2024-04-17 2024-04-16
ペンデュラムウェーブ, ポテンシャル, 三角関数, 単振動, 複素数, 重ね合わせの原理, 非線形振動

振動波動論第2回本編

振動波動論第2回本編質問エネルギー積分の式変形単振動一般解の様々な表現についてn階の微分方程式と一般解 $\cos$ 形の一般解 (復習) $\sin$ 形の一般解cos形とsin形の線形結合表現での一般解複素指数関数を用いた一般解 (線形結合表示)複素指数関数を用いた一般解の導出 (複素解)導出する解法の方針について複素解の導出複素解とcos形, sin形との一般解との対応単振動の一般解の様々な表現のまとめ単振動の幾何学的表示ペンデュラムウェーブ (余談)紹介問題解答このような単振り子群を実現するためには, $T_n$ と $T_{all}$ の間にどのような関係があればよいか? $T_n$ と $T_{all}$ の間の関係式を導出せよ各単振り子の長さ $l_n$ を $T_{all}$ を用いて記述せよ重ね合わせの原理原理重ね合わせの原理の成立を確認重ね合わせの原理が成り立たないケース (非線形項)非線形項非成立の確認非線形振動非線形振動としての単振り子概要エネルギー保存則の導出振り子の最下点からのポテンシャルエネルギーの導出周期 $T$ の導出ポテンシャル中の運動一般的な力 $f(x)$ の場合のエネルギーの概要例単振動のポテンシャル一般的なポテンシャル (局所的には単振動になる場合)一般的なポテンシャル (単振動にならない場合)ポテンシャルが単振動になるかどうかのまとめ

質問

エネルギー積分の式変形

授業資料ｐ７でｍｖｄｖ/ｄｔを1/2md/dt(v^2)の変換がよくわかりませんでした。

逆に式変形していった方がわかりやすいかもしれません:

\begin{aligned} m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} \frac{d x}{d t} & = - k x \frac{d x}{d t} \\ m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} \frac{d x}{d t} + k x \frac{d x}{d t} & = 0 \\ m (\frac{d}{d t} \frac{d x}{d t}) \frac{d x}{d t} + k x \frac{d x}{d t} & = 0 \\ m \frac{d v}{d t} v + k x \frac{d x}{d t} & = 0 (∵ v = \frac{d x}{d t}) \\ m v \frac{d v}{d t} + k x \frac{d x}{d t} & = 0 \\ ↓ ∵ m \frac{1}{2} \frac{d}{d t} (v^{2}) = m \frac{1}{2} (2 v \frac{d v}{d t}) = m v \frac{d v}{d t} \\ ↓ ∵ m \frac{1}{2} \frac{d}{d t} (x^{2}) = m \frac{1}{2} (2 x \frac{d x}{d t}) = m x \frac{d x}{d t} \\ m \frac{1}{2} \frac{d}{d t} (v^{2}) + k \frac{1}{2} \frac{d}{d t} (x^{2}) & = 0 \\ \frac{d}{d t} (\frac{m}{2} v^{2} + \frac{k}{2} x^{2}) & = 0 \end{aligned}

単振動

一般解の様々な表現について

$\cos$ $\sin$ 形や複素指数関数を利用した形に書き換えることができる. ただし, どれも本質的には同じで一般解が数種類あるわけではないことに注意.

n階の微分方程式と一般解

一般解: あらゆる初期条件に対応できる解のこと. あらゆる初期条件の可能性は任意定数で表現する.

n階の微分方程式: 最大n階までの微分を含む方程式

n階の微分方程式には「一般解がn個の任意定数を含む」という性質がある.

$\cos$ 形の一般解 (復習)

前回と同様に, 下図のようなバネによるおもりの微小な単振動で考える.

simple-harmonic-oscillation_spring_solution

運動方程式:

\begin{matrix} m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - k x \end{matrix}

から計算していき, 前回同様にエネルギー積分すると

\begin{aligned} m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} \frac{d x}{d t} & = - k x \frac{d x}{d t} \\ m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} \frac{d x}{d t} + k x \frac{d x}{d t} & = 0 \\ m v \frac{d v}{d t} + k x \frac{d x}{d t} & = 0 (∵ v = \frac{d x}{d t}) \\ m \frac{1}{2} \frac{d}{d t} (v^{2}) + k \frac{1}{2} \frac{d}{d t} (x^{2}) & = 0 \\ \frac{d}{d t} (\frac{m}{2} v^{2} + \frac{k}{2} x^{2}) & = 0 \\ \to \int \frac{d}{d t} (\frac{m}{2} v^{2} + \frac{k}{2} x^{2}) d t & = \int 0 \cdot d t \\ \frac{m}{2} v^{2} + \frac{k}{2} x^{2} & = C ​ (C : 積 分 定 数) \\ \frac{m}{2} {(\frac{d x}{d t})}^{2} + \frac{k}{2} x^{2} & = C \end{aligned}

$C = \frac{k}{2} A^2$ とおいて変数分離すると

\begin{aligned} \frac{m}{2} {(\frac{d x}{d t})}^{2} & = \frac{k}{2} (A^{2} - x^{2}) \\ \frac{d x}{d t} & = \pm \sqrt{\frac{k}{m} (A^{2} - x^{2})} \\ \frac{1}{\sqrt{A^{2} - x^{2}}} d x & = \pm \sqrt{\frac{k}{m}} d t \\ \to \int \frac{1}{\sqrt{A^{2} - x^{2}}} d x & = \int \pm \sqrt{\frac{k}{m}} d t \\ \cos^{- 1} \frac{x}{A} & = \pm (\sqrt{\frac{k}{m}} t + ϕ) (ϕ : 積分定数) \\ \to \frac{x}{A} & = \cos (\pm (\sqrt{\frac{k}{m}} t + ϕ)) \\ x & = A \cos (\pm (\sqrt{\frac{k}{m}} t + ϕ)) \\ (1) & ∴ x & = A \cos (ω t + ϕ) (∵ ω \equiv \sqrt{\frac{k}{m}}, \cos (- θ) = \cos θ) \end{aligned}

となり, $\cos$ 関数を用いた一般解となる.

