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桂田ゼミ

桂田研では、主に『微分方程式の数値解析』をテーマとしています (もう少し広く、解析学のための数値計算というのでも構いません)。

数値解析という言葉には二つの意味があって、一つは数値計算の方法にひそむ数理を調べるということ、もう一つはコンピューターによる数値計算を利用した(個々の問題 --- 今の場合は微分方程式の問題の) 解析です。ゼミでは、いずれをテーマとする場合も、微分方程式の代表的な数値計算法である差分法あるいは有限要素法に関する基本的なテキストの輪講から始めて、実際にコンピューターを利用した数値実験を行ない、それからのフィードバックを得て研究を進めていきます。

コンピューターの使いこなし (例えばプログラミング) に関しても、輪講形式、背後霊形式 (学生がコンピューターに向っている後ろからヤジを飛ばす) など利用して、実質的に一からしごいていきます。コンピューターは数学と比べて若く、コンピューターのからんだ数学はまだまだ分からないことだらけ、素朴な疑問が本質的な問題であることも珍しくない魅力的な分野です。

運不運がありますが、学生はしばしば自分の問題にのめりこんでいき、良い意味で私を裏切ってくれます。まれなことですが、「発見」といえるような経験(それはどんなにささやかであっても深い経験です) をする機会に恵まれることもあります。

私のゼミでは卒業研究レポート (いわゆる卒論ですね) の指導にも力を入れています。日本の数学科では学生に卒論を課さないところが結構ありますが、自分が時間をかけて学び研究したことをまとまった文章にまとめることは大きな意味があると考えていて、時間の許す限り推敲につきあいます。これまでの卒業研究レポートのテーマは http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/labo/report/ で見ることができます。

用語の解説

微分方程式 (びぶんほうていしき): 世の中の非常に多くの現象が、数学的には、微分方程式という未知関数を求める方程式で表すことができます。もともとは、近代的な物理学と微分積分法の両方の創始者であるニュートンが万有引力の法則を調べるために編み出したものです。万有引力と言うとリンゴの話が有名ですが、ニュートンは地上にあるもの (リンゴはその象徴) と天界にあるものが同じ法則に従うことを見事に示して見せました。ニュートン以来色々な現象の解析に応用されるようになってきましたが、近年はコンピューターという強力な補助手段を得て、ますます適用範囲を広げています。

解析学: 少々古い数学観かもしれませんが、数学は代数、幾何、解析と大まかに三つに分類できる、とされています。解析学を他と区別するために、しばしば「解析学とは極限に関する論法で研究される数学である」と言われます。現代の解析学は何らかの意味で微分方程式と関係を持つ部分が多く、ものすごく粗っぽい説明をすると「微分方程式を研究する学問」と言えるでしょう。

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