2024-04-10 2024-04-10
三角関数, 単振動, 複素数

振動波動論第1回本編

振動波動論第1回本編自由度 (degree of freedom)質点例位置ベクトル, 速度, 加速度位置ベクトル速度加速度振動波動現象の例自由度ごとの例自由度1自由度2身近な振動現象の例自然界の例工業的な例普遍的な現象共通の運動方程式バネによる単振動運動方程式一般解一般解の導出単振り子次回以降の準備 (複素数と三角関数)複素数, 複素平面 (詳細版)複素数の歴史複素数に至るまでの数の拡張複素数の四則演算共役 (きょうやく)絶対値複素平面複素数の各性質の複素平面上の対応オイラーの公式式導出される公式極形式複素数, 複素平面 (ざっくりまとめ版)三角関数と複素指数関数複素指数関数複素指数関数の三角関数表現 $z=iy$ の場合 $z=-iy$ の場合三角関数の複素指数関数表現

自由度 (degree of freedom)

質点

大きさを無視できるような物体を記述する場合, その物体を質点と呼ぶ → 質点と呼べるかどうかは具体的な条件による

例

地球
- OK : 太陽の周りの公転を記述する場合
- NG : 地球自体の自転を記述する場合

revolution_rotation

位置ベクトル, 速度, 加速度

位置ベクトル

空間における質点の位置を示す. 自由度によって変数の数が異なる

自由度 : ある系の位置を一意に決定するために必要な独立な量の個数

$\vec{r} = (x)$
$\vec{r} = (x,y)$
$\vec{r} = (x,y,z)$

速度

$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$

加速度

$\vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \frac{d\vec{v}}{dt}$

振動波動現象の例

自由度ごとの例

自由度1

自由度2

身近な振動現象の例

自然界の例

原子, 分子の振動 (熱等)
惑星の公転, 自転
心臓の鼓動
光 (電磁波)
水面波
地震
音

工業的な例

時計の振り子
モーターの回転
EMS (低周波治療機)
触覚伝送 (低周波)

普遍的な現象

上記の各現象は, 変数は違うが, どれも振動現象として扱うことができる. → (細かいファクターを抜きにすれば, ) 共通の運動方程式で記述可能 → 普遍的な現象といえる

共通の運動方程式

単振動現象に共通して現れる式を共通の運動方程式 :

\begin{matrix} (1) & \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - ω^{2} x \end{matrix}

と呼ぶ.

以下で, 実際に具体例を見ていく

バネによる単振動

$m$ $k$ $x$ とする.

simple-harmonic-oscillation_spring

運動方程式

$x$ $x$ 軸の負の方向にかかる. そこで, 運動方程式は

\begin{aligned} (質 量) \cdot (加 速 度) & = (力) \\ (2) & m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} & = - k x \end{aligned}

$\omega \equiv \sqrt{ \frac{k}{m} }$ $\frac{d^2 x}{d t^2} = - \omega^2 x$ に帰着する.

一般解

$x$ $t$ についての関数を求めると

\begin{matrix} (3) & x (t) = A cos (ω t + ϕ) \end{matrix}

となる. これを一般解と呼ぶ. 各変数, パラメター, 特徴的な物理量については下記の通り.

	変数		パラメタ			特徴的な物理量
名称	時刻	位置	振幅	角振動数	初期位相	位相	周期	振動数
単位	s	m	m	1/s	無次元	無次元	s	Hz = 1/s
文字	$t$	$x$	$A$	$\omega$	$\phi$	$\omega t + \phi$	$T = \frac{2 \pi}{\omega}$	$\nu = \frac{1}{T}$

simple-harmonic-oscillation_graph

\begin{matrix} x (t) = A cos (ω t + ϕ) \end{matrix}

一般解の導出

$\eqref{eom_spring}$

\begin{matrix} m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - k x \end{matrix}

から一般解を導出していく.