$\sin$ 形の一般解

$\eqref{spring-solution-cos}$ $\phi$ $\displaystyle{\phi \rightarrow \phi - \frac{\pi}{2}}$ $\eqref{spring-solution-cos}$ は

\begin{matrix} (2) & x = A \cos (ω t + ϕ - \frac{π}{2}) \end{matrix}

となる.

$\cos$ の加法定理
$\begin{aligned} \cos (α \pm β) & = \cos α \cos β \mp \sin α \sin β \\ \to \cos (α - \frac{π}{2}) & = \cos α \cos \frac{π}{2} + \sin α \sin \frac{π}{2} \\ = \sin α \end{aligned}$

$\eqref{spring-sin-pre}$ は $\sin$ 関数を用いた一般解 :

\begin{matrix} (3) & x = A \sin (ω t + ϕ) \end{matrix}

となる.

$\cos$ $\eqref{spring-solution-cos}$ $\sin$ $\eqref{spring-solution-sin}$ の両者は書き換えを行ったにすぎず, 本質的には同じものである. 一般解が2通り存在するわけではないことに注意.

cos形とsin形の線形結合表現での一般解

$\eqref{spring-solution-cos} ~:~ x = A \cos (\omega t + \phi)$ $\cos$ $\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$ を適用すると,

\begin{aligned} x & = A \cos (ω t + ϕ) \\ = A \cos ω t \cos ϕ - A \sin ω t \sin ϕ \end{aligned}

$A, \phi$ $A_1 \equiv A \cos \phi ,~ A_2 \equiv - A \sin \phi$ に置き換えれば,

$\cos$ $\sin$ 形の線形結合表現の一般解 :

\begin{matrix} (4) & x = A_{1} \cos ω t + A_{2} \sin ω t \end{matrix}

$\cos$ $\eqref{spring-solution-cos}$ $\sin$ $\eqref{spring-solution-sin}$ と同じものである.

複素指数関数を用いた一般解 (線形結合表示)

単振動の一般解は複素数の指数関数 (複素指数関数) でも表現できる. 物理の量子論などではこちらを使用することが多い.

$\cos$ $\sin$ $\eqref{spring-solution-cossin}$ において,

$x$ $z = x + iy$ に拡張し,
$A_1, A_2$ $C'_1 \equiv A_1 + iB_1, C'_2 \equiv A_2 + iB_2 ~~~~ (B_1,B_2 : 実数の任意定数)$ に拡張し,
$\cos \theta = \frac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2} ,~ \sin \theta = \frac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i}$ を適用する

とすると,

\begin{aligned} x & = A_{1} \cos ω t + A_{2} \sin ω t \\ \to z & = C_{1}^{'} \cos ω t + C_{2}^{'} \sin ω t \\ = C_{1}^{'} \frac{e^{i ω t} + e^{- i ω t}}{2} + C_{2}^{'} \frac{e^{i ω t} - e^{- i ω t}}{2 i} \\ = C_{1}^{'} \frac{e^{i ω t} + e^{- i ω t}}{2} - i C_{2}^{'} \frac{e^{i ω t} - e^{- i ω t}}{2} \\ = \frac{C_{1}^{'} - i C_{2}^{'}}{2} e^{i ω t} + \frac{C_{1}^{'} + i C_{2}^{'}}{2} e^{- i ω t} \end{aligned}

$C'_1 ,~ C'_2$ $C_1 \equiv \frac{C'_1 - iC'_2}{2} ,~ C_2 \equiv \frac{C'_1 + iC'_2}{2}$ に置き換えると

複素指数関数を用いた一般解 (線形結合表示) :

\begin{matrix} (5) & z = C_{1} e^{i ω t} + C_{2} e^{- i ω t} \end{matrix}

となる.

実際, 三角関数ではなく, 複素指数関数を用いて計算する理由の1つとしては, 計算の簡便さ $\eqref{spring-solution-exp1-2}$ が何らかの計算から得られ, それを現実として我々が認知できる実数空間に変換する必要がある.

$z$ $x$ $z=x+iy$ $z$ $x$ に対応する:

