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基礎数学演習4

授業の概要・目的

この講義では、基礎数学３アドバンスト・コースの内容に並行して演習を行う。計算練習を多く積むことにより、１変数関数の微分法と積分法の習得を目標とする。なお、前半は「実数の集合の性質」を解説する。今後、解析学を学ぶ上で重要な概念であるから、じっくり取り組んでもらいたい。

授業内容

• ［第１回］　基礎事項の概説
  集合についての基礎事項を確認する。また、数学において頻繁に現れる言葉「ある」と「すべて」を解説し、論理記号についても学ぶことにする。
• ［第２回］　実数全体の集合
  この回から、実数に関する基本的な性質を解説していく。まず、上限・下限などの基礎用語について確認をする。
• ［第３回］　実数の連続性
  実数全体の集合について、その性質（公理）を紹介する。特に重要なのは「実数の連続性」である。
• ［第４回］  数列の収束・極限
  基礎数学３アドバンスト・コースで説明した数列の収束について復習し、関連する定理を紹介する。また「ε−N論法」を扱うことに慣れることを目標とする。
• ［第５回］　区間縮小法
  様々な定理を証明する際に用いられる区間縮小法について解説し、その証明を与える。また、実数の連続性について再考察する。
• ［第６回］　実数の完備性
  まず、Cauchy列とは何か説明する。さらに、与えられた実数列が収束することと、その数列がCauchy列となることが同値であることを証明する。この性質を「実数の完備性」という。
• ［第７回］　微分の定義、導関数の計算
  高校で学んだ内容、すなわち、積の微分、商の微分、合成関数の微分、逆関数の微分などについて確認する。
• ［第８回］　導関数の計算（続き）
  逆三角関数の微分、対数微分について学ぶ。
• ［第９回］　高階微分、平均値の定理
  テイラー展開を理解する上での準備が目的である。特に、何回でも微分できるとはどういうことか学ぶ。
• ［第10回］　テイラーの定理　
  テイラー展開とは、与えられた関数についてある点での近似式を求めることに他ならない。三角関数、指数関数、対数関数などの初等関数について、テイラー展開する方法を学ぶ。
• ［第11回］　積分の意味、原始関数の計算
  高校で学んだ内容、すなわち、置換積分法、部分積分法などについて確認する。
• ［第12回］　原始関数の計算
  特に、有理関数や無理関数の原始関数を求める方法を学ぶ。
• ［第13回］　原始関数の計算
  第12回に続き、有理関数や無理関数の原始関数を求める方法を学ぶ。
• ［第14回］　まとめ