$N$ $N \cdot \frac{m}{s}$ $N \cdot \frac{m}{s} \cdot s = N \cdot m = J$ $N$ $J$ ) を導出するという手法 (エネルギー積分) を実施していく.

$\frac{d x}{d t}$ をかけて

\begin{aligned} m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} \frac{d x}{d t} & = - k x \frac{d x}{d t} \\ m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} \frac{d x}{d t} + k x \frac{d x}{d t} & = 0 \\ m (\frac{d}{d t} \frac{d x}{d t}) \frac{d x}{d t} + k x \frac{d x}{d t} & = 0 \\ m \frac{d v}{d t} v + k x \frac{d x}{d t} & = 0 (∵ v = \frac{d x}{d t}) \\ m v \frac{d v}{d t} + k x \frac{d x}{d t} & = 0 \\ m \frac{1}{2} \frac{d}{d t} (v^{2}) + k \frac{1}{2} \frac{d}{d t} (x^{2}) & = 0 \\ \frac{d}{d t} (\frac{m}{2} v^{2} + \frac{k}{2} x^{2}) & = 0 \end{aligned}

$t$ で積分

\begin{aligned} \int \frac{d}{d t} (\frac{m}{2} v^{2} + \frac{k}{2} x^{2}) d t & = \int 0 \cdot d t \\ \frac{m}{2} v^{2} + \frac{k}{2} x^{2} & = C \end{aligned}

となり, エネルギー保存の式が導出された:

\begin{matrix} \frac{m}{2} {(\frac{d x}{d t})}^{2} + \frac{k}{2} x^{2} = C (C : 積分定数) \end{matrix}

$C = \frac{k}{2} A^2$ とおくと

\begin{aligned} \frac{m}{2} {(\frac{d x}{d t})}^{2} & = \frac{k}{2} (A^{2} - x^{2}) \\ \frac{d x}{d t} & = \pm \sqrt{\frac{k}{m} (A^{2} - x^{2})} \end{aligned}

変数分離して積分

\begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{A^{2} - x^{2}}} d x & = \int \pm \sqrt{\frac{k}{m}} d t \\ \cos^{- 1} \frac{x}{A} & = \pm (\sqrt{\frac{k}{m}} t + ϕ) (ϕ : 積分定数) \\ \frac{x}{A} & = \cos (\pm (\sqrt{\frac{k}{m}} t + ϕ)) \\ x & = A \cos (\pm (\sqrt{\frac{k}{m}} t + ϕ)) \end{aligned}

ここで

\begin{matrix} (4) & ω \equiv \sqrt{\frac{k}{m}} \end{matrix}

$\cos$ $\cos (-x) = \cos x$ であることから

\begin{matrix} (5) & x = A \cos (ω t + ϕ) \end{matrix}

$\eqref{general-solution}$ が導出できた.

$\eqref{def_angular-frequency}$ $\omega \equiv \sqrt{ \frac{k}{m} }$ $\eqref{eom_spring}$ $m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx$ は共通の運動方程式 :

\begin{matrix} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - ω^{2} x \end{matrix}

$\eqref{common-eom}$ に帰着することが確認できた.

$\omega$ $\eqref{def_angular-frequency}$ $\omega = \sqrt{ \frac{k}{m} }$ として記述できるため, この例における各物理変数の振動への寄与は下記の通り:

$k$	$m$		$\omega = \sqrt{ \frac{k}{m} }$	$x$
$k$ 大きい	そのまま	→	$\omega$ 大きい	素早い振動
$k$ 小さい	そのまま	→	$\omega$ 小さい	ゆっくりな振動
そのまま	$m$ 小さい	→	$\omega$ 大きい	素早い振動
そのまま	$m$ 大きい	→	$\omega$ 小さい	ゆっくりな振動

このように, 共通の運動方程式の形で記述することにより, 各系の特性を知ることができる.

単振り子

$m$ $g$ $l$ $x$ $\theta$ とする.