\begin{matrix} R e z = x \end{matrix}

$\eqref{spring-solution-exp1-2}$ $x$ となる. 実際に計算してみると

\begin{aligned} x & = R e z \\ = R e [C_{1} e^{i ω t} + C_{2} e^{- i ω t}] \\ = R e [\frac{C_{1}^{'} - i C_{2}^{'}}{2} (\cos ω t + i \sin ω t) + \frac{C_{1}^{'} + i C_{2}^{'}}{2} (\cos (- ω t) + i \sin (- ω t))] \\ (∵ C_{1} = \frac{C_{1}^{'} - i C_{2}^{'}}{2}, C_{2} = \frac{C_{1}^{'} + i C_{2}^{'}}{2}, オ イ ラ ー の 公 式 : e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ) \\ = \frac{1}{2} R e [(C_{1}^{'} - i C_{2}^{'}) (\cos ω t + i \sin ω t) + (C_{1}^{'} + i C_{2}^{'}) (\cos ω t - i \sin ω t)] \\ = \frac{1}{2} R e [C_{1}^{'} \cos ω t - i C_{2}^{'} \cos ω t + C_{1}^{'} i \sin ω t - i C_{2}^{'} i \sin ω t + C_{1}^{'} \cos ω t + i C_{2}^{'} \cos ω t - C_{1}^{'} i \sin ω t - i C_{2}^{'} i \sin ω t] \\ = \frac{1}{2} R e [C_{1}^{'} \cos ω t - i C_{2}^{'} \cos ω t + i C_{1}^{'} \sin ω t + C_{2}^{'} \sin ω t + C_{1}^{'} \cos ω t + i C_{2}^{'} \cos ω t - i C_{1}^{'} \sin ω t + C_{2}^{'} \sin ω t] \\ = \frac{1}{2} R e [(C_{1}^{'} \cos ω t + C_{2}^{'} \sin ω t + C_{1}^{'} \cos ω t + C_{2}^{'} \sin ω t) + i (- C_{2}^{'} \cos ω t + C_{1}^{'} \sin ω t + C_{2}^{'} \cos ω t - C_{1}^{'} \sin ω t)] \\ = \frac{1}{2} R e [2 (C_{1}^{'} \cos ω t + C_{2}^{'} \sin ω t) + i 0] \\ = R e [C_{1}^{'} \cos ω t + C_{2}^{'} \sin ω t] \\ = R e [(A_{1} + i B_{1}) \cos ω t + (A_{2} + i B_{2}) \sin ω t] \\ = R e [A_{1} \cos ω t + i B_{1} \cos ω t + A_{2} \sin ω t + i B_{2} \sin ω t] \\ = R e [(A_{1} \cos ω t + A_{2} \sin ω t) + i (B_{1} \cos ω t + B_{2} \sin ω t)] \\ = A_{1} \cos ω t + A_{2} \sin ω t \end{aligned}

$\cos$ $\sin$ $\eqref{spring-solution-cossin}$ に帰着することが確認できた.

複素指数関数を用いた一般解の導出 (複素解)

複素指数関数表現の一般解として, よく使われる形がもう1つあるため, それも導出しておく. 今回は, これまでに得られた一般解の式変形によって導出するのではなく, あえて単振動の共通の運動方程式から導出してみる.

導出する解法の方針について

具体的には「複素関数の微分方程式の複素解を考え, その実部 or 虚部が単振動として現れる」という方針で導出する.

すなわち, 単振動の共通の運動方程式

\begin{matrix} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - ω^{2} x \end{matrix}

$z(t)$ :

\begin{matrix} z (t) = x (t) + i y (t) (x (t), y (t) : 実 関 数) \end{matrix}

を用いて拡張した:

\begin{matrix} (6) & \frac{d^{2} z}{d t^{2}} = - ω^{2} z \end{matrix}

という複素関数の微分方程式の複素解を考えるということである.

$\eqref{eom-complex}$ は, 線形な微分方程式であることから, 左辺にまとめると

\begin{matrix} (\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + ω^{2} x) + i (\frac{d^{2} y}{d t^{2}} + ω^{2} y) = 0 \end{matrix}

となる.

複素数が0になるということは, 実部も虚部も共に0になることと等価である. ゆえに,

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + ω^{2} x = 0 \\ \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + ω^{2} y = 0 \end{matrix} \end{matrix}

が同時に成立しなければならない. これらの式は, これまでにやってきた単振動の計算と数学的には全くの等価である.

したがって, 複素関数の微分方程式だと思って複素解を求めた後に, その実部 or 虚部をとってやっても単振動の解として成立することがわかる.

複素解の導出

実際に複素関数の微分方程式:

\begin{matrix} \frac{d^{2} z}{d t^{2}} = - ω^{2} z \end{matrix}

$z$ $z$ になるため, 解を指数関数型:

\begin{matrix} z = C e^{Λ t} (C, Λ : 複 素 定 数) \end{matrix}

と仮定し, 代入すると,

\begin{matrix} C (Λ^{2} + ω^{2}) e^{Λ t} = 0 \end{matrix}

となる.

$C=0$ $e^{\Lambda t}$ は (指数が負の無限大でない限り) 0にはならないため,

\begin{matrix} Λ^{2} + ω^{2} = 0 \end{matrix}

$\Lambda$ を決めればよい. したがって,

\begin{matrix} Λ = \pm i ω \end{matrix}

となる.

$\Lambda=i\omega$ の場合を考えると,

\begin{matrix} z = C e^{i ω t} \end{matrix}

となる.

$C$ は

\begin{matrix} C = A e^{i ϕ} (A, ϕ : 任 意 の 実 数) \end{matrix}

と置くことができるので, これを代入すると

複素指数関数表現の一般解 (複素解):

\begin{matrix} z = A e^{i ϕ} e^{i ω t} = A e^{i (ω t + ϕ)} \end{matrix}

が導出できた.

また, この複素解は, 下図のように複素平面上の円運動と対応する.

complex-plane-circle

複素解とcos形, sin形との一般解との対応

あとは, この複素解の実部をとってやれば良い.

オイラーの公式から

\begin{matrix} z = A e^{i (ω t + ϕ)} = A (\cos (ω t + ϕ) + i \sin (ω t + ϕ)) \end{matrix}

$z$ $\text{Re}~z$ は

\begin{matrix} Re z = A \cos (ω t + ϕ) \end{matrix}

となり, cos形の一般解と対応することが確認できた.

$z$ $\text{Im}~z$ は

\begin{matrix} Im z = A \sin (ω t + ϕ) \end{matrix}

となり, sin形の一般解と対応することが確認できた.

