{2} \\ = \frac{1}{2} m {(- \frac{γ}{2} e^{- \frac{γ}{2} t} A \cos (\tilde{ω} t + ϕ) + e^{- \frac{γ}{2} t} A (- \tilde{ω}) \sin (\tilde{ω} t + ϕ))}^{2} + \frac{1}{2} k e^{- γ t} A^{2} \cos^{2} (\tilde{ω} t + ϕ) \\ = \frac{1}{2} m e^{- γ t} A^{2} {\tilde{ω}}^{2} {(\frac{1}{2} \frac{γ}{\tilde{ω}} \cos (\tilde{ω} t + ϕ) + \sin (\tilde{ω} t + ϕ))}^{2} + \frac{1}{2} k e^{- γ t} A^{2} \cos^{2} (\tilde{ω} t + ϕ) \\ = e^{- γ t} [\frac{1}{2} m A^{2} {\tilde{ω}}^{2} {(\frac{1}{2} \frac{γ}{\tilde{ω}} \cos (\tilde{ω} t + ϕ) + \sin (\tilde{ω} t + ϕ))}^{2} + \frac{1}{2} k A^{2} \cos^{2} (\tilde{ω} t + ϕ)] \end{aligned}

$\gamma$ は正の実数なので, おもりの力学的エネルギーは指数関数的に減少していくことがわかる.

$\frac{\gamma}{2} \ll \omega_0$ $\tilde{\omega}$ $\eqref{omega-tilde-definition} : \tilde{\omega} = \sqrt{ \omega_0^2 - \frac{\gamma^2}{4} }$ より

\begin{matrix} \tilde{ω} = \sqrt{ω_{0}^{2} - \frac{γ^{2}}{4}} \sim ω_{0} \end{matrix}

となる. また,

\begin{matrix} \frac{γ}{\tilde{ω}} \sim 0 \end{matrix}

$E(t)$ は,

\begin{aligned} E (t) & = \frac{1}{2} m e^{- γ t} A^{2} ω_{0}^{2} {(\frac{1}{2} 0 \cos (ω_{0} t + ϕ) + \sin (ω_{0} t + ϕ))}^{2} + \frac{1}{2} k e^{- γ t} A^{2} \cos^{2} (ω_{0} t + ϕ) \\ = \frac{1}{2} m e^{- γ t} A^{2} ω_{0}^{2} \sin^{2} (ω_{0} t + ϕ) + \frac{1}{2} k e^{- γ t} A^{2} \cos^{2} (ω_{0} t + ϕ) \end{aligned}

$\omega_0$ $\eqref{gamma-omega0-definition}$ $\omega_0^2 \equiv \frac{k}{m}$ を用いると

\begin{aligned} E (t) & = \frac{1}{2} k e^{- γ t} A^{2} \sin^{2} (ω_{0} t + ϕ) + \frac{1}{2} k e^{- γ t} A^{2} \cos^{2} (ω_{0} t + ϕ) \\ = \frac{1}{2} k e^{- γ t} A^{2} (\sin^{2} (ω_{0} t + ϕ) + \cos^{2} (ω_{0} t + ϕ)) \\ = \frac{1}{2} k e^{- γ t} A^{2} \end{aligned}

$E(t)$ の時間的変化の式を導出できた.

$\gamma$ は正の実数なので, おもりの力学的エネルギーは指数関数的に減少していくことがわかる. また, その減少分は, 抵抗力が熱として放出していった分に相当する.

場合分け	図	アニメ (スクショ)	アニメ
$v_0 > 0$
$v_0 = 0$
$v_0 < 0$ $\|v_0\|\leqq \frac{\gamma}{2} x_0$
$v_0 < 0$ $\|v_0\|> \frac{\gamma}{2} x_0$

振動波動論 第3回

コメント

線形振動

ポテンシャル中の運動

一般的な力 f(x)f(x) の場合のエネルギーの概要

例

単振動のポテンシャル

一般的なポテンシャル

xx の制限なし

極小点x0x_0 近傍での微小な振動 (単振動)

極小点x0x_0 近傍での微小な振動 (非単振動)

単振動とならない場合のまとめ

抵抗のある場合の運動 (減衰振動)

概要

例: 抵抗がある場合のバネによる運動

運動方程式

一般解の導出

抵抗力がない場合

一般解

抵抗力が小さい場合

一般解

初期値を設定した場合の解の例

抵抗力が大きい場合

一般解

初期条件との対応

v0>0v_0 > 0の場合

v0=0v_0 = 0の場合

v0<0v_0 < 0の場合

|v0|≦−p1x0|v_0| \leqq - p_1 x_0 の場合

−p1x0<|v0|≦−p2x0- p_1 x_0 < |v_0| \leqq - p_2 x_0 の場合

−p2x0<|v0|- p_2 x_0 < |v_0| の場合

抵抗力が中間の大きさの場合

一般解

初期条件との対応

エネルギーの散逸

概要

具体例

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ポテンシャル

減衰振動

過減衰

振動波動論第3回

$f(x)$ の場合のエネルギーの概要

$x$ の制限なし

$x_0$ 近傍での微小な振動 (単振動)

$x_0$ 近傍での微小な振動 (非単振動)

$v_0 > 0$ の場合

$v_0 = 0$ の場合

$v_0 < 0$ の場合

$|v_0| \leqq - p_1 x_0$ の場合

$- p_1 x_0 < |v_0| \leqq - p_2 x_0$ の場合

$- p_2 x_0 < |v_0|$ の場合