おもりにかかる力は下図の通り.

simple-pendulum_solution

$x$ $mg$ $x$ 成分がかかっているため,

\begin{matrix} (6) & m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - m g \sin θ \end{matrix}

$\eqref{eom_pendulum}$ $x$ $x = l \theta \notag$ なので,

\begin{aligned} m \frac{d^{2} (l θ)}{d t^{2}} & = - m g \sin θ \\ (7) & \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} & = - \frac{g}{l} \sin θ \end{aligned}

$\sin \theta$ はテイラー展開によって,

\begin{matrix} (8) & \sin θ = θ - \frac{1}{3!} θ^{3} + \frac{1}{5!} θ^{5} + . . . \end{matrix}

$\theta$ $\eqref{sin_taylor}$ の高次の項は無視でき, 近似的に

\begin{matrix} \sin θ \sim θ \end{matrix}

$\eqref{eom_pendulum-2}$ は,

\begin{aligned} \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} & = - \frac{g}{l} (θ - \frac{1}{3!} θ^{3} + \frac{1}{5!} θ^{5} + \dots) \\ (9) & \sim - \frac{g}{l} θ \end{aligned}

$\omega \equiv \sqrt{ \frac{g}{l} }$ $\frac{d^2 \theta}{dt^2} \sim - \frac{g}{l} \theta$ $\frac{d^2 x}{d t^2} = - \omega^2 x$ に帰着する.

$\frac{d \theta}{d t}$ $t$ で積分すると

\begin{aligned} \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} \frac{d θ}{d t} & = - \frac{g}{l} θ \frac{d θ}{d t} \\ \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} \frac{d θ}{d t} + \frac{g}{l} θ \frac{d θ}{d t} & = 0 \\ \int \frac{d}{d t} (\frac{1}{2} {(\frac{d θ}{d t})}^{2} + \frac{1}{2} \frac{g}{l} θ^{2}) d t & = 0 \\ (10) & \frac{1}{2} {(\frac{d θ}{d t})}^{2} + \frac{1}{2} \frac{g}{l} θ^{2} & = C (C : 積分定数) \end{aligned}

となり, エネルギー保存の式が導出された.

$A$ $\phi$ として, 運動方程式から一般解を導出する.

$\eqref{pendulum-energy}$ $C = \frac{1}{2} \frac{g}{l} A^2$ とおくと

\begin{aligned} \frac{1}{2} {(\frac{d θ}{d t})}^{2} & = \frac{1}{2} \frac{g}{l} (A^{2} - θ^{2}) \\ \frac{d θ}{d t} & = \pm \sqrt{\frac{g}{l} (A^{2} - θ^{2})} \end{aligned}

変数分離して積分

\begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{A^{2} - θ^{2}}} d θ & = \int \pm \sqrt{\frac{g}{l}} d t \\ \cos^{- 1} \frac{θ}{A} & = \pm (\sqrt{\frac{g}{l}} t + ϕ) (ϕ : 積分定数) \\ \frac{θ}{A} & = \cos (\pm (\sqrt{\frac{g}{l}} t + ϕ)) \\ θ & = A \cos (\pm (\sqrt{\frac{g}{l}} t + ϕ)) \end{aligned}

ここで

\begin{matrix} (11) & ω \equiv \sqrt{\frac{g}{l}} \end{matrix}

$\cos$ $\cos (-x) = \cos x$ であることから, 一般解:

\begin{matrix} θ = A \cos (ω t + ϕ) \end{matrix}

が導出できた.

$\omega = \sqrt{ \frac{g}{l} }$ $\omega$ $l$ を小さくすれば良い.

$\eqref{omega-gl}$ $\omega \equiv \sqrt{ \frac{g}{l} }$ $\eqref{eom_pendulum-theta}$ $\frac{d^2 \theta}{dt^2} \sim - \frac{g}{l} \theta$ は

\begin{matrix} (12) & \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - ω^{2} x \end{matrix}

$\eqref{common-eom}$ に帰着することが確認できた.