単振動の一般解の様々な表現のまとめ

cos形の一般解

\begin{matrix} x = A \cos (ω t + ϕ) (A, ϕ : 任意定数) \end{matrix}

sin形の一般解

\begin{matrix} x = A \sin (ω t + ϕ) (A, ϕ : 任意定数) \end{matrix}

cos形とsin形の線形結合表現での一般解

\begin{matrix} x = A_{1} \cos ω t + A_{2} \sin ω t (A_{1}, A_{2} : 任意定数) \end{matrix}

複素指数関数表現での一般解 (線形結合表示)

\begin{matrix} z = C_{1} e^{i ω t} + C_{2} e^{- i ω t} (C_{1}, C_{2} : 複素数の任意定数) \end{matrix}

複素指数関数表現の一般解 (複素解):

\begin{matrix} \begin{matrix} z = A e^{i (ω t + ϕ)} \\ Re z = A \cos (ω t + ϕ) \\ Im z = A \sin (ω t + ϕ) \end{matrix} \end{matrix}

単振動の幾何学的表示

$\cos, \sin$ で表される. したがって, 単振動を円運動で表現することができる.

$A$ $\phi ~\text{[rad]}$ $\omega ~\text{[rad/s]}$ という速度で回転する, 等速円運動を考える.

下図にその円運動を示す.

simple-harmonic-osc-circle

図1. 円運動と単振動の対応

$x$ $y$ 成分に単振動が対応している.

\begin{aligned} x (t) & = A \cos (ω t + ϕ) \\ y (t) & = A \sin (ω t + ϕ) \end{aligned}

$x, y$ 平面を複素平面と捉えれば, そのまま複素指数関数表示の図と対応する.

$\cos$ $\sin$ 形, 複素指数関数表示等のどれでも本質的には同じであることが示された.

$\phi$ $\omega$ の意味も

文字	円運動	単振動
$\phi$	初期角度	初期位相
$\omega$	1秒あたりの回転角度	角振動数

と対応がつく.

ペンデュラムウェーブ (余談)

紹介

$\omega = \sqrt{ \frac{g}{l} }$ $T= \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }$ となり, 紐の長さによってのみ変化するものであった.

実際, 紐の長さが異なる独立な単振り子を, 同じ位置から同時に振動開始させると, 各単振り子はそれぞれの周期でバラバラに振動する.

しかし, 各単振り子の紐の長さをある特定の条件に沿ったものにすると, 単振り子群が揃ったり揃わなかったりと, 視覚的に興味深いパターンを見せる. この特徴的な単振り子群はペンデュラムウェーブと呼ばれる.

実際の例が下図である:

YouTubeリンク

では, 「各単振り子の紐の長さをある特定の条件に沿ったもの」とは何だろうか? ペンデュラムウェーブを下記の問題と捉え直して実際に各紐の長さを求める.

問題

$N$ $n$ $l_n ~~ (l_{n-1} > l_{n})$ $\theta_n$ $T_n$ $\theta$ だけ傾けて手で固定し, 静止させる. その初期状態から一斉に手を放し, 同時に微小振動させるとする. この時,

$\frac{T_{all}}{2}$ $n$ $T_{all}$ 秒後には全ての単振り子の振れ角が再び等しくなり, そこから再度ずれて振動していく

$n=10,...,30$ $\theta_n$ $n$ でのプロット).

ペンデュラムウェーブ (t=0, 0.25, 20, 40で一時停止)

$T_n$ $T_{all}$ $T_n$ $T_{all}$ の間の関係式を導出せよ
$l_n$ $T_{all}$ を用いて記述せよ

解答

$T_n$ $T_{all}$ $T_n$ $T_{all}$ の間の関係式を導出せよ

$T_{all}$ $n$ $n$ 回振動すれば良いので,

\begin{matrix} T_{a l l} = n T_{n} \end{matrix}

という関係式を, 各単振り子が満たせばよい.

$l_n$ $T_{all}$ を用いて記述せよ

$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }$ と記述できるので

\begin{aligned} T_{n} & = 2 π \sqrt{\frac{l_{n}}{g}} \\ \to l_{n} & = g {(\frac{T_{n}}{2 π})}^{2} \\ = g {(\frac{\frac{T_{a l l}}{n}}{2 π})}^{2} (∵ T_{a l l} = n T_{n}) \\ (7) & = g {(\frac{T_{a l l}}{2 π n})}^{2} \end{aligned}

となる.

$T_{all} = 40 [秒]$ $l_n$ $\eqref{pendulum-wave_l_t-all}$ $n$ に応じて下表のようにすれば良い.

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$l_n$ [m]	40.5285	10.1321	4.5032	2.5330	1.6211	1.1258	0.8271	0.6333	0.5004	0.4053

$n$	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$l_n$ [m]	0.3349	0.2814	0.2398	0.2068	0.1801	0.1583	0.1402	0.1251	0.1123	0.1013

$n$	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
$l_n$ [m]	0.0919	0.0837	0.0766	0.0704	0.0648	0.0600	0.0556	0.0517	0.0482	0.0450

$n$ $T_{All}=40$ 秒と, 実時間としての周期約60秒とが異なっているので注意)

$n$ が1番目から30番目まで) についてシミュレーションさせてみると下記動画のようになる.

重ね合わせの原理

原理

単振動の共通の運動方程式 :

\begin{matrix} (8) & \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - ω^{2} x \end{matrix}

$x$ の1次なので, 線形微分方程式である.

$x^2$ $x \frac{dx}{dt}$ $\sin x$ ...

この時, 線形微分方程式の性質として重ね合わせの原理 : 解の重ね合わせ (複数の解の線形結合) も解になるが成り立つ.

$x_1$ $x_2$ に対し, その線形結合 :

\begin{matrix} a x_{1} + b x_{2} (a, b : 任 意 定 数) \end{matrix}

も, 元の方程式の解となるということを意味する.

重ね合わせの原理の成立を確認

$\eqref{common-simple-oscillation}$ :

\begin{matrix} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - ω^{2} x \end{matrix}

において, 重ね合わせの解が導かれることを確認する.

