応用プログラミング演習（制御）（1）

今回はこれから学ぶで制御工学について，情報処理の観点から扱う．
制御工学で学ぶのは線形系であるため，基本は解析解（＝紙と鉛筆で解けるもの）を求めることが可能な状態を扱う．
しかしながら，昨今の制御系はディジタル制御のセンサやデバイスを多用するため， 連続量でなくセンサなどから得られる「離散量を基にした制御」を考えておく必要がある．

制御理論の超基礎

私たちの身の周りには，空調の温度設定や，自動車の自動速度設定など， 機器などの動作状態を指示通りにコントロール（＝制御）したい場合が多く存在する．

何かの対象の状態を計測し，それを元に所望の設定通りに状態を制御する方法の基本は，フィードバック制御と呼ばれる方法である．
動作原理は至ってシンプルで，

• 制御対象の「状態」をセンサなどで計測
• 「設定値」と計測値を比較して偏差（ズレ）を算出
• 偏差をもとに，対象に対して何らかの作用

を行うことで実現できる．
以下に基本的な制御構造の原理図を示す．

図中の記号はそれぞれ，

• SV ( Set Variable ) ： 目標値．または設定値．（エアコンの設定温度など）
• PV ( Process Variable ) ： 応答．現在の状態の計測値．（温度センサの出力など）
• MV ( Manupilative Variable ) ： 操作量．制御器（コントローラ）が発する指令．（ヒートポンプの出力の増減など）

である． これから頻繁に出てくる単語なので覚えておこう．

さて，操作に対して，制御対象が即座に反応して設定値に到達する （つまり，$SV == PV$） ならば制御の必要はないが，現実には操作と機器の反応には時間差が生ずる． これを遅れ，time-lagという．

例：一次遅れと時定数の例

以下に一次遅れの例を図示する． これはステップ応答とも呼ばれ，並進運動においては質量の大きな物体，モータなど回転運動においては慣性モーメントが大きなもの，伝熱現象では熱容量の大きなものほど，入力に対する応答の遅れが大きくなる．

一時遅れを式で示すと， \begin{align} f(t) = K\left(1-\exp(-\dfrac{t}{T}) \right) \end{align} となる．
ここで，$K$ は終端値となる定数である． $T$ は時定数と呼ばれ，時定数は1次遅れの基本的な特性を示す．
（時定数=$\tau$とすることもある．）

$T$ は応答の遅れ具合と考えればよいく，この値が大きいほど，入力に対する反応の遅れが大きいことを意味する．

具体例として，エアコンなど空調機による室温制御では，室内の空気や壁面・床などの熱容量などに起因する遅れがある．
時定数が大きくなる要因として，部屋が広く気積が大きい場合，机など熱容量の大きなものが置かれている場合，壁に断熱材がなく剥き出しのコンクリートで囲われている，などである．

エアコンの制御では，暖房で設定温度(SV)まで温めようとする場合，温度(PV)の低い部屋にたいして，はじめは熱交換器の出力(MV)を高めにして暖気を室内に送り込むが，部屋の温度の測定値(PV)が，設定温度(SV)に近づいてきたら熱交換器の出力(MV)を下げて，徐々に設定値(SV)に近づける手順をおこなうことになる．

制御アルゴリズム

マイコンなどコンピュータを用いる実際の機器制御においては，操作量 MV の計算を一定周期 $\Delta t$ ごとに繰り返す処理が行われる．
この際に，設定値 SV および計測値 PV から，MV を具体的にどのように決定するかが問題となる．

位置型制御と速度型制御

操作量 MV の決め方には様々なものがあるが，基本的には，目標値 SV と現在値 PV の離れ具合から操作量を決めると良さそうである．
まず，現在の操作量 MV を（過去の操作量にかかわらず）決めてしまう方式を「位置型制御」と呼ぶ．
これに対して，SVとPV から操作量 MV の「変化量」$\Delta MV$ を決めて，MV を更新する方式を「速度型制御」と呼ぶ．
速度型制御では，制御周期 $\Delta t$ を決め，1周期内に，計測，演算，および操作量 MV の計算を実行し，これを繰り返す．

以下の式で第 $n$ 回目の周期における操作量 MV を決定する．
\begin{align} MV_n = MV_{n-1} + \Delta MV_n \end{align} この式は，前回の操作量 $MV_{n-1}$ に，今回の変化分 $\Delta MV_n$ だけ加える，という意味である．

操作量の決め方

制御の目的は，計測値 PV を目標値 SV に近づけることであるから，その差（偏差と呼び，$e = SV - PV$と表す）をいかに素早く減らし，最終的に $e=0$ にするかが重要となる．
言い換えれば，計測された偏差たいして，制御器を調整することで，システム全体の応答を様々に変化させることが可能である．
例えば，エアコンの場合は，設定温度(SV)と，現在の室温(PV)の差から，熱交換器の出力(MV)を決めてやればよいと考えられる．

オン・オフ制御

一番単純な制御は，偏差の正・負で，制御器をON/OFFする「オン・オフ制御」である．

オン・オフ制御の例：

• こたつ，冷蔵庫・・・計測値が設定値を超えたら or 下回ったら OFF or ON．
  例えば，SV > PV なら MV=1, それ以外なら MV=0
• 街路灯，玄関灯などの照明器具・・・光センサの検出照度が一定値以下になったら ON，明るくなったら OFF
• 圧縮機（コンプレッサ）のモータ・・・圧力が一定値以下になったら ON，一定値以上になったら OFF