次回以降の準備 (複素数と三角関数)

$\cos$ を用いて表現していたが, 実は, 他の形式でも表現することができる. 具体的な紹介は次回以降で行うが, ここではその準備として, 複素数と三角関数との対応をみていく.

以下は詳細版とざっくりまとめ版の2段構成になっている. 詳細版については細かい内容も記述しているので, それが不要であればざっくりまとめ版に目を通すだけでも良い.

複素数, 複素平面 (詳細版)

複素数の歴史

$\sqrt{-1}$ という奇妙な数が現れることに気づいて以来, 長い間, 虚数は単なる想像上の数として扱われた.

その後, 18世紀末から19世紀初頭に複素数を平面上の点で表すというアイディアが発展し, 複素数の全体像が次第に明らかになっていき, 現在では複素数は自然科学・工学で不可欠な言語となっている. すなわち複素数を考えると, 普通は隠れている調和と法則性が見えてくる.

複素数を表す平面（複素平面）を考えると, 複素数の性質が具体的にも直観的にもより良く理解できるようになるため, 複素数を取り扱うときは, 常に複素平面を描いて考えると良い.

複素数に至るまでの数の拡張

自然数（natural number）

$1,2,\dots,n,\dots$ $a,b$ $a+b$ $ab$ も自然数

↓

整数（integer）

$0,\pm 1, \pm 2,\dots$ $a+x=b$ が常に解をもつために, 自然数にゼロと負の数を加えた数の集合が整数

↓

有理数（rational number）

$x=\frac{b}{a}\quad (a\ne 0)$ $a,b$ $ax=b \quad (a\ne 0)$ が常に解をもつために, 整数に分数を加えた数の集合が有理数

無理数（irrational number）

$\pm \sqrt{2}, \pm \sqrt{3},\dots, \pi,\dots$ $x^2 =3$ $\pm \sqrt{3}$ $\pi$ $e$ など, 有理数 (整数の分数) として表せない数を無理数と呼ぶ

↓

実数（real number）

有理数と無理数をまとめて実数と呼ぶ.

虚数（imaginary number）

$x^2=-1$ などが解をもつために, 新たに導入した2乗して負になる数虚数 $i$ $i^2=-1$ ).

↓

複素数（complex number）

実数と虚数の和または差からなる数 $\alpha = a+ bi$ $a,b$ は実数)を複素数と呼ぶ

$a={\rm Re} \alpha$ $\alpha$ $a=0$ $\alpha$ は虚数となる)
$b={\rm Im} \alpha$ $\alpha$ $b=0$ $\alpha$ は実数となる)
$\alpha = a + i b$ $a,b$ は実数)」の形にただ一通りに表される.

$a,b,c\ (a\ne 0)$ $ax^2 + b x + c =0\quad (a \ne 0)$ $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ $a,b,c$ が複素数であっても, 必ず複素数の範囲に解をもつ）

$\alpha_n x^n + \alpha_{n-1} x^{n-1} + \dots + \alpha_1 x + \alpha_0=0$ $\alpha_n, \alpha_{n-1},\dots ,\alpha_1, \alpha_0$ は任意の複素数). この方程式が常に解をもつためには, 数の範囲をさらに広げる必要はない.

すなわち, $n$ $n$ 個の解を複素数の範囲にもつ（重根は別々に数える） ということが知られている. したがって, 数の範囲の拡張は複素数で終わり, 実数と同じように, 四則演算や極限を考えることができる数の体系であることがわかる.