$x_1$ $x_2$ とすると,

\begin{array}{r} (9) & \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} = - ω^{2} x_{1} \\ (10) & \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}} = - ω^{2} x_{2} \end{array}

という2つの等式が成り立つ.

$a$ $b$ $a$ $\eqref{common-simple-oscillation-solution1}$ $b$ $\eqref{common-simple-oscillation-solution2}$ を足し合わせると

\begin{matrix} a \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} + b \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}} = - a ω^{2} x_{1} + - b ω^{2} x_{2} \end{matrix}

となり, 両辺をまとめると

\begin{matrix} (11) & \frac{d^{2} (a x_{1} + b x_{2})}{d t^{2}} = - ω^{2} (a x_{1} + b x_{2}) \end{matrix}

となる.

$\eqref{common-simple-oscillation-superposition}$ $\eqref{common-simple-oscillation}$ $a x_1 + b x_2$ $\eqref{common-simple-oscillation}$ の解となり, 解の重ね合わせが確認できた.

重ね合わせの原理が成り立たないケース (非線形項)

非線形項

元の微分方程式に非線形な項が含まれていると, その解には重ね合わせの原理が成り立たない.

非線形項が含まれるような振動現象は, 非線形振動, 非調和振動などと呼ばれる.

$x^2$ $x \frac{dx}{dt}$ $\sin x$ ...

非成立の確認

具体的に確かめてみる.

例として

\begin{matrix} (12) & \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - c x^{2} \end{matrix}

$c x^2$ $x$ についての非線形項である.

$\eqref{differential-equation-non-linear}$ $x_1$ $x_2$ $\neq 0$ ) であったとすると,

\begin{array}{r} (13) & \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} = - c x_{1}^{2} \\ (14) & \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}} = - c x_{2}^{2} \end{array}

が成り立つ.

$x_1 + x_2$ が存在すると仮定する.

$x_1 + x_2$ $\eqref{differential-equation-non-linear}$ に代入すると,

\begin{matrix} (15) & \frac{d^{2} (x_{1} + x_{2})}{d t^{2}} = - c (x_{1} + x_{2})^{2} \end{matrix}

となる.

両辺を分解すると,

\begin{matrix} \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} + \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}} = - c x_{1}^{2} - c x_{2}^{2} - 2 c x_{1} x_{2} \end{matrix}

となる.

$x_1$ $x_2$ $\eqref{differential-equation-non-linear-solution1}$ $\eqref{differential-equation-non-linear-solution2}$ が成り立つため,

\begin{matrix} (\frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} + c x_{1}^{2}) + (\frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}} + c x_{2}^{2}) = - 2 c x_{1} x_{2} \end{matrix}

と整理した場合の左辺は0になる.

$x_1$ $x_2$ $- 2 c x_1 x_2$ は0にはならない.

$- 2 c x_1 x_2$ $x_1 + x_2$ $\eqref{differential-equation-non-linear-superposition}$ の不成立が確かめられた.

$\eqref{differential-equation-non-linear}$ $x_1 + x_2$ といった重ね合わせの解が存在しないことが確認できた.

$a$ $b$ という任意定数を考えた場合,

$a x_1 + b x_2$ $x_1 + x_2$ という重ね合わせの解が存在する

が成り立つ.

$x_1 + x_2$ という重ね合わせの解が存在しない. したがって, その対偶である

$x_1 + x_2$ $a x_1 + b x_2$ という重ね合わせの解が存在しない

が成り立つ.

$a x_1 + b x_2$ という重ね合わせの解は存在しないことが確認できた.

非線形振動

非線形振動としての単振り子

概要

非線形項の例は

$x^2$ $x \frac{dx}{dt}$ $\sin x$ ...

$x$ の1次以外, ということなので, その種類は非常に多い.

例えば, 以前に紹介した単振り子も, その振動角が微小でない場合は非線形項が残る.

simple-pendulum_solution

$x$ 方向の運動方程式が

\begin{matrix} (16) & m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - m g \sin θ \end{matrix}

$x = l \theta$ と置き換えることで

\begin{matrix} (17) & \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} = - \frac{g}{l} \sin θ \end{matrix}

$\sin \theta \sim \theta$ を行ったことで,

\begin{matrix} (18) & \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} \sim - \frac{g}{l} θ \end{matrix}

という単振動の共通の運動方程式への帰着を確認した.

$\eqref{eom_pendulum-2}$ のように非線形であるため, 単振動とはならないことに注意が必要である. 前回「微小振動」とあえて明記していたのはこのためである.

$\eqref{eom_pendulum-2}$ の単振り子現象についての具体的な計算は完全楕円積分を使う (導出は後述). ただし定性的な面から考えると, ブランコ等で経験的に知っているように, 振動角が大きい単振り子もやはり振動現象となる. 微小振動の単振り子とのわかりやすい差異は周期である.

$T_0$ は

\begin{matrix} (19) & T_{0} = \frac{2 π}{ω} = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}} \end{matrix}

のように, 紐の長さのみに依存する. しかし, 振動角が大きい場合は, その最大振動角 (最大振幅) にも依存するようになる. 最大振幅が大きいほど周期が大きくなり, 振り子の等時性が成り立たなくなる.

エネルギー保存則の導出

$\eqref{eom_pendulum}$ $x = l \theta$ と置き換え左辺に集め,

\begin{matrix} m l \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} + m g \sin θ = 0 \end{matrix}

とする.

ここからエネルギー積分を行う.

