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基礎数学演習1

授業の概要・目的

複素数の幾何学的表示，複素数を成分とする行列・行列式の基本事項について演習を行う。

授業内容

• （第1回）複素平面，行列，行列の演算
  複素数について高等学校の数学で習わないことについて学ぶ、中心となるのは極形式とド・モアブルの公式である。また、一般の行列の定義と、行列の和・差の定義を行う。
• （第２回）行列の積、行列の演算法則
  行列の積の定義を行う。前回の和・差とあわせて、行列はさまざまな代数的な演算法則を持つことを学ぶ。
• （第３回）複素行列、正則行列、逆行列、逆行列の計算
  行列の成分に複素数を許したものを複素行列と呼ぶ。逆行列とは、掛けると単位行列になるような行列のことである。逆行列はすべての行列に存在するわけではなく、逆行列の存在する行列を正則行列という。逆行列を実際に計算する公式について学ぶ。
• （第４回）行列の分割
  行列をいくつかの小さいサイズの行列に分割することについて、とくに小行列、小行列式について学ぶ
• （第５回）Rn,Cn、写像、線形写像
  n次元実数（複素数）空間について学ぶ。また写像の定義を行う。線形写像の定義を学ぶ。
• （第６回）線形写像の行列表現、行列の積との関係
  線形写像は行列により表示されることを学ぶ。その際に、行列の積が写像の合成に対応していることを学ぶ。
• （第７回）置換、互換への分解
  置換（自然数の並べ替え）について学ぶ。互換とは二つの自然数を入れ替えることをいう。すべての置換は互換の積で表現されることを学ぶ。
• （第８回）互換への分解（続き）、置換の符号
  置換には符号を定めることができる。つまり、置換を互換の積で書き表したとき、偶数個の互換で書き表されれば正であるといい、奇数個の互換で書き表されれば負であるという。
• （第９回）行列式の定義、行列式の基本性質
  行列式を定義する。行列式の定義には置換を用いる。行列式の基本性質として、行列の積との関係などについて学ぶ。
• （第１０回）行列式の基本性質（続き）、行列式の展開
  行列式は小行列式を用いた公式がある。この公式を展開公式と呼ぶ。
• （第１１回）行列の積の行列式、正則行列
  行列の積の行列式はそれぞれの行列式の積になっていることを学ぶ。また、正則行列とは、行列式が０でない行列のことであることを学ぶ。
• （第１２回）逆行列、連立方程式の解法
  一般のサイズの正方行列についての逆行列の公式は行列式を使って書かれる。また、n元連立１次方程式は逆行列を用いて解くことができることを学ぶ。また、行列式を用いた連立方程式の解の公式であるところのクラーメルの公式を学ぶ。
• （第１３、１４回）まとめ
  以上のまとめを行う。