複素数の四則演算

$\alpha = a+b i,\ \beta=c+di$ $\alpha=\beta \Longleftrightarrow a=c,\ b=d$ が成り立つ
- $a=c,\ b=d$ が成り立つとき, 互いに等しい
- $\alpha =\beta$ $a=c,\ b=d$ が成り立つ
$\alpha = a+bi =0$ $\alpha =0 \Longleftrightarrow a=0,\ b=0$ が成り立つ
$i^2=-1,\ (-i)^2=-1$ ）
- $\alpha + \beta = \beta + \alpha,\quad (\alpha+\beta)+\gamma = \alpha +(\beta+\gamma)$
- $\alpha \beta = \beta \alpha,\quad (\alpha \beta)\gamma = \alpha (\beta \gamma)$
- $\alpha (\beta+\gamma)=\alpha \beta+\alpha \gamma$
- $\alpha+0 =\alpha,\quad \alpha\cdot 1=\alpha$
- $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$
- $(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$
- $(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i$
- $\ \frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2} =\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i\quad (c+di \ne 0)$
$\frac{1}{c+di}=\frac{c}{c^2+d^2}-\frac{d}{c^2+d^2}i$ $1\ (a=1, b=0)$ の場合)
$\alpha + (-\alpha)=0$ $\alpha\cdot\frac{1}{\alpha}=1\quad (\alpha \ne 0)$

$\alpha_1 = 1+i,\quad \alpha_2 = 3+2i$ に対して

$\alpha_1 + \alpha_2 = 4+3i$
$\alpha_1^2 +2 \alpha_2 + i = (1+i)^2 +2 (3+2i) + i = (1+2i-1)+2 (3+2i)+i = 2i +6+4i+i = 6+7 i$
$\frac{\alpha_2}{\alpha_1} = \frac{3+2i}{1+i} =\frac{(3+2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} =\frac{3-3i+2i+2}{2} =\frac{5-i}{2}$
$\alpha_1 \alpha_2 + \alpha_2 = \alpha_2 (\alpha_1 +1) = (2+i)(3+2i) = 6+4i+3i-2 = 4 + 7 i$

共役 (きょうやく)

$\alpha = a+bi$ $\alpha^* = a-bi\$
${\rm Re}\alpha = {\rm Re}\alpha^* = \frac{\alpha+\alpha^*}{2}$
${\rm Im}\alpha = -{\rm Im}\alpha^* = \frac{\alpha-\alpha^*}{2i}$
$\alpha$ ${\rm Im}\alpha=0$ $\alpha=\alpha^*$
$\alpha$ ${\rm Re}\alpha=0$ $\alpha=-\alpha^*$
次の関係が成り立つ
- $(\alpha^*)^*=\alpha$
- $(\alpha_1 \pm \alpha_2)^* = \alpha_1^* \pm \alpha_2^*$
- $(\alpha_1 \alpha_2)^* = \alpha_1^* \alpha_2^*$
- $\left(\frac{\alpha_1}{\alpha_2}\right)^*=\frac{\alpha_1^*}{\alpha_2^*}\quad (\alpha_2 \ne 0)$

絶対値

$\alpha = a+ bi$ $|\alpha| = \sqrt{a^2+b^2},\quad |\alpha|^2 = \alpha \alpha^*$

$\alpha$ $\alpha^*$ $\alpha \alpha^* = a^2 +b^2$ $+\sqrt{a^2 +b^2}$ $\alpha$ の絶対値と呼ぶ

$|\alpha|=0 \Leftrightarrow \alpha=0$ すなわち,
- $\alpha=0$ $a=0, b=0$ $|\alpha|^2=0$
$|\alpha|=0$ $a=0, b=0$ $\alpha=0$
$\alpha = a+bi, \beta = c+di$ $|\alpha \beta|=|\alpha||\beta|$ すなわち,
- 任意の2つの複素数の積の絶対値は, 各々の絶対値の積に等しい

\begin{aligned} ∵ α β & = (a + b i) (c + d i) \\ = (a c - b d) + (b c + a d) i \\ \Rightarrow | α β | & = \sqrt{(a c - b d)^{2} + (b c + a d)^{2}} \\ = \sqrt{a^{2} c^{2} - 2 a b c d + b^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} + 2 a b c d + a^{2} d^{2}} \\ = \sqrt{a^{2} (c^{2} + d^{2}) + b^{2} (c^{2} + d^{2})} \\ = \sqrt{(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2})} \\ = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sqrt{c^{2} + d^{2}} \\ = | α | | β | \end{aligned}