$N \frac{m}{s} s$ $N m$ ]) に合わせるためである.
すなわち, 仕事が
$\begin{matrix} (仕事 W) = \int F (x) d x [N m] \end{matrix}$
$dx$ を
$\begin{matrix} (微小な移動量 d x) = (時刻 t での速度 \frac{d x}{d t}) * (微小時間 d t) \end{matrix}$
として置き換えると
$\begin{matrix} (仕事 W) = \int F (x) \frac{d x}{d t} d t [N \frac{m}{s} s] \end{matrix}$
となる. このため, 速度をかけて時間で積分することでエネルギー次元の式が導出できる.

$x$ $v_x(t) = \frac{dx}{dt} = l \frac{d \theta}{dt}$ $t$ で積分すると

\begin{aligned} \int m l^{2} \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} \frac{d θ}{d t} d t + \int m g l \sin θ \frac{d θ}{d t} d t & = \int 0 d t \\ \int \frac{m l^{2}}{2} \frac{d}{d t} ({(\frac{d θ}{d t})}^{2}) d t + \int m g l \sin θ d θ & = \int 0 d t \end{aligned}

となり,

\begin{aligned} \frac{1}{2} m {(l \frac{d θ}{d t})}^{2} - m g l \cos θ & = C (C : 積 分 定 数) \\ (20) & \frac{1}{2} m v_{x} (t)^{2} - m g l \cos θ & = C \end{aligned}

のようにエネルギー保存の式が求められる.

振り子の最下点からのポテンシャルエネルギーの導出

$\eqref{energy-conservation-law}$ $\frac{1}{2} m ~v_x(t)^2$ $- mgl \cos \theta$ ) が位置エネルギー (ポテンシャルエネルギー) である.

$\theta,~ t$ $\theta=0,~ t=t_0$ ) とを比較すると,

\begin{aligned} \frac{1}{2} m v_{x} (t)^{2} - m g l \cos θ & = \frac{1}{2} m v_{x} (t_{0})^{2} - m g l \cos 0 \\ \leftrightarrow \frac{1}{2} m v_{x} (t)^{2} + m g l (1 - \cos θ) & = \frac{1}{2} m v_{x} (t_{0})^{2} \end{aligned}

$mgl (1 - \cos \theta)$ は, 振り子の最下点を基準とした位置エネルギーである. したがって, 最下点の時刻の運動エネルギー (右辺) が, 角度が大きくなるにつれ, 運動エネルギーと位置エネルギー (左辺) に分配されていくと解釈できる.

pendulum-potential

$T$ の導出

$T$ を導出していく.

$\eqref{energy-conservation-law}$ $t$ $\theta_{\text{max}}$ $t_1$ とを比較すると,

\begin{matrix} \frac{1}{2} m {(l \frac{d θ}{d t})}^{2} - m g l \cos θ = \frac{1}{2} m {(l \frac{d θ_{max}}{d t})}^{2} - m g l \cos θ_{max} \end{matrix}

$t_1$ $x$ 方向の速度は0のため

\begin{matrix} \frac{d θ_{max}}{d t} = 0 \end{matrix}

となるから, 整理すると,

\begin{aligned} \frac{1}{2} m {(l \frac{d θ}{d t})}^{2} - m g l \cos θ & = - m g l \cos θ_{max} \\ \frac{1}{2} m l^{2} {(\frac{d θ}{d t})}^{2} & = m g l (\cos θ - \cos θ_{max}) \\ {(\frac{d θ}{d t})}^{2} & = 2 \frac{g}{l} (\cos θ - \cos θ_{max}) \\ \frac{d θ}{d t} & = \pm \sqrt{2 \frac{g}{l} (\cos θ - \cos θ_{max})} \end{aligned}

$\cos 2 \alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha$ から

\begin{aligned} \cos θ - \cos θ_{max} & = (1 - 2 \sin^{2} \frac{θ}{2}) - (1 - 2 \sin^{2} \frac{θ_{max}}{2}) \\ = - 2 \sin^{2} \frac{θ}{2} + 2 \sin^{2} \frac{θ_{max}}{2} \\ (21) & = 2 (k^{2} - \sin^{2} \frac{θ}{2}) (∵ k \equiv \sin \frac{θ_{max}}{2}) \end{aligned}

となるので,

\begin{matrix} \frac{d θ}{d t} = \pm 2 \sqrt{\frac{g}{l} (k^{2} - \sin^{2} \frac{θ}{2})} \end{matrix}

となる.

$\theta$ $t$ とでの変数分離:

\begin{matrix} d t = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{l}{g}} \frac{1}{\sqrt{k^{2} - \sin^{2} \frac{θ}{2}}} d θ \end{matrix}

$\theta = 0$ $\theta = \theta_{\text{max}}$ $\frac{T}{4}$ (周期の4分の1) に相当する. したがって, 積分は

\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{T}{4}} d t & = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{θ_{max}} \frac{1}{\sqrt{k^{2} - \sin^{2} \frac{θ}{2}}} d θ \\ (22) & \frac{T}{4} & = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{θ_{max}} \frac{1}{\sqrt{k^{2} - \sin^{2} \frac{θ}{2}}} d θ \end{aligned}

となる. ここで,

\begin{matrix} \sin \frac{θ}{2} \equiv k \sin ϕ \end{matrix}

$\phi$ で微分すると

\begin{matrix} \frac{1}{2} \cos \frac{θ}{2} \frac{d θ}{d ϕ} = k \cos ϕ \end{matrix}

$d \theta$ についての式に整理すると,

\begin{aligned} d θ & = 2 k \cos ϕ \frac{1}{\cos \frac{θ}{2}} d ϕ \\ = 2 k \cos ϕ \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} \frac{θ}{2}}} d ϕ \\ = \frac{2 k \cos ϕ}{\sqrt{1 - k^{2} \sin^{2} ϕ}} d ϕ \end{aligned}

