幾何学特論C (2014年度)

明治大学大学院理工学研究科基礎理工学専攻数学系M1向けに開講されている講義で，多様体の復習からガウスボンネの定理までを扱います。

開講曜日・教室

連絡事項

• 6/23　レポート課題を出しました．
• 6/30 は休講です．
• 4/28　レポート課題を出しました．

講義の記録

1. 4/14　曲面の曲がり具合
   ２変数関数のグラフで表される曲面について，各点の周りの様子がガウス曲率の符号で分かることを説明した．
   資料：資料20140414
2. 4/21　一般の曲面の曲率
   一般の曲面を定式化し，曲面は局所的には2変数関数のグラフで表すことが出来ることを主張した（証明は次週）．
   資料：資料20140421
3. 4/28　一般の曲面のGauss曲率
   一般の曲面についてGauss曲率を定義し，各点の曲がり具合がGauss曲率の符号で判別できることを示した．また，Gauss曲率をパラメータ表示から計算するための公式を与えた．
   レポート課題：レポート課題20140428
4. 5/12　Gaussの驚きの定理
   前半で，ガウス曲率がパラメータ表示の取り方によらないことを示した．後半で，ガウスの驚きの定理を紹介した．
5. 5/19　多様体，なめらかな写像
   曲面を一般化した多様体の概念とその上のなめらかな写像について説明した．
6. 5/26　接空間（曲面の場合）
   多様体の接空間を定式化するために，まず，3次元空間内の曲面の各点の接平面について内在的な（曲面が3次元空間に入っていることを用いない）特徴付けを行った．
7. 6/2　接空間（一般の多様体の場合），写像の微分
   前週の結果を踏まえて，前半で多様体の接空間を定式化し，局所座標系に付随して基底がとれること，2つの局所座標系に付随する基底の取り替えについて説明した．後半でなめらかな写像の微分を説明した．
8. 6/9　ベクトル場
   なめらかなベクトル場とその交換子積について説明した．
9. 6/16　リーマン計量，1の分割
   前半でリーマン計量について説明した．後半で1の分割について説明した．
10. 6/23　曲面の測地線
    曲面の測地線について説明した．
    レポート課題：レポート課題20140623
11. 6/30　休講
12. 7/7　曲線に沿って平行なベクトル場，共変微分（曲面の場合）
    曲面の場合に，曲線に沿って平行なベクトル場の概念，共変微分とその性質について説明した．
13. 7/14　共変微分，曲線に沿って平行なベクトル場，測地線
    リーマン多様体の場合に，共変微分，曲線に沿って平行なベクトル場，測地線を定義し性質を説明した．
14. 7/21，リーマン曲率，多様体の向き，多様体上の積分，ガウス-ボンネの定理
    リーマン曲率，多様体の向き，多様体上の積分を説明し，最後にGauss-Bonnetの定理を紹介した．