$\alpha_1 = a+bi, \alpha_2 = c+di$ $\left|\frac{\alpha_1}{\alpha_2}\right| = \frac{|\alpha_1|}{|\alpha_2|}\quad (\alpha_2 \ne 0)$ すなわち,
任意の2つの複素数の商の絶対値は, 各々の絶対値の商に等しい
$\begin{aligned} ∵ | \frac{α_{1}}{α_{2}} | & = | \frac{(a c + d b) + i (b c - a d)}{c + i d} | = | \frac{(a c + b d) + i (b c - a d)}{c^{2} + d^{2}} | \\ = \frac{\sqrt{(a c + b d)^{2} + (b c - a d)^{2}}}{c^{2} + d^{2}} = \frac{\sqrt{a^{2} c^{2} + b^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} + a^{2} d^{2}}}{c^{2} + d^{2}} \\ = \frac{\sqrt{(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2})}}{c^{2} + d^{2}} = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{\sqrt{c^{2} + d^{2}}} \\ 一方、 \\ \frac{| α_{1} |}{| α_{2} |} & = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{\sqrt{c^{2} + d^{2}}} \end{aligned}$
2つ以上の複素数があるとき, 実数の場合と異なり, 複素数の間に大小の順序関係は存在しない. 一方, 複素数の絶対値は実数であるから, 順序関係が定義できる.

複素平面

実数は直線（数直線）上の点で表される ↓ 2つの実数の組からなる複素数は, 平面上の点で表すことができる.

real-line_complex-plane

$(x,y)$ $\alpha = a+bi$ $x$ $y$ $a,b$ $(a,b)$ $z=x+iy$ $xy$ $(x,y)$ を対応付けるとき, この平面を複素平面 (complex plane) という.

$x$ $y$ 軸) = 虚軸と呼ぶ.

$\mathbb{C}$ $\mathbb{R}$ ：複素平面の実軸に相当

$\alpha$ のことを, $\alpha$ と呼ぶこともある

複素数の各性質の複素平面上の対応

実軸に関して折り返した点は複素共役に対応

$O$ $\alpha = a+ bi$ $\sqrt{a^2 +b^2 }= |\alpha|$ $\alpha$ $\alpha$ までの距離に等しい

$\alpha_1 =a_1 +b_1 i,\ \alpha_2 = a_2 +b_2 i$ $\sqrt{(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2}=|\alpha_1 -\alpha_2|$

また, 下記の不等式が成り立つ

$|{\rm Re}\alpha| , |{\rm Im}\alpha| \le |\alpha| \le |{\rm Re}\alpha| + |{\rm Im}\alpha|$

オイラーの公式

式

$i\theta$ $e^{i\theta}$ を天下り的に

\begin{matrix} (13) & e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ \end{matrix}

で定義する.

$\eqref{euler}$ $e^{i\theta}$ $z$ $z = r (\cos \theta + i \sin \theta)= r e^{i\theta},\ z^* = r e^{-i\theta}$ と表される.

導出される公式

また, オイラーの公式から次の公式が導かれる：

$|e^{i\theta}|=|\cos \theta + i \sin \theta|=\cos^2 \theta + \sin^2 \theta=1$
$e^{i\theta_1} e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1+\theta_2)}$
$(e^{i\theta})^{-1} = \frac{1}{\cos \theta + i \sin \theta} = \frac{\cos \theta - i \sin \theta}{(\cos \theta + i \sin \theta)(\cos \theta - i \sin \theta)} = \cos \theta - i \sin \theta = e^{-i\theta}$
$(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$
$e^{n \pi i} = (-1)^n,\qquad e^{(n+1/2)\pi i}= (-1)^ni$
$\cos \theta = \frac{e^{i\theta}+ e^{-i\theta}}{2},\qquad \sin \theta= \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$
$\frac{d}{d\theta} e^{i\theta}= i e^{i\theta},\qquad \frac{d^2}{d\theta^2} e^{i\theta}= -e^{i\theta}$