$\eqref{period-pre}$ に代入しようとすると, 積分範囲は

$\theta = 0$ の場合
$\sin \frac{\theta}{2} \equiv k \sin \phi$ より,
$\begin{aligned} \sin \frac{0}{2} & = k \sin ϕ \\ \to 0 & = k \sin ϕ \\ \to \sin ϕ & = 0 \\ \to ϕ & = 0 \end{aligned}$
$\theta = \theta_{max}$ の場合
$\sin \frac{\theta}{2} \equiv k \sin \phi$ より,
$\begin{aligned} \sin \frac{θ_{max}}{2} & = k \sin ϕ \\ \sin \frac{θ_{max}}{2} & = \sin \frac{θ_{max}}{2} \sin ϕ (∵ (21) より, k \equiv \sin \frac{θ_{max}}{2}) \\ \to \sin ϕ & = 1 \\ \to ϕ & = \frac{π}{2} \end{aligned}$

変数	$\theta$	$\phi$
上限	$\theta_{\text{max}}$	$\frac{\pi}{2}$
下限	$0$	$0$

と変わる.

$\eqref{period-pre}$ ${\displaystyle \frac{T}{4} = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{l}{g} } \int_0^{\theta_{\text{max}}} \frac{1}{\sqrt{ k^2 - \sin^2 \frac{\theta}{2} }} d \theta}$ $T$ $\sin \frac{\theta}{2} = k \sin \phi ,~ d \theta = \frac{2 k \cos \phi}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \phi}} ~d \phi$ より

\begin{aligned} T & = 4 \frac{1}{2} \sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{k^{2} - k^{2} \sin^{2} ϕ}} \frac{2 k \cos ϕ}{\sqrt{1 - k^{2} \sin^{2} ϕ}} d ϕ \\ = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - k^{2} \sin^{2} ϕ}} d ϕ \end{aligned}

となる. これは, 第1種完全楕円積分:

\begin{aligned} K (k) & = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - k^{2} \sin^{2} ϕ}} d ϕ \\ = \frac{π}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{(2 n - 1)!!}{(2 n)!!})}^{2} k^{2 n} \end{aligned}

に他ならない.

$(2n)!!$ は2重階乗を示し,
$\begin{aligned} (2 n)!! & = (2 n) (2 n - 2) (2 n - 4) \dots 4 \cdot 2 \\ (2 n - 1)!! & = (2 n - 1) (2 n - 3) (2 n - 5) \dots 3 \cdot 1 \\ (- 1)!! & \equiv 1 \end{aligned}$
のように, 偶数なら偶数のみの階乗, 奇数なら奇数のみの階乗を指す.

$T$ は $T$ :

\begin{aligned} T & = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} K (k) \\ = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}} \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{(2 n - 1)!!}{(2 n)!!})}^{2} k^{2 n} \\ = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}} \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{(2 n - 1)!!}{(2 n)!!})}^{2} {(\sin \frac{θ_{max}}{2})}^{2 n} \\ (23) & = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}} (1 + {(\frac{1!!}{2!!})}^{2} \sin^{2} \frac{θ_{max}}{2} + {(\frac{3!!}{4!!})}^{2} \sin^{4} \frac{θ_{max}}{2} + \dots) \end{aligned}

と導出できた.

$T_0$ $\eqref{period-pendulum-linear}$ $T_0 = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ $l$ $\eqref{period-pendulum-non-linear}$ $\theta_{\text{max}}$ も寄与していることがわかる.

$\theta_{\text{max}}$ $\eqref{period-pendulum-non-linear}$ $\theta_{\text{max}}$ $T_0$ に帰着することもわかる.

$T$ $T$ $T_0$ $T_{\text{ratio}}$ :

\begin{matrix} T_{ratio} \equiv \frac{T}{T_{0}} = \frac{2}{π} K (k) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{(2 n - 1)!!}{(2 n)!!})}^{2} {(\sin \frac{θ_{max}}{2})}^{2 n} \end{matrix}

$\theta_{\text{max}} \in \left[0, \frac{\pi}{2} \right]$ でグラフにしてみると,

pendulum_theta_max_vs_period-ratio

となる.

$\theta_{\text{max}} = 0$ $T_0$ $\theta_{\text{max}}$ を大きくするにつれ, その差がどんどん大きくなることが確認できる.

ポテンシャル中の運動

$f(x)$ の場合のエネルギーの概要

$f(x)$ がかかる運動方程式:

\begin{matrix} m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = f (x) \end{matrix}

について考える.

$\frac{dx}{dt}$ $t$ で積分すると

\begin{aligned} \int m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} \frac{d x}{d t} d t & = \int f (x) \frac{d x}{d t} d t \\ \int \frac{1}{2} m \frac{d}{d t} {(\frac{d x}{d t})}^{2} d t & = \int f (x) d x \\ \frac{1}{2} m \int \frac{d v^{2}}{d t} d t & = \int f (x) d x (∵ v = \frac{d x}{d t}) \\ \frac{1}{2} m v^{2} - C & = \int f (x) d x (∵ C : 積 分 定 数) \end{aligned}

となり, エネルギー保存則:

\begin{matrix} (24) & \frac{1}{2} m v^{2} - \int f (x) d x = C \end{matrix}

となる. ここで, 左辺第2項を ポテンシャル:

\begin{matrix} U (x) = - \int f (x) d x \end{matrix}

$U(x)$ を系のポテンシャルエネルギー, あるいはポテンシャル, 位置エネルギーという.

$x$ で微分すれば ポテンシャルと力:

\begin{matrix} f (x) = - \frac{d U (x)}{d x} \end{matrix}

$\eqref{energy-preservation}$ の左辺第1項を 運動エネルギー:

\begin{matrix} K = \frac{1}{2} m v^{2} \end{matrix}

$\eqref{energy-preservation}$ は

\begin{matrix} K + U (x) = C \end{matrix}

$K$ $U(x)$ の和を 力学的エネルギー:

\begin{matrix} E = K + U \end{matrix}

$E$ $C$ だったので時刻に依らず, 一定である.

