2024-04-17 2024-04-16
復習問題

振動波動論第2回復習問題

振動波動論第2回復習問題実施・提出期間問題単振動の一般解の様々な表現重ね合わせの原理まとめ解答単振動の一般解の様々な表現1. この系におけるsin形の一般解を求めよ2. 1で求めたsin形の一般解が, cos形の一般解と等価であることを確かめよ3. 複素関数の微分方程式: $\frac{d^2z}{dt^2} = - \omega^2 z$ において, $z$ の複素解を導出せよ4. 3で求めた $z$ の複素解の実部をとり, 単振動のcos形の一般解と対応することを確かめよ5. 3で求めた $z$ の複素解の虚部をとり, 単振動のsin形の一般解と対応することを確かめよ重ね合わせの原理1. 重ね合わせの原理はどのような微分方程式に対して成り立つか?2. 単振動の共通の運動方程式 : $\frac{d^2 x}{d t^2} = - \omega^2 x$ において, 重ね合わせの解が導かれることを確認せよ. 3. 微分方程式にどのような項があると重ね合わせの原理は成立しないか?4. 実際に問3のような項がある場合に重ね合わせの原理が成立しないことを確認せよ.

実施・提出期間

締切: 2024/04/24 (水) 13:30 までに, 下記の問題を実施し, 提出してください.

注意事項

手書きで計算したものを1つのpdfにまとめて提出してください
- 紙に直筆したものを写真 or スキャンする場合は, 中身がハッキリ読めることを確認してください
- タブレット等を用いて電子的に手書きするのもOKです
- 画像ファイルをそのまま何枚も提出したり, zipにまとめて提出したものは受取不可とします
授業資料の解答を丸写しするのではなく, 授業内容を思い出しながら自分の手で計算するようにしてください
授業直後に復習することはもちろん素晴らしいです!! その後, なるべく数日空けてから再学習として本課題を実施し, 提出することを是非試してみてください.

問題

単振動の一般解の様々な表現

$m$ $x$ $k$ とする.

simple-harmonic-oscillation_spring_solution

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ とおくと

\begin{matrix} (1) & \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - ω^{2} x \end{matrix}

という2階の線形微分方程式で表される.

この系におけるsin形の一般解を求めよ
1で求めたsin形の一般解が, cos形の一般解と等価であることを確かめよ
複素関数の微分方程式:
$\begin{matrix} (2) & \frac{d^{2} z}{d t^{2}} = - ω^{2} z \end{matrix}$
$z$ の複素解を導出せよ
$z$ の複素解の実部をとり, 単振動のcos形の一般解と対応することを確かめよ
$z$ の複素解の虚部をとり, 単振動のsin形の一般解と対応することを確かめよ

重ね合わせの原理

重ね合わせの原理はどのような微分方程式に対して成り立つか?
単振動の共通の運動方程式 :
$\begin{matrix} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - ω^{2} x \end{matrix}$
において, 重ね合わせの解が導かれることを確認せよ.
微分方程式にどのような項があると重ね合わせの原理は成立しないか?
実際に問3のような項がある場合に重ね合わせの原理が成立しないことを確認せよ.

まとめ

今回の授業内容を100文字以上で自分なりにまとめてください. ただし, 写経のように丸写しすることだけはやめてください.

解答

単振動の一般解の様々な表現

$m$ $x$ $k$ とする.

simple-harmonic-oscillation_spring_solution

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ とおくと

\begin{matrix} (3) & \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - ω^{2} x \end{matrix}

という2階の線形微分方程式で表される.

1. この系におけるsin形の一般解を求めよ

運動方程式:

\begin{matrix} (4) & \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - ω^{2} x \end{matrix}

から計算していき, 積分

\begin{matrix} (5) & \int \frac{1}{\sqrt{A^{2} - x^{2}}} d x = \int \pm ω d t \end{matrix}

の結果,

\begin{matrix} (6) & \cos^{- 1} \frac{x}{A} = \pm (ω t + ϕ) (ϕ : 積分定数) \end{matrix}

となる.

$\phi$ は積分定数のため, 任意の値である. そこで,

\begin{matrix} (7) & ϕ \to ϕ - \frac{π}{2} \end{matrix}

と置きかえる. すると,

\begin{matrix} (8) & \cos^{- 1} \frac{x}{A} = \pm (ω t + ϕ - \frac{π}{2}) \end{matrix}

となる. 両辺余弦をとると,

\begin{matrix} (9) & x = A \cos (\pm (ω t + ϕ - \frac{π}{2})) \end{matrix}

$\pm$ $+$ にまとめることができるため,

\begin{matrix} (10) & x = A \cos (ω t + ϕ - \frac{π}{2}) \end{matrix}

となる.