極形式

直交座標の代わりに

\begin{matrix} (14) & z = a + b i = r (\cos θ + i \sin θ) \end{matrix}

と表わす方法を「極形式」という.

polar-form

ここで,

$a=r \cos \theta,\ b=r \sin \theta$
$r = |z|$
$\theta$ $z$ の偏角と呼ばれる
- $\theta = {\rm arg} z$ （アーギュメント・ゼット）と表す
- $z$ $\theta$ $2\pi n\ (n=0, \pm 1, \pm 2,\dots)$ の不定性が残る
- $0 \le \theta < 2\pi$ $-\pi < \theta \le \pi$ $a < \theta \le a+2\pi$ でも良い）
- $-\pi < {\rm Arg}(z) \le \pi$ ）ときの偏角を ${\rm Arg}(z)$ と書き, 偏角の主値と呼ぶ (以後, 特に断らない限り, 通常は偏角は主値を取るものとする)
- $z$ $\theta$ $\theta + 2 \pi n \quad (n=0,\pm 1, \pm 2,\dots)$ $z$ の偏角となる
- $z=0$ $\theta$ $0$ の偏角は定義しない
- $-\pi < {\rm Arg}(z) \le \pi$ ととるのが自然かもしれないが, 何でもよい. )
$z^* =a-bi=r(\cos \theta-i \sin \theta)= r e^{-i\theta}$

$\sqrt{z}$ $\log z$ $n$ 乗根を求める場合などで深い意味をもつようになる.

複素数, 複素平面 (ざっくりまとめ版)

実数と虚数との和・差を複素数と呼ぶ.

\begin{aligned} 複 素 数 & : z = x + i y (x, y : 実 数, i : 虚 数 単 位, z : 複 素 数) \\ 実 部 & : R e z = x \\ 虚 部 & : I m z = y \\ 複 素 共 役 & : z^{*} = x - i y \\ オ イ ラ ー の 公 式 & : e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ \\ (15) & 複 素 数 の 極 形 式 (極 座 標 表 示) & : z = A (\cos θ + i \sin θ) = A e^{i θ} (A : 絶 対 値, θ : 偏 角) \\ 絶 対 値 (複 素 数 の 大 き さ) & : | z | = A = \sqrt{z^{*} z} = \sqrt{(x - i y) (x + i y)} = \sqrt{x^{2} + y^{2}} (A : 実 数) \end{aligned}

複素平面 : 複素数を実部と虚部の空間に対応させたもの

complex-plane

三角関数と複素指数関数

実数の指数関数の拡張として, 複素数での指数関数 (複素指数関数) を定義し, 三角関数との関係を見ていく.

複素指数関数

$x$ $e^x$ を考える.

$e^x$ をテイラー展開すると,

\begin{aligned} e^{x} & = 1 + x + \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{3!} x^{3} + \dots + \frac{1}{n!} x^{n} + \dots \\ (16) & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^{n} \end{aligned}

$z=x+iy$ に拡張したもの:

\begin{aligned} 1 + z + \frac{1}{2!} z^{2} + \frac{1}{3!} z^{3} + \dots + \frac{1}{n!} z^{n} + \dots \\ (17) & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} z^{n} \end{aligned}

$\eqref{exp-z-infty-series}$ は,

$|z|=\infty$ を除けば収束し,
$y=0$ $z=x$ $z$ $\eqref{exp-real-taylor}$ と一致

$\eqref{exp-z-infty-series}$ $z=x+iy$ $e^z$ を

\begin{aligned} e^{z} & \equiv 1 + z + \frac{1}{2!} z^{2} + \frac{1}{3!} z^{3} + \dots + \frac{1}{n!} z^{n} + \dots \\ (18) & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} z^{n} \end{aligned}