このように, 力が位置だけで決まる1次元の運動においては, 力はポテンシャルから導かれ, 全エネルギーは保存され, エネルギー保存の法則が成り立つ. また, その力を保存力と呼ぶ.

2次元, 3次元の運動では, 保存力は下記のようにもう少し厳密に定義される.

保存力 (より厳密な定義) : $F$ $P_1$ $P_2$ $W$ は

\begin{matrix} W = \int_{P_{1}}^{P_{2}} \vec{F} \cdot d \vec{r} \end{matrix}

$W$ $\vec{F}$ を保存力と呼ぶ.

$U(\vec{r})$ $\vec{F}$ は

\begin{matrix} \vec{F} = - \nabla U (\vec{r}) = (- \frac{\partial U}{\partial x}, - \frac{\partial U}{\partial y}, - \frac{\partial U}{\partial z}) \end{matrix}

と記述できる.

p1p2

例

単振動のポテンシャル

$\begin{aligned} m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} & = - m ω^{2} x \\ m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + m ω^{2} x & = 0 \\ m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} \frac{d x}{d t} + m ω^{2} x \frac{d x}{d t} & = 0 \\ \frac{1}{2} m \frac{d}{d t} ({(\frac{d x}{d t})}^{2}) + \frac{1}{2} m ω^{2} \frac{d x^{2}}{d t} & = 0 \\ \int \frac{1}{2} m \frac{d}{d t} ({(\frac{d x}{d t})}^{2}) d t + \int \frac{1}{2} m ω^{2} \frac{d x^{2}}{d t} d t & = \int 0 d t \\ \frac{1}{2} m {(\frac{d x}{d t})}^{2} + \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2} & = C \\ \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2} & = C (∵ v \equiv \frac{d x}{d t}) \end{aligned}$

単振動のエネルギーは

\begin{aligned} 運 動 エ ネ ル ギ ー & : \frac{1}{2} m v^{2} \\ 位 置 エ ネ ル ギ ー & : \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2} \end{aligned}

となり, ポテンシャルは下図のような放物線を描く.

energy_simple-oscillation

$x$ においてポテンシャルからかかる力は

\begin{matrix} f (x) = - \frac{d U (x)}{d x} \end{matrix}

$-x$ 方向) の力がかかっている.

一般的なポテンシャル (局所的には単振動になる場合)

一方, 下図のような, より複雑なポテンシャルの中での運動も考えられる.

energy_general-potential

$x$ においてポテンシャルからかかる力が

\begin{matrix} f (x) = - \frac{d U (x)}{d x} \end{matrix}

$-x$ $x_0$ を中心に振動する. ポテンシャルの形が放物線ではないため, 単振動ではない. 例えば, 伸び切ったバネによる振動などが挙げられる.

$x_0$ 近傍では放物線とみなせることが多い. そのような場合, その微小な振動は単振動となる. これが多くの現象に単振動を見出すことができる理由である.

一般的なポテンシャル (単振動にならない場合)

$x_0$ 付近で平坦になっている場合も考えられる. すなわち,

\begin{matrix} \frac{d^{2} U (x_{0})}{d x^{2}} = 0 \end{matrix}

のように, 凹凸がない場合である.

energy_general-potential-flat

この場合, ポテンシャルの概形が放物線ではないため単振動でないだけでなく, 極小点近傍でも放物線にはならないため単振動にはならない.

ポテンシャルが単振動になるかどうかのまとめ

以上の例で確認したように,

$x$ が大きく, ポテンシャルの概形が放物線ではない場合
$x_0$ $\frac{d^2 U (x_0)}{dx^2} = 0$ のように平坦で, 放物線とならない場合

には, 単振動にはならない.

振動波動論 第2回 本編

質問

エネルギー積分の式変形

単振動

一般解の様々な表現について

n階の微分方程式と一般解

cos\cos形の一般解 (復習)

sin\sin形の一般解

cos形とsin形の線形結合表現での一般解

複素指数関数を用いた一般解 (線形結合表示)

複素指数関数を用いた一般解の導出 (複素解)

導出する解法の方針について

複素解の導出

複素解とcos形, sin形との一般解との対応

単振動の一般解の様々な表現のまとめ

単振動の幾何学的表示

ペンデュラムウェーブ (余談)

紹介

問題

解答

このような単振り子群を実現するためには, TnT_n と TallT_{all} の間にどのような関係があればよいか? TnT_n と TallT_{all} の間の関係式を導出せよ

各単振り子の長さlnl_nをTallT_{all}を用いて記述せよ

重ね合わせの原理

原理

重ね合わせの原理の成立を確認

重ね合わせの原理が成り立たないケース (非線形項)

非線形項

非成立の確認

非線形振動

非線形振動としての単振り子

概要

エネルギー保存則の導出

振り子の最下点からのポテンシャルエネルギーの導出

周期TTの導出

ポテンシャル中の運動

一般的な力 f(x)f(x) の場合のエネルギーの概要

例

単振動のポテンシャル

一般的なポテンシャル (局所的には単振動になる場合)

一般的なポテンシャル (単振動にならない場合)

ポテンシャルが単振動になるかどうかのまとめ

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ペンデュラムウェーブ

ポテンシャル

三角関数

単振動

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$\sin$ 形の一般解

$T_n$ $T_{all}$ $T_n$ $T_{all}$ の間の関係式を導出せよ

$l_n$ $T_{all}$ を用いて記述せよ

$T$ の導出

$f(x)$ の場合のエネルギーの概要