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研究内容：桂田准教授

(1) 代用電荷法の数学的解析

 ラプラス方程式の数値解法の一種である代用電荷法を数学的に解析する研究です。特にどのような条件下で代用電荷法による近似解の存在が保証できるか調べ、また近似解の精度はどれくらいであるかを示す誤差評価式を求めることが主な目標です。

[補足的解説]

 ラプラス方程式は微分方程式とよばれる方程式の一種です。

微分方程式とは、分からない関数 (未知関数) についての、導関数を含んだ条件を表している等式のことを言います。中学高校でも方程式が登場しますが、未知数の個数はせいぜい 3 つ止まりでしょう。微分方程式はある意味では未知数の個数が無限である方程式とみなすことができます。

ラプラス方程式は数学それ自身の中からも自然に登場するような基本的な微分方程式ですが、万有引力の場や静電場などの物理現象を記述するためにも現れるもので、間違いなく重要な微分方程式のベスト5に入る資格があるでしょう。歴史的にも古くから研究されていて、基本的な性質はもう十分に分かっていると言えますが、具体的な様子を知るにはコンピューターで数値計算するしかありません。ところが一口に数値計算と言っても、ただコンピューターに入力すれば自動的に答が出て来るわけではありません。人間がどのような手順で計算するか指示する必要があり、その手順の良し悪しが結果に歴然とした差をもたらします。

代用電荷法では点電荷を空間内に適切に配置して、それら電荷の作る電場のポテンシャル・エネルギーを近似解として採用するというもので、非常に素朴な感じがするものですが、実は驚くほど優れた結果を得ることができます。私はそれを先輩から聞いて不思議に感じて、その本性を理解することを自分の修士論文のテーマとして、自分の研究者としての経歴をスタートさせました。さまざまな幸運に恵まれてささやかながら足場となる結果を得ることができましたが、まだまだ「すっかり分かった」と言うには程遠いものがあります。これは私の一生の研究テーマになるのかもしれません。

(2) 精度保証付き数値計算

 偏微分方程式の解の精度保証付き数値計算を研究しています。特に一般流束条件下の Navier-Stokes 方程式の解の精度保証付きで数値計算が当面の目標です。

[補足的解説]

 このテーマも (1) と同様に微分方程式の数値計算に関することですが、問題意識の置き方が微妙に違っています。少し大ぶろしきを広げることになってしまいますが、私はずっと昔から計算という「わざ」の持つ意味を本当に理解したいと考えていて、現在のところ、私はその問題意識の上に立ってこの精度保証付き数値計算を調べています。

現代の私たちは幼いころから様々な計算のやり方を習得することを求められます。これら計算法の原理はもちろん理解可能ですが、単にたくさんの計算法を理解していくだけでは計算とは何かという問に答えられないように思います。

「考えるということは計算することだ」と主張した人がいます。初めて聞いたときは荒唐無稽に思えてしまいそうな意見ですが (私が大学に入学したばかりの頃に授業で聞いたときの第一印象は「何を馬鹿なことを」でした)、その真意が分かってくるにつれて、そんなに簡単には退けられないと考えざるを得なくなってきました。話としては手順前後になってしまいますが、現代の数学は解を具体的に計算して求めないで (さぼると言うよりも「具体的な計算ができないから仕方なくそれをあきらめて」という意味合いが強いですが) 様々なことを理解するというやり方が高度に発達しています。高校までの数学しか学んでいない場合は想像しにくいと思いますが、むしろ具体的な計算で答を出した方が分かった気になれない、とまで言い出す数学者はめずらしくありません。

計算してみるといつの間にか答は出てしまうけれど、計算は計算のルールにのっとって実行しただけで、コンピューターだって同じ答を出す。一応自分の頭と手で計算したけれど、本当は誰が考えたのだろう？、という感慨をもらした人がいます。一体計算とは何なのでしょう？？