$\cos$ の加法定理

\begin{matrix} (11) & \cos (α \pm β) = \cos α \cos β \mp \sin α \sin β \end{matrix}

から,

\begin{matrix} (12) & \cos (α - \frac{π}{2}) = \cos α \cos \frac{π}{2} + \sin α \sin \frac{π}{2} = \sin α \end{matrix}

$\eqref{spring-sin-pre}$ は

\begin{matrix} (13) & x = A \sin (ω t + ϕ) \end{matrix}

となり, sin形の一般解が導出できた.

2. 1で求めたsin形の一般解が, cos形の一般解と等価であることを確かめよ

$\phi$ を,

\begin{matrix} (14) & ϕ \to ϕ + \frac{π}{2} \end{matrix}

と置きかえると,

\begin{matrix} (15) & x = A \sin (ω t + ϕ + \frac{π}{2}) \end{matrix}

となる.

$\sin$ の加法定理

\begin{matrix} (16) & \sin (α \pm β) = \sin α \cos β \pm \cos α \sin β \end{matrix}

から,

\begin{matrix} (17) & \sin (α + \frac{π}{2}) = \sin α \cos \frac{π}{2} + \cos α \sin \frac{π}{2} = \cos α \end{matrix}

$\eqref{spring-cos-pre}$ は,

\begin{matrix} (18) & x = A \cos (ω t + ϕ) \end{matrix}

となり, cos形の一般解に帰着した. よって, 問1のsin形の一般解と, 本問で求めたcos形の一般解は等価である.

$\frac{d^2z}{dt^2} = - \omega^2 z$ $z$ の複素解を導出せよ

\begin{matrix} (19) & z = C e^{Λ t} (C, Λ : 複 素 定 数) \end{matrix}

と仮定し, 代入すると,

\begin{matrix} (20) & C (Λ^{2} + ω^{2}) e^{Λ t} = 0 \end{matrix}

となる.

$C=0$ $e^{\Lambda t}$ は0にならないため,

\begin{matrix} (21) & Λ^{2} + ω^{2} = 0 \end{matrix}

$\Lambda$ を決めればよい. したがって,

\begin{matrix} (22) & Λ = \pm i ω \end{matrix}

となる.

$\Lambda=i\omega$ の場合を考えると,

\begin{matrix} (23) & z = C e^{i ω t} \end{matrix}

となる.

$C$ は複素平面上の極座標表示を考えて

\begin{matrix} (24) & C = A e^{i ϕ} (A, ϕ : 任 意 の 実 数) \end{matrix}

と置くことができる. したがって, これを代入すると

\begin{matrix} (25) & z = A e^{i ϕ} e^{i ω t} = A e^{i (ω t + ϕ)} \end{matrix}

として, 複素解が導出できた.

$z$ の複素解の実部をとり, 単振動のcos形の一般解と対応することを確かめよ

オイラーの公式から

\begin{matrix} (26) & z = A e^{i (ω t + ϕ)} = A (\cos (ω t + ϕ) + i \sin (ω t + ϕ)) \end{matrix}

$z$ $\text{Re}~z$ は

\begin{matrix} (27) & Re z = A \cos (ω t + ϕ) \end{matrix}

となり, cos形の一般解と対応することが確認できた.

$z$ の複素解の虚部をとり, 単振動のsin形の一般解と対応することを確かめよ

$z$ $\text{Im}~z$ は

\begin{matrix} (28) & Im z = A \sin (ω t + ϕ) \end{matrix}

となり, sin形の一般解と対応することが確認できた.

重ね合わせの原理

1. 重ね合わせの原理はどのような微分方程式に対して成り立つか?

線形微分方程式において成り立つ.

$\frac{d^2 x}{d t^2} = - \omega^2 x$ において, 重ね合わせの解が導かれることを確認せよ.

単振動の共通の運動方程式 :

\begin{matrix} (29) & \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - ω^{2} x \end{matrix}

において, 重ね合わせの解が導かれることを確認する.

$x_1$ $x_2$ とすると,

\begin{array}{r} (30) & \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} = - ω^{2} x_{1} \\ (31) & \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}} = - ω^{2} x_{2} \end{array}

という2つの等式が成り立つ.