$e^z$ $e^x$ と同様に

$z=0$ $e^z=e^0=1$
$z=1$ $\displaystyle{e^z = e^1 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} 1^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = e}$
$e^{z_1} e^{z_2} = e^{z_1 + z_2}$
$\frac{d e^z}{dz} = e^z$ $\frac{d e^{cz}}{dz} = c e^{cz}$ $c$ : 定数)

といった性質を持つ.

複素指数関数の三角関数表現

$z=iy$ の場合

$z$ $iy$ $e^z$ $\eqref{exp-z-taylor} ~~ \displaystyle{e^z \equiv \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} z^n}$ $z=iy$ を代入すると,

\begin{matrix} (19) & e^{i y} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} i^{n} y^{n} \end{matrix}

$n$ の偶数奇数で分けると

\begin{aligned} e^{i y} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2 n!} i^{2 n} y^{2 n} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(2 n + 1)!} i^{2 n + 1} y^{2 n + 1} \\ (20) & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2 n!} (- 1)^{n} y^{2 n} + i \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(2 n + 1)!} (- 1)^{n} y^{2 n + 1} \end{aligned}

$\cos y$ $\sin y$ をテイラー展開すると

\begin{matrix} (21) & \begin{aligned} \cos y & = 1 - \frac{1}{2!} y^{2} + \frac{1}{4!} y^{4} + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2 n!} (- 1)^{n} y^{2 n} \\ \sin y & = y - \frac{1}{3!} y^{3} + \frac{1}{5!} y^{5} + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(2 n + 1)!} (- 1)^{n} y^{2 n + 1} \end{aligned} \end{matrix}

$\eqref{exp-y-taylor-divide}$ は,

オイラーの公式 :

\begin{matrix} (22) & e^{i y} = \cos y + i \sin y \end{matrix}

と書き直せる. これはオイラーの公式と呼ばれる.

$z=-iy$ の場合

$z$ $-iy$ $z=iy$ の場合と同様に計算すると

\begin{aligned} e^{- i y} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} (- 1)^{n} i^{n} y^{n} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2 n!} (- 1)^{2 n} i^{2 n} y^{2 n} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(2 n + 1)!} (- 1)^{2 n + 1} i^{2 n + 1} y^{2 n + 1} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2 n!} (1) (- 1)^{n} y^{2 n} + i \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(2 n + 1)!} (- 1) (- 1)^{n} y^{2 n + 1} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2 n!} (- 1)^{n} y^{2 n} - i \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(2 n + 1)!} (- 1)^{n} y^{2 n + 1} \\ (23) & = \cos y - i \sin y \end{aligned}

となる.

三角関数の複素指数関数表現

$\eqref{exp-iy-cos-sin}$ $\eqref{exp--iy-cos-sin}$ によって, 三角関数は

\begin{array}{r} \cos y = \frac{e^{i y} + e^{- i y}}{2} \\ \sin y = \frac{e^{i y} - e^{- i y}}{2 i} \end{array}

のように, 複素数を用いた指数関数で表現することができる.

$\eqref{general-solution}$ $x(t) = A \text{cos} (\omega t + \phi)$ を

\begin{matrix} x = C_{1} e^{i ω t} + C_{2} e^{- i ω t} (C_{1}, C_{2} : 複素数の任意定数) \end{matrix}

として記述することができる (具体的な導出は次回).

ゆっくりな振動	素早い振動
$A=10 ,~ \phi = -2 ,~ \omega = 1$	$A=10 ,~ \phi = -2 ,~ \omega = 2$

$k=1, m=4 ~\to~ \omega=1/2$	$k=1, m=1 ~\to~ \omega=1$	$k=4, m=1 ~\to~ \omega=2$

振動波動論 第1回 本編