ON/OFF 制御は単純で安価に構築できるが，その性質上，値の変動が大きくなる傾向にあるので，その変動が問題とならないような場合に適している．

比例制御（P制御）

次にもう少し制御らしい方法を学ぼう．
いちばん基本的な制御は P 制御である．P は Proportional の略であり，「比例制御」とも呼ばれる．
（このほかにも，PD制御，PID制御などがある．）

P制御では，偏差 $e$ に定数 $K_p$（比例ゲインと呼ばれる）を掛けて，操作量 MV を決定する．
具体的には，操作量 $MV_n$ を以下の通り与える．

• 位置型制御は，現在の値のみで MV を決定する．
• 速度型制御は，時間履歴が必要，時刻 $n-1$ の値が使われる．

つまり，位置型では「偏差の値」に応じて操作量を決定し，速度型では，「偏差の変化量」に応じて，操作量の増減量を決める．
いずれも，現在値と目標値が大きく異なれば変化を大きくし，目標値に近くなれば操作量を減じて微修正をする，と理解することができる．

1次遅れモデルの離散表現

実際の物理現象では，応答PVは，入力操作 MV に対して慣性や熱容量などの影響により少し遅れて反応する．
この効果をシミュレーションに反映するために，PV の計算に以下の遅れをモデルを用いる．

制御対象の一次遅れ系において， $T$ を時定数として，目標値と操作量は以下の関係にある．

\begin{align} \frac{d}{dt}PV + \frac{1}{T} PV = MV \end{align}

制御周期を $\Delta t$ として，第 $n$ 周期後の応答 PV は，以下の式で得られることとする．
以降のシミュレーションでは，この計測値が得られるものとして進める．（＝実機の応答遅れを，この式で表現することとする）

シミュレーションプログラム作成にあたって

上記のような制御アルゴリズムをプログラムで扱う場合，以下のような変数，定数を用意すればよい．

• 目標値 $SV$, 制御対象の時定数 $T$, 制御周期 $\Delta t$, 比例ゲイン $K_p$
• 現制御周期の偏差 $e_n$ , 必要に応じて前制御周期の偏差 $e_{n-1}$
• 現制御周期の操作量 $MV_n$ ，必要に応じて変化分 $\Delta MV_n$ , 前制御周期の操作量 $MV_{n-1}$
• 現制御周期の応答 $PV_n$

を用意すればよい．

添字の $n$ や $n-1$ は時刻を表すが，各時刻の $PV$， $MV$ 値を全周期分，保存する必要はなく， 「現」制御周期と「前」制御周期に関するデータ2時刻分だけをメモリ上に保存しておけばよい．
また，制御の経過を逐次記録してグラフ化する場合は，各計算ステップごとに fprintf() などを用いてファイルに書き出しておくとよい．

実習課題

提出物：(1)課題1で作成した関数と，それを使用した課題2のシミュレーションのソースファイル（1つにまとめる）， (2)シミュレーション結果のグラフを記したファイル(.xlsx, .jpeg, .pngなど)，の計2つとする．

課題1

上記のアルゴリズムを基に，位置型制御の関数を作成して，制御シミュレーションを行う．
以下の手順でプログラムを作成してみよう．

1. 関数1：MVの計算
   現時刻の制御周期における操作量 $MV_n$ を生成する．
   \begin{align} MV_n = K_p e_n = K_p( SV - PV_{n-1}) \notag \end{align} 関数の計算に必要な値を引数として、MVを計算して返す関数を作成する．
   


2. 関数2：PVの計算
   システムの応答 PV は，実際には何らかの計測値として得られるが，今回はシミュレーションなので計算で求めることとする．
   次式より，時定数 $T$ のシステムに操作MVが入力された時の応答 PV を計算する．
   PVは制御周期 $\Delta t$ ごとに得られる時系列データなので，ループ処理で $PV_n$ を順次ファイルに書き出す．
   \begin{align} PV_n = \left( \frac{T}{T + \Delta t } \right) PV_{n-1} + \left( \frac{\Delta t}{T+ \Delta t} \right) MV_n \end{align} 計算には，ひとつ前の周期の値 $PV_{n-1}$ が必要であることに注意．
   

参考ソースファイル：githubのリポジトリ 上の ctrl_sample.cpp
注：参考ソースファイルは理解を促すためのものであり，丸写しでの提出は厳禁．

課題2

上記で作成した関数を用いて制御シミュレーションを行い，Excel, gnuplot, matplotlib などでグラフを作成せよ．

シミュレーション（終了）時刻は，時定数の数倍（2∼3倍以上程度）とし， 初期値および目標値を設定しよう．
例えば，温度の計測値の初期値 PVn_current = 今日の最低気温とし，目標値 $SV$ = エアコンの設定温度（25.0度など）とする． 各自で任意に設定してよい．

制御周期 $\Delta t$ は 2∼3 種類，$K_p$ も 2∼3 種類変え，比較のグラフを作成し，どのように相違が生ずるか考察せよ．
（すべてのグラフを重ねると見づらいので， $\Delta t$ ごとに，$K_p$ 違いの $PV$ 値を1つのグラフ内に描くと良い．）
なるべく短時間で目標値に到達するのが，制御の目標であるので，$K_p$を調整してグラフの変化を比較しよう．

処理の流れ

1. 各定数を決める
2. ループを設定し，刻み時間 $\Delta t$ 間隔で
   • 操作量 $MV_n$の値を計算する．
   • 応答 $PV_n$ の値を求め，ファイルや画面に書き出す，または配列に格納．
3. シミュレーション終了時刻までループを繰り返す．

参考：比例制御だけでは，偏差がいつまで経っても 0 にならず，応答=目標値とならない． これを定常偏差と言う．