$a$ $b$ $a$ $\eqref{common-simple-oscillation-solution1}$ $b$ $\eqref{common-simple-oscillation-solution2}$ を足し合わせると

\begin{matrix} (32) & a \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} + b \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}} = - a ω^{2} x_{1} + - b ω^{2} x_{2} \end{matrix}

となり, 両辺をまとめると

\begin{matrix} (33) & \frac{d^{2} (a x_{1} + b x_{2})}{d t^{2}} = - ω^{2} (a x_{1} + b x_{2}) \end{matrix}

となる.

$\eqref{common-simple-oscillation-superposition}$ $\eqref{common-simple-oscillation}$ $a x_1 + b x_2$ $\eqref{common-simple-oscillation}$ の解となり, 解の重ね合わせが確認できた.

3. 微分方程式にどのような項があると重ね合わせの原理は成立しないか?

非線形項が混ざった微分方程式では重ね合わせの原理が成立しない.

4. 実際に問3のような項がある場合に重ね合わせの原理が成立しないことを確認せよ.

\begin{matrix} (34) & \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - c x^{2} \end{matrix}

$c x^2$ $x$ についての非線形項である.

$\eqref{differential-equation-non-linear}$ $x_1$ $x_2$ $\neq 0$ ) であったとすると,

\begin{array}{r} (35) & \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} = - c x_{1}^{2} \\ (36) & \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}} = - c x_{2}^{2} \end{array}

が成り立つ.

$x_1 + x_2$ が存在すると仮定する.

$x_1 + x_2$ $\eqref{differential-equation-non-linear}$ に代入すると,

\begin{matrix} (37) & \frac{d^{2} (x_{1} + x_{2})}{d t^{2}} = - c (x_{1} + x_{2})^{2} \end{matrix}

となる.

両辺を分解すると,

\begin{matrix} (38) & \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} + \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}} = - c x_{1}^{2} - c x_{2}^{2} - 2 c x_{1} x_{2} \end{matrix}

となる.

$x_1$ $x_2$ $\eqref{differential-equation-non-linear-solution1}$ $\eqref{differential-equation-non-linear-solution2}$ が成り立つため,

\begin{matrix} (39) & (\frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} + c x_{1}^{2}) + (\frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}} + c x_{2}^{2}) = - 2 c x_{1} x_{2} \end{matrix}

と整理した場合の左辺は0になる.

$x_1$ $x_2$ $- 2 c x_1 x_2$ は0にはならない.

$- 2 c x_1 x_2$ $x_1 + x_2$ $\eqref{differential-equation-non-linear-superposition}$ の不成立が確かめられた.

$\eqref{differential-equation-non-linear}$ $x_1 + x_2$ といった重ね合わせの解が存在しないことが確認できた.

振動波動論 第2回 復習問題

実施・提出期間

問題

単振動の一般解の様々な表現

重ね合わせの原理

まとめ

解答

単振動の一般解の様々な表現

1. この系におけるsin形の一般解を求めよ

2. 1で求めたsin形の一般解が, cos形の一般解と等価であることを確かめよ

3. 複素関数の微分方程式: d2zdt2=−ω2z \frac{d^2z}{dt^2} = - \omega^2 z において, zzの複素解を導出せよ

4. 3で求めたzzの複素解の実部をとり, 単振動のcos形の一般解と対応することを確かめよ

5. 3で求めたzzの複素解の虚部をとり, 単振動のsin形の一般解と対応することを確かめよ

重ね合わせの原理

1. 重ね合わせの原理はどのような微分方程式に対して成り立つか?

2. 単振動の共通の運動方程式 : d2xdt2=−ω2x\frac{d^2 x}{d t^2} = - \omega^2 x において, 重ね合わせの解が導かれることを確認せよ.

3. 微分方程式にどのような項があると重ね合わせの原理は成立しないか?

4. 実際に問3のような項がある場合に重ね合わせの原理が成立しないことを確認せよ.

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Keywords

復習問題

振動波動論第2回復習問題

$\frac{d^2z}{dt^2} = - \omega^2 z$ $z$ の複素解を導出せよ

$z$ の複素解の実部をとり, 単振動のcos形の一般解と対応することを確かめよ

$z$ の複素解の虚部をとり, 単振動のsin形の一般解と対応することを確かめよ

$\frac{d^2 x}{d t^2} = - \omega^2 x$ において, 重ね合わせの解が導かれることを確認せよ.